Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

介绍

本书讨论的问题是在代数数和（后来的）代数几何（cf.历史注记）理论发展过程中出现的。从 19 世纪开始，这两种理论开始表现出惊人的相似之处。他们提出的解决问题的尝试导致了一般思想数的孤立，其域的应用不限于代数数或代数函数的环；并且，一如既往，在阶中考虑它们最普遍的形式是有利的，以了解它们的真正意义以及一项研究对另一个的影响。本书中讨论的概念可以应用于原理中的所有交换环和模以及环；然而，必须指出的是，只有在某些*有限性*的假设（在经典情况下始终成立）下才能获得实质性结果，对于例，假设模是有限生成的或环是诺特。

第一个章的主要概念如下：

I。本地化和全球化。 让我们从丢番图方程的例到系统开始：

(*)

其中 $P_i$ 是具有整数系数的多项式，并且解 $(x_i)$ 是求有理数 整数 的由……组成。可以通过寻找*有理数*的解由……组成来开始逼近问题，这涉及到查看相同的问题，其中$P_i$的系数被视为分数*的*域的元素寻找$\mathbf{Z}$和解中的$\mathbf{Q}$，并在$\mathbf{Q}$中寻找值。第二步是查看给定素数数$p$，是否存在其分母不能被$p$整除的有理解（*整数*解显然满足这个条件）；在这种情况下，这相当于位于形式的有理数数的$\mathbf{Q}$由……组成的子环$\mathbf{Z}_{(p)}$，称为$\mathbf{Z}$相应的的*局部环*到素数数 $p$。显然，从$\mathbf{Z}$到$\mathbf{Q}$和从$\mathbf{Z}$到$\mathbf{Z}_{(p)}$的路径是相同的形式：在这两种情况下，唯一允许的分母不属于到某个*素理想*（理想$(0)$和理想$(p)$）分别）。相同的名称“局部环”出现在代数几何中，其中概念以更自然的方式出现：对于具有复系数的一个变量中的多项式的环$\mathbf{C}[X]$的例，局部环相应的到素理想$(X - a)$是有理分式的环 “常规”位于点 $a$（即，点处没有杆）。

每个丢番图问题，更一般地，A-模（A交换环）上的每个问题都可以分解为两个子问题：其解在局部环A中寻找，相应的到A的不同素理想$\mathfrak{p}$（“定位”），然后问题是，是否有可能将结论从解的所有$\mathfrak{p}$的存在，到解存在的“本地化”问题，再到最初提出的问题（“从本地到全局的过渡”）。 章II致力于研究这个双过程，也看到“定位”不仅仅与素理想有关，而是有更广泛的范围。

11. 完备的&局部环。 局部环 A 与域性质共享只有 一个 极大理想 m。 This fact is used to transform, to a certain extent, a problem on A-modules into an analogous problem on vector spaces by passing to the quotient ring $A/m$, as this latter is a field. 如果我们将例返回到丢番图系统 (*)，这个想法正是原理的“约简模K”，将方程转换为同余模。 $p$，这是从数理论的第一个作品开始自然发生的。

既然如此，我们显然不能希望通过这种方式获得原始问题的完整结果，并且很快意识到，为了获得更精确的信息，不仅需要考虑模m的同余，而且对于任意整数$n > 0$，还需要考虑模$m^n$的“更高”同余。 It is thus found that, the larger $n$, the closer in some way the original problem is "approached" (in the case $A = \mathbf{Z}$ for example, the reason is that an integer $\neq 0$ cannot be divisible by all the powers $p^n$ of a given prime number $p$; this number will therefore make its presence felt in the reduction mod. $p^n$ provided $n$ is taken large enough). 这个想法的数学翻译包括考虑 A 环 拓扑 (cf. General 拓扑, 章 III, § 6)，其中 $m^n$ 形式邻域的基本系统为 0。 但是当我们有了例时，就解决了系统同余

对于*每个整数* $k > 0$，仍然不能得出系统 () 在局部环 $\mathbf{Z}_{(p)}$ 中有解；上述假设可以解释为说，()在拓扑环$\mathbf{Z}_{(p)}$的*完备的*$\hat{\mathbf{Z}}_{(p)}$中承认解。

原来的问题因此被削弱，最终转化为型$A/m^n$的局部环的类似问题，它们也比一般的环更接近域，因为它们有幂零根式；在经典代数几何中，这个对应是对给定点的邻域中问题的“微分”研究。

章III以一般方式处理拓扑概念在局部环理论中的应用。在章VI中研究了这一点的一个特殊方面，一方面适应于更详细的代数几何研究，尤其是代数数域的算术，其中局部环遇到（例如$\mathbf{Z}_{(p)}$）属于到一个特别简单的类，的“估值环”，其中整除性是主理想的集合的总排序（cf.代数，章VI, § 1）。

对从环 A 到局部环 A 或完成$\hat{A}$ 的过渡的研究揭示了运算、性质 A-模 A 和 $\hat{A}$ 平坦度的特征公共的，其中允许使用张量积等A-模与任意A-模有点类似于张量积或向量空间，也就是说，没有在一般情况下使用它们的所有预防措施。与概念相关的性质也适用于非交换环上的模，是章I的研究对象。

III。理想的整数和分解。研究代数数域的整除性，从一开始就需要在域K中引入整数的概念，在域$\mathbf{Q}$中推广有理整数的概念。正如我们将看到的，“代数整数”的概念的一般理论与非常严格的有限性条件相关，是在章V中发展起来的；它可以应用于所有交换环，并且不仅在算术中，而且在代数几何中，甚至在域$\mathbf{C}$的“解析空间”的现代理论中都非常有趣。

经典算术扩张到代数整数的环的主要障碍之一长期以来是有理数整数到素数因子的经典分解一般不会扩展到这些环。理想理论的创立对于克服这一困难是必要的：必须为理想建立独特的分解，用素理想的概念代替素数数的概念。此外，这个结果可以被认为是“从局部到全局的过渡”令人满意地执行的典型情况：对于$x \in K$，值在$x$的知识是通过可逆的整数对K确定$x$直到乘法的所有“评估”。

在代数整数中比环更简单的环中（甚至对于多个不定式多项式中的环中的例），此结果不再有效。然而，可以以规范的方式将每个理想与确定的素理想集合联系起来：在代数几何中，如果我们考虑 $K^n$（K 任意交换域）中的例，由多项式方程 $P_\alpha = 0$ 的系统定义的子类型，即该方程的不可约分量子类型对应与素理想的集合的最小元素双射，因此与$P_\alpha$生成的理想相关联。此外，还可以（如果我们将自己限制在诺特环）为每个理想赋予一个“分解”，其精度不如分解作为素理想的乘积：这里乘积实际上被交和幂替换为“主要”与相关理想相关的素理想相关的理想（但不是素理想的幂的直接推广）。介绍与理想相关的素理想并研究其性质是章IV的主题；这里也证明了我们刚才提到的“初等分解”的存在性和某些唯一性属性；但目前看来，这些分解在应用中通常只起辅助作用，本质的概念是与理想相关的素理想。

In Chapter VII we examine in more detail rings whose properties most nearly approach those of rings of algebraic integers as far as decomposition as a product of prime ideals is concerned; amongst other things it is possible to introduce into these rings the notion of "divisor", which is the geometric aspect of this decomposition and plays an important role in algebraic geometry.

最后章VIII等。将处理概念在代数几何中比在算术中更有趣（在算术中它们变得微不足道），尤其是维数的概念。

有了这些概念，我们就来到了代数几何本身的前沿，这是一个不断移动且难以追踪的前沿。因为，如果交换代数是代数几何发展的一个重要工具，那么相反（正如上面已经看到的），几何语言被证明非常方便地表达定理或交换代数，并暗示抽象代数自然缺乏的某种直觉；随着代数几何的极限越来越大的趋势，代数和几何语言比以往任何时候都更倾向于融合。