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历史注记

（章II和III）

（注：括号内的数指本注末尾的参考书目。）

线性代数既是最古老的数学分支之一，也是最新的数学分支之一。另一方面，数学的起源是问题，它是通过单个乘法或除法来解决的，即通过计算函数$f(x) = ax$的值，或者通过求解方程$ax = b$：这些是线性代数的典型问题，并且不可能处理它们，实际上甚至无法提出它们正确地，没有“线性思考”。

另一方面，不仅是这些问题，而且几乎所有有关第一个次数方程的问题都早已被归入基础教学，当概念、域、环、拓扑向量空间等的现代发展开始孤立并强调线性代数的本质概念（对于例）对偶性）；然后，几乎整个现代数学的本质上线性的特征标被认为是其中的“线性化”本身就是显着特征之一，并且线性代数被赋予了它应有的地位。因此，从我们现在的点的角度来看，讲述它的历史将是一项既困难又重要的任务。因此，我们必须满足于作一个简短的总结。

由上可见，线性代数无疑是为了满足实用计算器的需要而诞生的；因此，我们看到三的规则†和错误位置的规则，或多或少有明确的说明，在所有实用算术手册中发挥着重要作用，从埃及人的莱茵德纸莎草纸到我们的初级学校中使用的那些，通过阿拉伯人的Āryabhaṭa，伦纳德的

† 参见。 J. Tropfke，《初等数学》，1. Band，2te Ausgabe，柏林-莱比锡 (W. de Gruyter)，1921 年，第 150–155 页。

比萨以及中世纪和文艺复兴时期无数的“计算书籍”；但它们仅仅构成了最先进科学理论的一个小部分，供实际的人使用。

至于数学家本身，他们的研究在线性代数上的性质取决于他们科学的一般结构。 正如欧几里得*元素*中所阐述的，古希腊数学发展了线性特征标的两种抽象理论，一方面是量值理论（[2]，书V；cf.历史注记到*一般拓扑*，IV），另一方面是整数 （[2]，书VII）。 对于巴比伦人，我们发现方法更类似于我们的基本代数；他们知道如何最优雅地求解第一个次数的方程的系统（[1]，第 181-183 页）。 然而，很长一段时间以来，线性代数的进展主要局限于代数计算，应该从点的角度来考虑，而与注无关； 约化线性系统到型$ax = b$的方程，在单个未知数的情况下，知道从一侧到另一侧取项并组合类似的项的规则（实质上已经由丢番图陈述）就足够了；并且，在存在多个未知数的情况下，知道如何依次消除它们直到只剩下一个就足够了。 此外，直到十八世纪为止，关于代数的论文都认为，当他们阐述了这些规则时，就第一个次数而言，一切都已完成；至于系统与未知数一样多的方程（他们不考虑其他），其中左侧不是线性独立的形式，他们满意地在经过中观察到这表明问题的姿势很糟糕。 在十九世纪的论文中，甚至某些更近期的著作中，这种点的观点仅通过记号的进步进行了修改，它允许在$n$未知数中写出$n$方程的系统，并且通过引入行列式，允许在“通式”中给出显式解的公式。案”；这一进步主要归功于十八世纪和十九世纪早期的数学家，如果莱布尼茨在这个问题上发展并发表了他的想法，那么他的功劳应该归功于莱布尼茨（[7]，p. 239）。

但我们必须首先研究各种思潮，这些思潮比线性方程的研究更有助于我们所理解的线性代数的发展。受阿波罗尼乌斯研究的启发，费马[4(a)]甚至构想出了解析几何的之前笛卡尔[5]、原理，提出了根据平面曲线的次数对平面曲线进行分类的想法（这一点逐渐为所有数学家所熟悉，可以认为在十七世纪末已经被明确掌握），并制定了基本原理原理，第一个次数的方程在平面上代表一条直线，第二个次数的方程代表二次曲线：原理，从中他立即推导出一些与几何轨迹相关的“非常漂亮”的推论。同时，他阐明了[4(b)]将问题分类为问题，其中单个解、问题，其中约化分类为两个未知数方程、三个未知数方程等；他补充道：第一个包括确定点，第二个是直线或平面轨迹，其他是曲面等。（“……这样的问题不仅仅寻求点或直线，而是适合该问题的整个曲面；这里作为轨迹的曲面有其起源，其余的也类似”，loc.cit.，p. 186；这里已经是n维的萌芽几何）。这篇论文将代数和代数几何中的维数表述为原理，表明代数与几何的融合完全符合现代观念，但正如我们已经看到的，它花了两个多世纪才渗透到人们的思想中。

至少这些想法很快就产生了解析几何的展开，并在十八世纪由克莱罗、欧拉、克莱默、拉格朗日和许多其他人达到了顶峰。 公式的线性特征标用于平面和空间中的坐标变换，费马不能尚未感知到，由欧拉（[8（a）]，章II–III和附录对例进行缓解，以章IV），他在这里根据次数（正是因为这些公式的线性而保持不变）奠定了平面曲线和曲面分类的基础；他也（loc.cit.，章XVIII）引入了字“亲和力”来描述曲线之间的关系，这些曲线可以通过变换$x' = ax, y' = by$从另一条曲线导出（但没有察觉到定义中的任何几何不变性，它仍然与特定的选择有关轴）。稍后我们看到拉格朗日[9(a)]将整个回忆录（长期以来一直名声在外）奉献给解析几何的典型线性和多线性问题，分为三个维数。大约在这个时候，在关系到通过给定点搜索平面曲线经过构成的线性问题中，行列式概念首先以某种经验的方式形成，与Cramer [10]和Bezout [11]合作；这个概念随后由几位作者开发，其基本属性由 Cauchy [13] 和 Jacobi [16(a)] 明确建立。

另一方面，虽然数学家有点鄙视前次数的方程，但微分方程的解被认为是大写的问题；自然地，在这些方程中，应该尽早区分具有常数系数或其他系数的线性方程，并且它们的研究有助于强调线性和相关性质。这当然可以在拉格朗日 [9(b)] 和欧拉 [8(b)] 的工作中看到，至少就齐次方程而言是这样；因为这些作者在说中看不到点，非齐次方程的一般解是特定解的和和相应的齐次方程的一般解，并且他们没有使用这个原理（但达朗贝尔知道）；我们注这里还指出，当他们陈述阶$n$的齐次线性方程的一般解是$n$特定解的线性组合时，他们没有补充说这些必须是线性独立的，并且没有努力使后者概念显式；似乎只有柯西在巴黎综合理工学院的教学才能对这些点和许多其他问题有所启发（[14]，第573-574页）。但是拉格朗日（*loc.cit.*）还引入了（纯粹通过计算，这是真的，并且没有给它命名）线性微分方程$L(y) = 0$的伴随方程$L^*(y) = 0$，例凭借关系典型的对偶性

对于积分区间末端的 $y$ 和 $z$ 零有效；更准确地说，30年之前高斯在3个变量中明确定义了线性代换的转置，我们在这里看到第一个例，毫无疑问是“函数运算符”$L^*$转置或通过双线性函数给出的运算符$L$的“伴随” （这里是积分$\int yz\, dx$）。

与拉格朗日[9(c)]同时，线性代换，最初在2个和3个变量中，正在征服算术。显然，当对 $x$ 和 $y$ 给出所有积分值时，函数 $F(x, y)$ 的值的集合，当对行列式 1 的积分系数线性代换执行时，变换不会$x$和$y$；基于这一基本观察，拉格朗日建立了数乘以形式的表示理论以及形式约简理论；高斯则以我们难以欣赏的大胆一步，分离了等价的概念和形式的类（cf.历史注记到I）；在这个主题上，他认识到某些与线性代换相关的初等原理的必要性，并特别引入了转置或伴随的概念（[12(a)]，p. 304）。从这一刻起，二次形式、2、3和后来的$n$变量的算术研究和代数研究，与它们密切相关的双线性形式以及最近的这些概念的推广到无穷多个变量的算术研究和代数研究，迄今为止，构成了人类进步最丰富的源泉之一。线性代数（cf.历史注记至IX）。

但也许更具决定性的进展是高斯在同一个*论文*（cf.历史注记到I）中创建了有限交换理论群，它以四种不同的方式出现，在整数模$m$的加法群中（对于$m$整数)，在整数的乘法群对$m$模$m$，在二元二次形式的类的群，最后在$m$次的乘法群根 / 单位元；而且，正如我们已经指出的，很明显，作为交换律群，或者更确切地说，模超过$\mathbf{Z}$，高斯处理所有这些群并研究它们的结构，同构的关系等。在“复数”的模中整数”$a + bi$，后来有人看到他在研究$\mathbf{Z}$上的无限模，毫无疑问，他用椭圆函数的周期（由他在复数域中发现）的模来感知其同构；无论如何，这个想法已经清楚地出现在雅可比的作品中，因为例在他著名的证明中，即函数不可能有3个周期，以及他对阿贝尔的积分反演的问题的看法[16(b)]，很快就产生了克罗内克的定理 （cf.历史注记至一般拓扑、VII）。

在这里，另一个水流与我们一直试图追踪的路线和偶尔蜿蜒的水流汇合在一起，这些水流长期以来一直留在地下。正如稍后将更详细地阐述的那样（历史注记至IX），上个世纪所理解的“纯”几何，即本质上是平面的射影几何和不使用坐标的空间，是由笛沙格在十七世纪创建的[6]，他的思想被费马以真正的值欣赏，并由帕斯卡付诸实践，然后被埋葬在被遗忘，因解析几何的辉煌进步而黯然失色；它在十八世纪末复兴，蒙日、当时的蓬塞莱和他的竞争对手布里昂雄和查斯，有时完全自愿地与分析的方法、有时（尤其是在德国）紧密地混合在一起。现在，射影变换，无论从什么点角度考虑（合成或解析），当然只是射影或“重心”坐标上的线性代换；二次曲线理论（十七世纪）和后来的二次曲线理论（长期以来，学校主要关注其射影性质）正是二次曲线形式的理论，我们之前已经指出了它与线性代数的密切联系。除了这些概念之外，还添加了极性：也是由笛沙格创建的，极点和极地理论在蒙日及其继任者手中，很快以二元性原理的名义成为转换几何定理的强大工具；如果不能可以肯定，它的关系与伴随微分方程在那个时期被感知（它们由Pincherle在本世纪末指出），那么至少Chasles没有失败[17]感知它的关系与概念的球面三角形的倒数，由Viète引入球面三角学([3], p. 428) 和 Snellius 早在十六世纪。但射影几何中的对偶性只是向量空间对偶性的一个方面，考虑到当经过从仿射空间到射影空间时所施加的修改（这是它的商空间，在关系“标量乘法”下）。

十九世纪比我们历史上的任何时期都拥有更多的前阶数学家；即使只限于最显着的特征，也很难用几页纸来描述这些思想运动汇集在一起​​所产生的一切。一方面是纯合成的方法，普罗克拉斯提亚床的类，他们的正统主角在那里折磨自己，而与任意强加于空间的坐标的系统相关的分析方法，很快就感觉到对几何演算的需求，这是莱布尼茨梦想但不是由莱布尼茨创造的并且不完美的。卡诺绘制的草图：首先出现向量的加法，隐含在高斯的虚数表示几何数的工作中，以及他将其应用于初等几何（cf.历史注记到一般拓扑，VIII），由Bellavitis以名义开发“等价的方法”并与格拉斯曼、莫比乌斯和汉密尔顿一起确定其形式；同时，莫比乌斯以“重心演算”的名义给出了一个适合射影几何需要的版本[18]。

在同一时期，由同一个人，费马已经宣布的如此自然的一步（一旦走上这条道路）是从平面和“普通”空间到$n$维空间；这确实是不可避免的一步，因为可以用两个或三个变量进行几何解释的代数现象对于任意数变量仍然有效；因此，在使用几何语言时，将维数限制为 2 或 3，对于现代数学家来说，就像总是阻止希腊人将概念或数扩展到无法通约的大小之比一样令人厌烦。因此，与$n$维空间相关的语言和思想几乎同时出现在各个方面，在高斯的著作中模糊不清，在下一代数学家的著作中清晰可见；他们对使用它们的或多或少的把握可能与其说是由于他们的数学倾向，不如说是因为他们的哲学甚至纯粹的实践观点。无论如何，凯莱和格拉斯曼在 1846 年左右，以最大的轻松的方式处理这些概念（凯莱说，这与格拉斯曼完全相反（[22(a)], p. 321），“不求助于任何形而上学的概念”）；凯莱从未远离分析解释和坐标，而在格拉斯曼的工作中，从一开始，$n$维空间中的向量的加法和几何方面就占据了上风，导致了我们稍后会谈到的发展。

与此同时，高斯的推动力以两种不同的方式推动数学家研究代数或“超复数系统”。一方面，不可避免地要尝试扩展实数的领域，而不是引入“想象的单位”$i = \sqrt{-1}$，也许因此开辟了更广阔的领域，就像复数一样丰富。高斯本人确信（[12(b)], p. 178）这种扩张是不可能的，只要你想保留复数的主要性质，即用现代语言来说，那些构成交换域的性质；而且，无论是在他的影响下还是独立地，他的同时代人似乎都认同这一信念，直到很久以后，韦尔斯特拉斯[23]才以精确的定理证明了这一信念。但是，一旦复数的乘法被平面上的旋转解释，那么，如果将扩展这个想法提出到三维空间，（因为空间形式中的旋转是非阿贝尔群）非交换乘法必须设想；这是汉密尔顿发现四元数 [20] 时的指导思想之一，四元数是非交换域的第一个例。这个例的奇异性（正如弗罗贝尼乌斯后来所证明的，唯一一个可以在

† 参见。他的四元数讲座 [20] 的有趣序言中他回顾了他的发现的整个历史。

实数的域）在某种程度上限制它的重要性，尽管甚至可能是因为狂热的“四元数主义者”学校的形成：这是一个奇怪的现象，后来在格拉斯曼的作品周围重现，然后由从汉密尔顿和格拉斯曼汲取所谓“向量演算”的庸俗者复制。稍后，格雷夫斯和凯利放弃了结合性，他们构造“凯利数”，并没有开辟出非常有趣的道路。但是之后西尔维斯特引入了矩阵并且（没有给它命名）明确定义了他们的秩[21]，同样是凯利[22(b)]创造了矩阵的演算，而不是没有注意到（一个后来经常被忽视的基本事实）矩阵是只是线性代换的缩写记号，就像高斯用 $(a, b, c)$ 表示形式 $aX^2 + 2bXY + cY^2$ 一样。这只是西尔维斯特和凯利关于行列式以及与之相关的一切方面的丰富成果的一个方面，当然对我们来说是最有趣的，一个充满巧妙的恒等式和令人印象深刻的计算的成果。

此外（除其他外）格拉斯曼发现了实数上的代数，外部代数仍然以他的名字命名。他的作品甚至早于汉密尔顿的作品[19(a)]，是在一种几乎完全的道德孤独中创作的，在很长一段时间内一直鲜为人知，这无疑是因为它的独创性，也因为哲学的迷雾，它首先将自身包裹在其中，而对于例来说，它首先阻止了莫比乌斯。格拉斯曼构造受到类似于汉密尔顿但更重要的关注点的推动（正如他很快看到的那样，与莱布尼茨的关注点相同），格拉斯曼构造一座巨大的代数几何大厦，依赖于$n$维向量空间的几何或“内在”概念（已经或多或少公理化）；在他得出的更基本的结果中，我们引用向量、维数和基本关系的线性独立性的例定义

（前述，p. 209；cf. [19(b)]，p. 21）。但它尤其是多向量的外部乘法，然后内部乘法，为他提供了工具，他可以轻松地首先处理线性代数正确的问题，然后处理与欧氏结构相关的工具，即向量的正交性（在那里他找到了对偶性的等价物，他不拥有）。

高斯在超复数系统的研究中开辟的另一条路径是从复数整数$a + bi$出发； 之后这些很自然地遵循代数或更一般的超复杂系统，超过整数的环$\mathbf{Z}$和超过域$\mathbf{Q}$的有理数，首先是高斯已经设想的那些由根生成的单位元，然后是代数数域和代数整数的模：前者是Kummer著作中的主要主题，后者的研究由Dirichlet、Hermite、Kronecker和Dedekind进行。在这里，与代数在实数上发生的情况相反，没有必要放弃交换域的任何特征，并且整个 19 世纪的注意力都局限于后者。但对于例，对于域的整数搜索基（对于判别式的一般定义是必不可少的）在许多点中发挥着重要作用；无论如何，对于戴德金来说，方法注定会成为典型的“超级复杂”；此外，戴德金本人，一般来说，没有代数的设定自己问题，也意识到他的作品的特征标以及它们的例与Weierstrass在实数上的超复数系统的结果之间的联系（[24]，特别是第2卷， p. 1）。同时，在代数数域中确定结构或乘法群或单位，由狄利克雷在一些著名的注[15]中实现，几乎同时由埃尔米特实现，对于澄清关于模的想法至关重要。 $\mathbf{Z}$，他们的生成的系统以及他们的基（如果存在的话）。那么理想的概念，由戴德金在代数数域中定义（如域的整数环上的模），而Kronecker则在多项式环中引入（以“系统”的名义） 模") 等价的概念，给出模的第一个例，而不是$\mathbf{Z}$更一般的环；在同一作者以及希尔伯特的工作中，在带有运算符的群的特定情况下，概念慢慢地被隔离，并且始终从这样的群模构建适当定义的环的可能性。

同时，二次双线性形式及其“约简”（或者，相当于矩阵及其“不变量”）的算术代数研究导致发现线性方程系统解上的一般原理，原理，这是由于缺乏秩的概念，已经逃脱了雅可比。\footnote{关于行列式为零时$n$未知数中$n$方程的系统的分类，他说([16(a)], p. 370)：“paullo prolixum videtur negotium”（无法简单地阐明）。} 带有积分系数的线性方程的系统的整数中的解的问题被攻击并求解，首先是 Hermite 的特殊情况，然后是 H. J. Smith [25] 的一般性；直到 1878 年，弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 在克罗内克 (Kronecker) 制定的研究庞大计划的框架内再次发现了后者的结果，维尔斯特拉斯 (Weierstrass) 也参与了该计划；顺便说一句，在这些作品的过程中，克罗内克在具有实数（或复数）系数的线性系统上给出了确定的形式到定理，《爱丽丝梦游仙境》的著名作者也在一本晦涩的手册中以他细致入微的特点对此进行了阐述；至于克罗内克，他不屑于发表这些结果，而是把它们留给了他的同事和弟子。 字“秩”本身只是Frobenius引入的。同样在柏林大学的教学过程中，Kronecker [26] 和 Weierstrass 介绍了行列式的“公理”定义（如$n$维空间中$n$向量的交错的多重线性函数，经过规范化，使得值 1 at 单位矩阵), 定义相当于源自格拉斯曼的演算以及本论文中采用的内容；在他的课程中，克罗内克再次在没有感觉到需要给它命名的情况下，以仍然非内在的形式，介绍了空间的张量积和矩阵的“克罗内克”乘积（通过给定线性在张量积上诱导的线性代换） 代换适用于因子）。

这个研究不能与凯莱、埃尔米特和西尔维斯特创造的不变量理论（埃尔米特后来在他的信中提到的“不变三位一体”）分开，从现代点的角度来看，它首先是线性群的表示理论。这里，作为射影几何中对偶性的代数等价物，同余变量和异余变量的级数之间的区别，即空间中的向量和对偶空间中的向量；并且，之后注意力首先转向低次数的形式，然后是任意次数，在2个和3个变量中，几乎没有延迟双线性，然后在几个级数“同余”或“反对”变量中检查多重线性形式，这相当于引入张量；后者在不变量理论的启发下变得明确并得到普及，1900年，利玛窦和列维-奇维塔将微分几何“张量演算”引入微分几何[28]，后来因“相对主义”物理学家的使用而大受欢迎。不变量理论、微分几何和偏微分方程理论（尤其是所谓的 Pfaff 的问题及其推广）的逐渐融合，慢慢地导致几何学家考虑微分的交错的双线性形式，特别是形式和次数 1 的“双线性协变” （由 Lipschitz 于 1870 年提出，随后由 Frobenius 研究），导致 E. Cartan [29] 和 Poincaré [30] 创建了外微分形式的演算。庞加莱在阶到形式中引入了后者的积分不变量，作为倍数积分中出现的表达式，而嘉当毫无疑问地在他的研究关于代数的指导下，以更正式的方式引入了它们，但没有忘记观察到它们的代数部分演算与格拉斯曼的外观乘法（从而他采用的名字）相同，从而最终将后者的作品恢复到应有的位置。外微分形式翻译成张量演算的记号，而且立即显示了它们与斜对称张量的联系，一旦采用纯代数视图点，就表明它们对于交替多重线性形式是什么协变张量适用于任意多重线性形式；线性群的现代表示理论进一步阐明了这一点；因此，对于例，Weierstrass和Kronecker给出的行列式定义与格拉斯曼的演算中的所得的之间的实质同一性得到了认可。

因此，我们到达了现代时期，其中结构的公理方法和概念（最初被模糊地感知，直到最近才被定义）使我们能够分离那些在此之前一直难以分割地混合的概念，阐明模糊的或留给直觉的东西，并以适当的普遍性来证明只有在特殊情况下才知道的定理。皮亚诺是公理化方法的创造者之一，也是第一批充分欣赏格拉斯曼工作的数学家之一，早在1888年（[27]，章IX）就给出了向量空间的公理化定义（有限维或其他） 实数的域，以及在完全现代的记号中，将空间的线性映射转换为另一个；不久之后，Pincherle 试图将由此构想的线性代数应用于函数理论，但方向确实如此，但并没有取得很大成果；至少他的点观点使他能够认识到“拉格朗日伴随”是线性映射转置的一个特例：在希尔伯特令人难忘的著作和他关于希尔伯特空间的学校及其在数学分析。正是在那个场合，托普利茨[31]也引入了（但通过坐标）实数上最普遍的向量空间，并做出了基本观察，即不需要行列式理论来证明线性代数的原理定理，这使得它们可以毫无困难地扩展到无限维空间；他还指出，如此理解的线性代数当然可以应用于任意交换的基域。

另一方面，随着 Banach 在 1922 年引入以他的名字命名的空间，\脚注{这些是实数的域或复数的完全范数向量空间。} 空间与它们的对偶不同构，尽管在问题中也是拓扑的因为它是代数的。在有限维向量空间和它的对偶之间已经不存在“典范的”同构的，这是由它的结构决定的，这长期以来一直反映在同余和反对之间的区别中。然而，毫无疑问，空间及其对偶之间的区别仅在巴纳赫的工作之后及其学校中得到明确确立；在这些作品中，余维数概念的重要性也得到了体现。至于空间的向量子空间与其对偶的向量子空间之间的对偶性或“正交性”，今天的表述方式不仅与伽罗瓦理论的主要定理的现代表述（cf.*代数*，V）以及所谓的局部紧致阿贝尔的群中的庞特雅金对偶性；后者可以追溯到韦伯，他在算术研究的过程中于1886年为有限群奠定了基础；在伽罗瓦理论中，子群和子域之间的“对偶性”在戴德金和希尔伯特的工作中取形式； 向量子空间之间的正交性显然源自射影几何中线性簇之间的对偶性，以及概念和欧氏空间或希尔伯特空间（从而它的名字）中完全正交簇的性质。所有这些线索在当代都在代数学家的手中重新组装，例如

E.诺特、阿廷和哈塞以及庞特贾金和惠特尼等拓扑学家（并非没有相互影响的人）在这些域中的每一个中都达到了知识的阶段，其结果在本论文中得到了阐述。

同时进行了严格的检查，这注定要消除每个点上并非完全不可或缺的假设，特别是那些会阻碍某些应用的假设。因此，可以认为可以在向量空间的概念中用环代替域，并创建模的一般概念，同时处理这些空间、阿贝尔的群，特殊的Kronecker、Weierstrass、Dedekind 和 Steinitz 已经研究了模，甚至与运算符一起研究了群，并且对于应用的例，Jordan-Hölder 定理对他们进行了研究；同时，随着权利和左模之间的区别，我们转向非交换律，它源于美国学校（Wedderburn，Dickson），特别是德国学校（E. Noether，E. Artin）对代数理论的现代发展。

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