习题 8, § 10

设A为阿廷环。 A-模 $A_s$ 是不可分解左理想$(Ae_i)_{i\in I}$有限族中的直和，其中$e_i$是正交幂等 (习题 6, d))。

a) 如果 M 的 Jordan–Hölder 级数的商同构于 N 的 Jordan–Hölder 级数的商，则称有限长度 M 和 N 的两个 A-模是相连的。令 R 为理想 $Ae_i$ 集合上最好的等价关系，其中两个相连理想是等价的。 R 的等价类 $\mathscr{B}_l(l\in L)$ 称为块；我们用$\mathfrak{b}_l$表示块$\mathscr{B}_l$中的理想和。证明理想$\mathfrak{b}_l$是A唯一不可分解的双面理想。

（要看到$\mathfrak{b}_l$是双面的，请观察我们有$Ae_ixe_j\subset Ae_j$并且通过习题7，c），关系$e_iAe_j\not= 0$意味着$Ae_i\equiv Ae_j$（mod R）。另一方面，令$(\mathfrak{b}'_m)_{m\in M}$是具有直和A的双向理想的有限族。证明每个$\mathfrak{b}'_m$是理想$Ae_i$的和，然后证明两个链接的理想$Ae_r$和$Ae_s$属于为同一个理想$\mathfrak{b}'_m$： 注意到到习题 7，存在指标 $h$，使得 $e_hAe_r$ 和 $e_hAe_s$ 为 $\not= 0.)$

b) 证明正确的理想$e_iA$是不可分解的（考虑它们在$A/\mathfrak{R}(A)$中的像）。

c) 假设 A 是有限次数的代数超过交换域 K。我们用 Jordan–Hölder 级数与 $Ae_j$（或 $e_jA$）的商的 $c_{ij}$（分别为 $d_{ij}$）数表示同构于$A\overline{e}_i$（分别为$\overline{e}_iA$）并且通过域$e_iAe_i/e_i\mathfrak{R}(A)e_i$的$r_i$次数在K上。证明等式$c_{ij}r_j=d_{ij}r_i$（$e_iAe_j$的确定维数在K上），并使用习题 7, c))。