Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

2. 函数

1. 设 E 和 F 为两个集合，它们可能不同，也可能不同。 E 的变量元素 xx 和 F 的变量元素 yy 之间的关系称为 yy 中的*泛函关系，如果对于所有 x∈Ex \in E，存在唯一的 y∈Fy \in F，它在给定的关系中xx.*

我们将*函数*的名称赋予运算，这样它就与给定的关系和xx中的每个元素x∈Ex \in E元素y∈Fy \in F相关联； yy 被认为是函数在元素 xx 的 值，而函数被认为是由给定函数关系 确定。两个*等效*功能关系确定*相同*函数。这样的函数被称为“在F中取其值”并“在E上定义”。更简单地说，它也被称为*E*到*F的*映射。

2. 集合 E 的映射到集合 F 是新的集合的 元素，* E 的映射到 * F 的 集合。如果 ff 是这个新的元素 E 的元素 xx 处的ff 集合、值通常用f(x)f(x) 表示。在某些情况下，记号fxf_x（称为索引*记号；集合E则称为*指标*集合）是更可取的。 关系“y=f(x)y = f(x)”是yy中的泛函关系，即确定ff。

当形式 y=⟨x⟩y = \langle x \rangle 的关系（其中⟨x⟩\langle x \rangle表示可能出现xx的符号组合）是yy中的泛函关系时，函数它的确定通常表示为记号x→⟨x⟩x \rightarrow \langle x \rangle，甚至简单地⟨x⟩\langle x \rangle；这是非常公共的的语言滥用。对于例，如果X和Y是集合E的两个泛型子集，则关系Y=∁XY = \complement X在Y中泛函； P(E)\mathfrak{P}(E)的映射转化为P(E)\mathfrak{P}(E)，确定表示为X→∁XX \rightarrow \complement X，或简称为∁X\complement X。

我们通常会更简单地说，“让f:E→Ff: E \rightarrow F”，而不是说“让ff是E到F的映射”。

为了描述涉及多个映射的情况，我们还可以使用*图表*，例如

C↗g↘hA⟶fB⟶vE↓u↓wD⟵tF\begin{array}{ccccc} & & \mathrm{C} & & \\ & \overset{g}{\nearrow} & & \overset{h}{\searrow} & \\ \mathrm{A} \overset{f}{\longrightarrow} \mathrm{B} & \underset{v}{\longrightarrow} & & & \mathrm{E} \\ \downarrow u & & & & \downarrow w \\ \mathrm{D} & \underset{t}{\longleftarrow} & & & \mathrm{F} \end{array}

其中箭头所附的字母表示箭头尾部的集合到其头部的集合的映射。

E 的映射到 F 之间的等式“f=gf = g”的关系相当于关系“对于所有 x∈E,f(x)=g(x)x \in \mathrm{E}, f(x) = g(x)”。

3. 函数，定义在集合 E上，对于E的每一个元素xx取相同的值aa，称为E上的*常数*函数；它由函数关系y=ay = a决定。

E 的映射到 E 中，与 E 的每个元素 xx 相关联，这个相同的元素被称为*恒等式* 映射。它由函数关系y=xy = x决定。

如果 A 是 E 的任何子集，则 A 到 E 的映射与 A 的每个元素 xx 关联，相同的元素 xx 被视为 E 的元素，称为 A 到 E 的*规范* 映射。

令 ff 为集合 E 的映射自身。如果 f(x)=xf(x) = x，E 的元素xx 被认为是*固定*（或*不变*）*低于*ff。

E 的元素 xx 被认为是在 E 的映射的集合下“固定”（或“不变”）到 E 中，如果它在它们每个下都是固定的。

4. 令ff为E到F中的映射，并令X为E中的任意子集。则*X*下*ff的*像为所有F由……组成的子集Y 元素yy，其中性质“存在x∈x \inE，使得x∈x \inX和f(x)=yf(x) = y”。

这个X和Y之间的定义关系在Y中起作用，因此P(E)\mathfrak{P}(\mathrm{E})的确定映射进入P(F)\mathfrak{P}(\mathrm{F})。这个映射被称为*ff*到子集的集合的*规范扩张；*通过滥用语言，它也被表示为ff，我们写作Y=f(X)\mathrm{Y} = f(\mathrm{X})。

对于所有 ff 和 xx，我们有

f(∅)=∅andf({x})={f(x)}.f(\emptyset) = \emptyset \quad \text{and} \quad f(\{x\}) = \{f(x)\}.

滥用语言，ff在xx的*值*f(x)f(x)也被称为*xx*下*ff的*像。

如果yy是F的泛型元素，则性质“y∈f(E)y \in f(\mathrm{E})”可以用说表示“yy*是形式*f(x)f(x)”。

滥用语言，ff下的E的像f(E)f(\mathrm{E})是有时，称为*ff的*像。

如果我们有f(E)=Ff(\mathrm{E}) = \mathrm{F}，也就是说，对于所有y∈y \in F，存在x∈x \in E，使得y=f(x)y = f(x)，则ff被称为E 到 F上的映射，或*满射* 映射，或*满射*。

令 xx 为 E 的任意元素和 X 任意子集。 f(x)f(x) 不是说，而是 xx 处的 ff 的值，以及 f(X)f(\mathrm{X}) 像 X在ff下，是有时表示ff*变换*（或*映射*）xx转化为f(x)f(x)，X转化为f(X)f(\mathrm{X})； f(x)f(x)和f(X)f(\mathrm{X})分别被xx和X的ff称为*变换*。

如果 ff 是 E 的映射自身，则 E 的子集 X 被认为在 ff 下*稳定（如果 f(X)⊂Xf(\mathrm{X}) \subset \mathrm{X}）。如果X在每个映射下都是稳定的，则子集X被称为在E到E的映射的集合下*稳定*。

5. 令ff为E到F中的映射。则我们有以下命题，其中X和Y表示E的任意子集：

(a) 关系 X⊂Y\mathrm{X} \subset \mathrm{Y} 意味着 f(X)⊂f(Y)f(\mathrm{X}) \subset f(\mathrm{Y})。

(b) 性质 X≠∅\mathrm{X} \neq \emptyset 相当于f(X)≠∅f(\mathrm{X}) \neq \emptyset。

(c) 对于所有 X，Y 我们有

(11)f(X∪Y)=f(X)∪f(Y),(11) \qquad f(\mathrm{X} \cup \mathrm{Y}) = f(\mathrm{X}) \cup f(\mathrm{Y}),
(12)f(X∩Y)⊂f(X)∩f(Y).(12) \qquad f(\mathrm{X} \cap \mathrm{Y}) \subset f(\mathrm{X}) \cap f(\mathrm{Y}).

6. 令ff为E到F中的映射，并令Y为F中的任意子集。*ff下*Y*的*逆像是所有元素的E由……组成的子集X xx 有性质 f(x)∈Yf(x) \in \mathrm{Y}。

X和Y之间的定义关系在X中起作用，因此P(F)\mathfrak{P}(F)的确定映射进入P(E)\mathfrak{P}(E)，称为f到集合的*逆扩张子集*，记为f−1\overset{-1}{f}；因此我们写X=f−1(Y)X = \overset{-1}{f}(Y)。

特别是，如果yy是F的元素，那么f−1({y})\overset{-1}{f}(\{y\})将是所有x∈Ex \in E的集合，使得f(x)=yf(x) = y。 关系“f(x)=yf(x) = y”和“x∈f−1({y})x \in \overset{-1}{f}(\{y\})”是等效的。由于语言滥用，我们经常用 f−1(y)\overset{-1}{f}(y) 来代替 f−1({y})\overset{-1}{f}(\{y\})。

E 在给定子集 A 上的子集 X 的 迹 XAX_A 是 A 的典范映射到 E (no. 3) 下的 X 的逆像。

7. 令 ff 为 E 到 F 的映射。则我们有以下命题，其中 X 和 Y 表示 F 的任意子集：

(a) 关系 X⊂YX \subset Y 意味着 f−1(X)⊂f−1(Y)\overset{-1}{f}(X) \subset \overset{-1}{f}(Y)。

(b) 对于所有 X，Y 我们有

(13)

f−1(X∪Y)=f−1(X)∪f−1(Y),\overset{-1}{f}(X \cup Y) = \overset{-1}{f}(X) \cup \overset{-1}{f}(Y),

(14)

f−1(X∩Y)=f−1(X)∩f−1(Y),\overset{-1}{f}(X \cap Y) = \overset{-1}{f}(X) \cap \overset{-1}{f}(Y),

(15)

f−1(∁X)=∁f−1(X).\overset{-1}{f}(\complement X) = \complement \overset{-1}{f}(X).

注公式 (12) 和 (14) 之间的差异；如果我们将 F 中的任意映射替换为 E 中的 f−1\overset{-1}{f}，则 (14) 不适用于所有 X 和 Y。同样，对于任意映射的扩张，不存在 (15) 的类似物。

此外，我们还有f−1(∅)=∅\overset{-1}{f}(\emptyset) = \emptyset；但对于 F 的非空子集 X，我们也可以有 f−1(X)=∅\overset{-1}{f}(X) = \emptyset。在序中，X≠∅X \neq \emptyset 应该暗示 f−1(X)≠∅\overset{-1}{f}(X) \neq \emptyset，ff 应该是 E 到 F 上的映射是充分必要的。

8. 如果 E 到 F 的映射 ff 使得对于所有 y∈Fy \in F 存在*至多一个* x∈Ex \in E 使得 y=f(x)y = f(x) （在其他字中，集合 f−1(y)\overset{-1}{f}(y) 要么为空，要么由单个元素组成），那么 ff 被称为 E 到 F 的*一对一* 映射，或*内射* 映射，或 单射的。那么，对于所有子集 X，E 的 Y，

(16)

f(X∩Y)=f(X)∩f(Y).f(X \cap Y) = f(X) \cap f(Y).

9. 如果 E 到 F 的映射 ff 使得对于所有 y∈Fy \in F 恰好存在一个 x∈Ex \in E 使得 y=f(x)y = f(x) （在其他字中，f−1(y)\overset{-1}{f}(y) 由单个元素组成），则 ff 被称为E 到 F 的 一对一 映射，或 双射的 映射，或 双射的。这样的映射可以被表征为E到F上的映射和E到F上的“一对一”映射。

如果ff是E到F的一对一映射，则关系y=f(x)y=f(x)不仅在yy中起作用，而且在xx中也*起作用。作为xx中的泛函关系，它确定是F到E上的一对一的映射，称为映射ff的*逆*。

注 ff 的逆矩阵 *扩张与 ff 的扩张的逆矩阵相同。

令 gg 为 ff 的倒数。那么关系“y=f(x)y=f(x)”和“x=g(y)x=g(y)”*等价*。 gg的倒数是ff。如果 ff 是 E 到 F 的一对一映射，我们不仅有关系 (16)，而且对于 E 的所有子集 X，

f(CX)=Cf(X).f(\mathrm{C}X)=\mathrm{C}f(X).

此外，ff的扩张是℘(E)\wp(E)到℘(F)\wp(F)的一一对应的映射。

E 到 F 上的一对一映射及其逆映射据说*实现了 E 和 F 之间的一对一对应*；或者，我们说 E 和 F * 通过这些映射* 一对一地放入对应中。

集合 E 的一对一映射称为 E 的 置换。恒等映射是置换。如果置换与其逆元相同，则称为*对合*；对于例，℘(E)\wp(E)的映射X→CXX\rightarrow \mathrm{C}X自身是对合的。

10. 在下面的命题中，X表示E的任意子集，Y表示F的任意子集：

(a) 如果 ff 是 E 到 F 的映射，我们有

(17)

f−1(Y)=f−1(Y∩f(E)),f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y\cap f(E)),

(18)

X⊂f−1(f(X)),X\subset f^{-1}(f(X)),

(19)

f(f−1(Y))⊂Y.f(f^{-1}(Y))\subset Y.

(b) 性质“对于所有 Y，f(f−1(Y))=Yf(f^{-1}(Y))=Y”和“ff 是 E 到 F 上的映射”是*等价的*。

(c) 属性“对于所有 X、f−1(f(X))=Xf^{-1}(f(X))=X”和“ff 是 E 到 F 的*一对一*映射”是*等价的*。

(d) 属性“对于所有 X 和 Y，

f−1(f(X))=Xandf(f−1(Y))=Yf^{-1}(f(X))=X\qquad\text{and}\qquad f(f^{-1}(Y))=Y

和“ff是E到F的*一对一*映射”是*等价*。

11. 令E、F、G为三个集合，它们可能不同，也可能不同。设ff为E入F的映射，gg为F入G的映射。E入G的映射，其值在E的任意元素xx处为g(f(x))g(f(x))，称为合成* gg和ff，并用g∘fg \circ f表示，或者在不存在歧义的情况下简单地用gfgf表示。

等式 h=g∘fh = g \circ f 被称为 hh 的*因式分解*。

注，如果G与E不同，我们可能不会谈论ff和gg的合成（其中序），并且记号f∘gf \circ g没有任何意义。如果G与E相同，则f∘gf \circ g和g∘fg \circ f不是相同的集合除非的元素，F也与E相同；即使是这样，通常情况也是f∘g≠g∘ff \circ g \neq g \circ f。因此ff和gg的合成的*序*是必不可少的。

令φ\varphi为gg和ff的合成，令X为E的任意子集，令Z为G的任意子集。那么我们有

(20)

φ(X)=g(f(X)),\varphi(\mathrm{X}) = g(f(\mathrm{X})),
(21)
φ−1(Z)=f−1(g−1(Z)).\overset{-1}{\varphi}(\mathrm{Z}) = \overset{-1}{f}(\overset{-1}{g}(\mathrm{Z})).

如果 ff 是 E onto F 的*一对一* 映射，并且如果 gg 是 F onto G 的*一对一* 映射，则 g∘fg \circ f 是 E onto G 的*一对一* 映射。

令 hh 为 G 到集合 H 的映射。然后我们有

h∘(g∘f)=(h∘g)∘f;h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f;

E入H的这个映射写为h∘g∘fh \circ g \circ f，称为这个序中三个映射hh、gg、ff的*合成*。三个以上映射的合成的定义类似。

如果ff是E到自身的映射，ff的*迭代*被定义为E到自身的映射fnf^n(nn整数⩾1\geqslant 1)，由nn上的归纳定义关系f1=ff^1 = f、fn=fn−1∘ff^n = f^{n-1} \circ f； fnf^n 被称为ff 的*n 次迭代*。我们有fm+n=fm∘fnf^{m+n} = f^m \circ f^n。

12. 一般来说，映射ff的逆扩张和扩张的合成f−1∘f\overset{-1}{f} \circ f不是P(E)\mathfrak{P}(\mathrm{E})的恒等映射自身。同样，f∘f−1f \circ \overset{-1}{f}通常不是P(E)\mathfrak{P}(\mathrm{E})的恒等映射自身。仅当ff是E到F上的*双射*时，这两个条件才能同时满足。

如果ff是E到F上的双射，并且如果gg表示ff的逆，那么合成、g∘fg \circ f和f∘gf \circ g分别是E到E上的恒等映射和F到F上的恒等映射。

相反，如果ff是E到F的映射，并且F到E的gg映射，使得g∘fg \circ f是E的置换，f∘gf \circ g是F的置换，则ff是E到F的双射，并且gg 是 F 到 E 的双射。

此外，如果g∘fg\circ f是E在其自身上的恒等映射，则gg是ff的逆。

13. 设ff为E到F的映射，并令A为E的任意子集。A到F的映射fAf_A，其中值在A的任意元素xx处为f(x)f(x)称为*ff至子集A*的限制；它只是ff的合成和A的典范映射进入E。如果E到F的两个映射ff，gg对A具有相同的限制，则称它们在A上*同意（或重合）*。反之， ff 据说是 fAf_A 到 E 的 扩张。

14. 集合 E 到 集合 F 的映射也称为 F 通过 E 的*参数表示*；那么E就被称为这个表示的*参数集合*，E的元素取*参数*的名称。

集合 F 的元素* 家族由 F 的定义子集赋予参数表示；在其他字中，被赋予F的元素家族，相当于将一些集合E的映射赋予F。这个映射下的E的像称为家族*的元素的*集合。 注 F 的元素的两个不同家族可能具有与其元素的集合相同的 F 子集。

对于集合 F 的每个子集 A，我们总是可以将元素的族关联起来，其元素的集合是 A。将 A 的 典范映射 定义的族考虑到 F 就足够了。

F 的元素系列，由集合 I 的映射 ι↦xι\iota\mapsto x_\iota 定义到 F 中，用 (xι)ι∈I(x_\iota)_{\iota\in I} 表示，或者如果指标集合不存在歧义，则简单地表示为 (xι)(x_\iota)。

如果J是I的子集，则(xι)ι∈J(x_\iota)_{\iota\in J}族被称为(xι)ι∈I(x_\iota)_{\iota\in I}族J的*亚族*相应的；它由限制到映射ι↦xι\iota\mapsto x_\iota的J定义。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。