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历史注记

(章III, § 5)

（括号内数指参考书目 在这个注的结尾。）

概念、整数和基数数相关思想的演变与集合论和数理逻辑的历史密不可分，读者可参考章IV之后的历史注记。这个注的目的是简要说明计数和“组合分析”历史上的一些显着事实。

历史和考古学向我们揭示了巨大的数“计数的系统”，其主要目的是为每个人整数（根据实际使用的需要，最多可达极限）一个名字和一个书面的表示，由有限的数符号根据或多或少的规则形成。 律。到目前为止，最公共的的过程是将整数分解为“连续单位”$b_1$、$b_2$、...、$b_n$、...的和，其中每个和都是其前一个倍数的积分；尽管一般情况下 $b_n/b_{n-1}$ 被视为固定的数 $b$（系统的“基”，通常为 10），但此规则有许多已知的例外情况。对于例，在巴比伦语系统中，$b_n/b_{n-1}$是有时10和有时6[1]，而在玛雅人的时间顺序中系统，除了$n = 2$和$b_2/b_1 = 18$之外，$b_n/b_{n-1}$等于20 [2]。对于相应的文字符号，必须表示每个序$i$的“单位”$b_i$的数。在许多系统（对于埃及、希腊和罗马的例），连续的倍数$k.b_i$（其中$k$从1到$(b_{i+1}/b_i) - 1$变化）由依赖于$k$和$i$的符号表示。第一步也是重要的一步是用相同的符号表示所有数$k.b_i$（对于$k$的相同值）：这是“按位置计数”的原理，其中指标$i$由代表$k.b_i$的符号出现这一事实来指示“在第$i$位”。这种性质的第一个系统是巴比伦人的，他们肯定早在2000年B.C.，用相同的符号表示所有倍数$k.60^{\pm i}$相应的到指数$i$的各种值（[1]，第17页）。 93-109）。只要没有任何东西表明某个序中的单位是否不存在，即只要系统不是通过引入“零”来完成的，这样系统的不便之处当然在于它的歧义性。然而，巴比伦人在其更伟大的部分历史中却没有这样的标志，并且除了在B.C的最后两个世纪外，没有使用“零”，然后仅在数内；到那时，仅凭上下文就可以澄清所考虑的符号的含义。只有另外两个系统系统地使用了“零”：玛雅人的（显然，自基督教时代开始以来就在使用[2]）和我们现在的十进制系统，它来自（通过阿拉伯人）来自印度教数学，其中零的使用自公元一世纪以来就得到了证实。 零与数（而不仅仅是作为分隔符号）及其引入计算中是印度教徒的原创贡献 [3]。当然，一旦获得了“按位置计数”的原理，就很容易将扩展变成任意的基。对17世纪以来提出的不同“基”优劣的讨论取决于数值计算技术，这里进入不能。我们注只是位于这些系统中的根的运算，即所谓的“欧几里得除法”，在希腊时代并没有出现之前，并且无疑可以追溯到早期的毕达哥拉斯学派，他们将其作为理论算术中的重要工具。

枚举的一般问题，以“组合分析”的名称组合在一起，似乎在古典时代的最后几个世纪没有尝试过之前；在公元三世纪，只有公式 $\binom{n}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)$ 得到证实。印度教数学家 Bhaskara（12 世纪）知道 $\binom{n}{p}$ 的通式公式。在 Levi ben Gerson（13 世纪初）的一份手稿中发现了更系统的研究：他一次获得了 $n$ 对象 $p$ 的排列数 $V_n^p$ 的归纳公式，特别是置换的数 $n$对象，并且他阐述了相当于关系$\binom{n}{p}=V_n^p/p!$和$\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$的规则（[4]，第64-65页）。但这份手稿似乎仍然不为他的同时代人所知，其结果只是在随后的几个世纪中才逐渐被数学家重新发现。至于后来的进展，我们记录一下Cardan证明了$n$元素的集合非空子集数是$2^n-1$。帕斯卡和费马在创立概率论演算时，重新发现了$\binom{n}{p}$的表达式，而帕斯卡是第一个在数和二项式定理之间观察到关系的人，这似乎从13世纪开始为阿拉伯人所熟知，而在14世纪为中国人所知，并且16世纪初在西方重新发现，连同被称为“帕斯卡三角”的系数计算的归纳法方法（[4]，第35-38页）。最终，大约在 1676 年，莱布尼茨获得了（但没有发表）“多项式系数”的广义公式，该方程被德莫弗尔独立重新发现并于 20 年后发表。

参考书目

1. O. NEUGEBAUER, Vorlesungen über die Geschichte der antiken Mathematik, Bd. I : Vorgriechische Mathematik, Berlin (Springer), 1934. 2. S. G. MORLEY, The Ancient Maya, Stanford University Press, 1946. 3. B. DATTA and A. N. SINGH, History of Hindu Mathematics, vol. I, Lahore (Motilal Banarsi Das), 1935. 4. J. TROPFKE, Geschichte der Elementar-Mathematik, vol. VI : Analysis, Analytische Geometrie, Berlin-Leipzig (de Gruyter), 1924.