习题 5, § 4

令 E 为有序集合，其中存在整数 $k$，使得 $k$ 为元素的最大的数，位于 E 的自由子集 X ($§ 1$, 习题) 5）。证明 E 可以总共划分为 $k$ 有序子集（相对于归纳排序）。 证明分两步：

(a) 如果 E 是有限的并且在 $n$ 上有 $n$ 元素、使用归纳法；设$a$为E的最小元素，并设$\mathrm{E}' = \mathrm{E} - \{a\}$。 如果$\mathrm{E}'$中存在划分到$k$全序集$\mathrm{C}_i$$(1 \leqslant i \leqslant k)$，则令$\mathrm{U}_i$为所有$x \in \mathrm{C}_i$中$\geqslant a$的集合。 证明至少有一个指标 $i$，其中 $\mathrm{E}' - \mathrm{U}_i$ 的免费子集最多有 $k - 1$ 元素。 其中证明由*reductio adabsurdum*提出。 对于每个$i$，令$\mathrm{S}_i$为$\mathrm{E}' - \mathrm{U}_i$的自由子集，其中有$k$元素，令S为集合$\mathrm{S}_i$的并，并令$s_j$为最小每指标 $j \leqslant k$ 元素 $\mathrm{S} \cap \mathrm{C}_j$；证明 E 的 $k + 1$ 元素 $a, s_1, \ldots, s_k$ 形式是自由的子集。

(b) 如果 E 是任意的，证明是$k$ 上的归纳，如下。 如果对于 E 的每个有限子集 F，存在 F 的划分至多 $k$ 全序集，使得 $\mathrm{C} \cap \mathrm{F}$ 包含在其中之一，则称 E 的子集 C 在 E 中“强相关”。 证明存在最大强相关子集$\mathrm{C}_0$，并且$\mathrm{E} - \mathrm{C}_0$的每个空闲子集至多有$k - 1$元素。 （通过反证法，假设$\mathrm{E} - \mathrm{C}_0$中存在$k$元素的自由子集$\{a_1, \ldots, a_k\}$。考虑每个集合$\mathrm{C}_0 \cup \{a_i\}$$(1 \leqslant i \leqslant k)$，并表达其不强相关的事实，从而引入有限子集对于每个指标 $i$，E 的 $\mathrm{F}_i$。然后考虑集合 $\mathrm{F}_i$ 的并 F，并利用 $\mathrm{C}_0$ 强相关的事实来获得矛盾。）