习题 19, § 6

(a) 令$\alpha$和$\beta$为两个序数，使得$\alpha$没有前身，并令$\xi \to \sigma_\xi$为序数$\omega_\beta$到序数$\alpha$的严格递增的映射，使得$\sup_{\xi < \omega_\beta} \sigma_\xi = \alpha$。表明

（将序数 $\omega_\beta$ 的每个映射 $f$ 与序数 $\omega_\alpha$ 关联一个 $\omega_\beta$ 的单射映射 $\bar{f}$ 到所有 $\omega_{\sigma_\xi}$ ($\xi < \omega_\beta$) 的集合，这样$f(\xi) \leq \bar f(\xi)$ 对于所有 $\xi < \omega_\beta$ 计算映射 $f$ 的基数集合与相同的 $\bar f$ 相关联并观察到

和$m\geq\aleph_\alpha$（cf.§ 3，习题3）。）

(b) 设$\bar\alpha$为序数，使得$\omega_{\bar\alpha}$是$\omega_\alpha$的最后一个特征标。证明$\aleph_\alpha^{\aleph_{\bar\alpha}}>\aleph_\alpha$，并且如果存在$n$使得$\aleph_\alpha=n^{\aleph_\gamma}$，则$\gamma<\bar\alpha$（使用(a)和§ 3的习题 3）。

(c) 证明，如果 $\lambda<\bar\alpha$，则

（如习题 18 (a) 中的论证）。