Bourbaki

习题 4, § 1

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实变函数, III, 116

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

从 Cauchy-Schwarz 不等式推导出，对于[a,b][a, b] 上的受控函数的原语函数 uu，以及 [a,b][a, b] 上的每个连续函数 h>0h > 0，有一个

∣u(b)2−u(a)2∣≤2(∫abu′2(t)h(t)dt)1/2(∫abu2(t)h(t)dt)1/2 |u(b)^2 - u(a)^2| \leq 2 \left( \int_a^b {u'}^2(t) h(t) dt \right)^{1/2} \left( \int_a^b \frac{u^2(t)}{h(t)} dt \right)^{1/2}
如果右侧的两个积分收敛。

通过取 a=0, b=π/2, h(t)=1a = 0,\ b = \pi/2,\ h(t) = 1 和

u(t)=c1cos⁡t+c2cos⁡3t+⋯+cncos⁡(2n−1)t, u(t) = c_1 \cos t + c_2 \cos 3t + \cdots + c_n \cos(2n-1)t,
其中 cj≥0c_j \geq 0 对于每个 jj，推导出 Carlson 不等式
∑jcj≤π(∑jcj2)1/4(∑j(j−12)2cj2)1/4. \sum_j c_j \leq \sqrt{\pi} \left( \sum_j c_j^2 \right)^{1/4} \left( \sum_j \left( j - \frac{1}{2} \right)^2 c_j^2 \right)^{1/4}.

解答

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