习题 4, § 2

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实变函数, VI, 293

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a) 证明关系

B_n(1 - X) = (-1)^n B_n(X)

（使用

b_{2n-1} = 0

代表

n > 1

，以及关系

B_n(1 - X) - B_n(-X) = (-1)^n n X^{n-1}.

)

b) 表明

B_n \left( \frac{1}{2} \right) = b_n \left( \frac{1}{2^n} - 1 \right)

（使用练习 3）。

c) 证明，对于 $n$ 偶数， $B_n(X)$ 在 $\mathbf{R}$ 的区间 $[0, 1]$ 中有两个根，对于 $n$ 奇数 $> 1$ ， $B_n(X)$ 在点有一个简单的根 $0, \frac{1}{2}$ 和 $1$ 并且不会在 $[0, 1]$ 的任何其他点消失（使用 $b$ ）和关系 $B'_n = n \tilde{B}_{n-1}$ ）。

d) 由c)推导出，对于 $n$ 偶数， $[0, 1]$ 上 $|B_n(x)|$ 的最大值为 $|b_n|$ ，对于 $n$ 奇数，如果 $a_n$ 是 $[0, 1]$ 上 $|B_n(x)|$ 的最大值，则

\frac{4}{n+1} |b_{n+1}| \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) \leq a_n \leq \frac{1}{2} n |b_{n-1}|

（使用平均值值定理）。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。