Exercice 4, § 2

a) Démontrer la relation

(utiliser le fait que $b_{2n-1} = 0$ pour $n > 1$, et la relation

b) Montrer qu’on a

(utiliser l’exerc. 3).

c) Montrer que, pour $n$ pair, $B_n(X)$ a deux racines dans l’intervalle $(0,1)$ de $\mathbf{R}$, et que, pour $n$ impair $> 1$, $B_n(X)$ a une racine simple aux points $0, \frac{1}{2}$ et $1$, et ne s’annule en aucun autre point de $(0,1)$ (utiliser b) et la relation $B'_n = n B_{n-1}$).

d) Déduire de c) que, pour $n$ pair, le maximum de $|B_n(x)|$ dans l’intervalle $(0,1)$ est égal à $|b_n|$, et que pour $n$ impair, si $a_n$ est le maximum de $|B_n(x)|$ dans $(0,1)$, on a

(utiliser le th. des accroissements finis).