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1. 数学基础；逻辑; 集合理论。

自 19 世纪初以来一直在不断进行的通常被称为“数学基础”的研究不可能取得成果，除非同时努力将逻辑系统化，至少是那些控制数学叙述之间联系的部分。因此，集合理论和数学形式化的历史与“数理逻辑”的历史是不可能分开的。但传统逻辑，就像现代哲学家的逻辑一样，所涵盖的原理，其应用领域远远大于数学。因此，读者一定不要指望在接下来的内容中找到逻辑学的历史，即使是在非常概括的形式中；我们尽可能限制自己只追溯逻辑学的演变，因为它影响了数学的演变。正因为如此，我们不会谈论非经典逻辑（多值逻辑、模态逻辑）；更重要的是，我们将无法解决那些争议的历史，从智者派到维也纳学校，这些争议从未停止过哲学家们对于现实世界中应用逻辑到对象的可能性和方式或人类思想概念的分歧。

今天，毫无疑问存在着发达的前希腊数学。不仅整个数的概念（已经非常抽象）以及从埃及或迦勒底传给我们的最古老文献中常用的数量测量，而且巴比伦的代数，由于其方法的优雅和可靠，不应该被认为是通过经验摸索解决的问题的简单集合。而且，如果在文本中没有发现任何与字的形式含义中的“证明”类似的内容，那么有理由相信，如果没有最少的逻辑链接（也许不是完全有意识的，而是像现代代数学家在进行计算时所依赖的逻辑链接），就不可能发现解的这种方法，其普遍性通过特定的数值应用而显现出来， 之前“设定正式下来”所有细节）（[232]，第203页）。

希腊人的本质原创性恰恰在于有意识地努力在序列中实现阶数学证明，从而使经过从一个环节到下一个环节没有留下任何怀疑的余地，并限制普遍同意。

希腊数学家在他们的研究过程中，就像现代数学家一样，使用“启发式”论证，而不是令人信服的论证，这是阿基米德的“方法论文”所证明的例（如果有任何需要的话）[153c]； 注也在其中，暗示了早期数学家“发现但未证明”的结果。$^1$但是从我们所知的第一个详细文本（可以追溯到五世纪中叶）来看，数学文本的理想“规范”已经正确确定。它会在伟大的经典，欧几里得，阿基米德和阿波罗尼乌斯中找到它的最高表达；这些作者的概念和证明与我们的没有任何不同。

我们没有任何文本可以让我们遵循这个“演绎方法”的第一步，在我们意识到它存在的那一刻，它似乎已经接近完美。人们只能认为，它相当自然地融入了对世界“解释”的永恒探索，这是希腊思想的特征，并且在七世纪的爱奥尼亚哲学家中已经如此明显。此外，传统上一致将方法的发展和完善归因于毕达哥拉斯学校，其时期介于六世纪末和五世纪中叶之间。

正是在这种充分意识到其目标和方法的“演绎”数学上，随后时代的哲学和数学思想将集中起来。一方面，我们将看到以数学为模型的“形式”逻辑逐渐建立起来，随着形式化语言的创建而达到结论；另一方面，主要从十九世纪初开始，数学的基本概念将受到越来越多的质疑，并努力阐明其本质，特别是之后集合论的诞生。

逻辑的形式化。

从我们对五世纪希腊哲学思想的（非常零散的）文本中似乎得出的总体印象是，它是由一种越来越有意识的努力所主导的，即从人类思想的扩展到整个域，进行讨论的程序通过当代修辞学和数学取得了巨大的成功——在其他字中，以最普遍的形式创造逻辑。哲学著作的基调

$^1$ 尤其是德谟克利特，阿基米德将公式的发现归功于他，给出了金字塔的体积（[153 c]，p. 13）。这个典故必须与德谟克利特的一段著名片段放在一起（但真实性有争议），他在其中说道：“在用证明构建图形方面，没有人能超越我，甚至连埃及的‘harpedonaptes’（他们被称为‘harpedonaptes’）也没有。” （[89]，诉I、p. 439 和诉II，1，第 727-728 页）。阿基米德的评论以及证明（古典意义上的）在我们所得到的埃及文献中从未被发现的事实，使我们认为德谟克利特所指的“证明”在古典时期不再被认为是这样的，今天也不会如此。

此时经历了突然的变换：而在第七和第六世纪，哲学家们肯定或预判（或至多概述模糊的论证，基于同样模糊的类比），从巴门尼德，尤其是泽农开始，他们论证并试图引出一般的原理，它可以作为他们的辩证法的基：正是在巴门尼德那里，人们找到了第一个叙述排中的原理和埃利亚的泽农的证明“矛盾”至今仍然著名。但泽农的写作时间是五世纪中叶；而且，无论我们的文档有多少不确定性，$^2$此时很可能数学家在他们自己的领域中正在使用这些原理。

正如我们上面所说，我们不需要追溯这一逻辑孕育过程中每一步都存在的无数困难，以及从埃利亚学派到柏拉图和亚里士多德，再到诡辩派所产生的争议；我们应该回顾这一逻辑的诞生过程中的每一步所面临的无数困难，以及由此产生的争议，从埃利亚学派到柏拉图和亚里士多德，再到诡辩派。让我们在此仅讨论演说艺术和作为其推论之一的语言数学分析在这一演变中所扮演的角色，人们一致认为，这些发展应主要归功于五世纪的诡辩家。另一方面，即使数学的影响并不总是被明确地认识到，但它仍然是显而易见的，特别是在柏拉图和亚里士多德的著作中。可以说，柏拉图对数学近乎痴迷；尽管他本人并不是这一领域的发明家，但他在之后一生中的某个特定时期，一直关注着当代数学家（其中许多人是他的朋友或学生）的发现，并且从未之后停止过最直接的兴趣，甚至提出了研究的新方向；因此，在他的著作中，数学不断地充当例证或模型（甚至有时，就像毕达哥拉斯学派一样，助长了他对神秘主义的倾向）。至于他的学生亚里士多德，他无法避免接受学院学生所需的最低数学基础，并且已经制作了一卷由……组成关于数学或参考数学的著作的摘录[153d]；但他似乎从来没有付出很大的努力来跟上他那个时代的数学运动，而且他在这个领域只引用了已经普及很长时间的结果之前。此外，这种位移对于大多数后来的哲学家来说只会变得更加明显，其中许多人由于缺乏技术准备，相信自己在谈论数学时充满了知识，而他们只会提到数学发展中早已超越的阶段。

就逻辑学而言，这一时期的结尾乘积是亚里士多德的不朽著作[6]，他的伟大功绩是首次成功地将推理的程序系统化和编纂成文。

$^2$ 数学上矛盾的证明最好的经典例是亚里士多德经常提到的$\sqrt{2}$非理性的证明；但现代专家无法准确地确定这一发现的年代，有些人认为它是在五世纪初期，另一些人则认为是五世纪末（参见p. 148以及其中引用的有关该主题的参考文献）。

$^3$ 首先，我们必须保留这项工作的总论点，作为我们的目标，要知道有可能将约化全部纠正推理，以系统地应用一小部分数不变的规则，这些规则独立于所讨论的对象的特殊性质（通过以下方式清楚地证明了独立性）概念的表示或字母的命题——可能是亚里士多德从数学家那里借用的）。但亚里士多德几乎完全将注意力集中在关系的特定型和逻辑链上，构成了他所谓的“三段论”：这主要是关系的情况，我们现在用形式$A \subset B$或$A \cap B \neq \emptyset$翻译为集合论，$^4$ 以及通过模式链接这些关系或其否定的方式

亚里士多德在阶仍然对他那个时代的数学有足够的了解，他发现这个型的模式不足以考虑数学家使用的所有逻辑运算，更不能考虑逻辑的其他应用（[6]，An.Pr.，I，46）。$^5$至少对不同的逻辑进行深入研究他所采用的“三段论”的形式（几乎完全致力于阐明推理所承载的对象的模糊性或模糊性所带来的永久困难）使他有机会制定获得命题的否定的规则（[6]，An. Pr.， I，46）。对亚里士多德来说也是如此

$^3$ 尽管亚里士多德为我们阐述的逻辑规则看似简单且“显而易见”，但只需将它们放回阶中的历史设定，就能体会到在试图获得这些规则的精确叙述时所遇到的困难，以及亚里士多德在阶中为了成功而必须付出的努力：柏拉图在他的对话中，向有文化的公众讲话，仍然让他的特征标卷入了像$A \subset B$的否定和关系$A \cap B = \emptyset$（现代的记号）之间的关系这样基本的问题，然而正确答案却出现得较晚[264]。

亚里士多德的$^4$相应的叙述是“所有A都是B”和“某些A是B”；在这个记号中，A（“主语”）和B（“谓语”）代替了概念，并且说“所有A都是B”意味着可以将概念B分配给每个可以分配概念A的对象（在经典例中，A是概念“人”，B是概念“凡人”）。我们给出的解释在于考虑集合或对象分别可以应用概念A和B；这就是所谓的“扩张”视图的“点”，亚里士多德已经知道了。但他主要从另一个点的角度考虑关系“所有A都是B”，即“理解”，其中B被视为以某种方式构成更复杂的概念A的概念之一，或者，正如亚里士多德所说，“属于”。乍一看，两个点视图似乎彼此一样自然，但“理解”视图的点一直是逻辑发展中问题的恒定来源（它似乎比第一个更远离直觉，并且相当容易导致错误，特别是在涉及否定的概形中；cf.[69a]，第 21-32 页）。

$^5$ 对于三段论及其缺陷的批判性讨论，请参阅例 ([69a], 第 432-441 页) 或 ([164], 第 44-50 页)。

由于他非常精确地区分了“普遍”命题与“特殊”命题的作用，这是量词.$^6$的第一幅草图，但众所周知，他的著作（通常以狭隘和不明智的方式解释）的影响，直到十九世纪仍然非常有影响力，是如何鼓励哲学家忽视研究的数学的发展，以及块形式逻辑的进步。$^7$

然而，后者在古代，在逍遥派的竞争对手麦加派和斯多葛派学校的环境中继续取得进展。不幸的是，我们关于这些原则的信息都是二手的，通常是由对手或平庸的评论家传递的。这些逻辑学家所取得的重要进步似乎在于形成了今天意义上的“命题演算”：他们不像亚里士多德那样被限制在特定形式$A \subset B$的命题，而是陈述了关于完全不确定的命题的规则。此外，他们以如此深入的方式分析了这些规则之间的逻辑联系，以至于他们知道如何通过与现代方法非常相似的程序从其中的五个规则中推断出所有规则，集合是“无法证明的”[23]。不幸的是，他们的影响相当短暂，他们的结果也被遗忘了，直到被十九世纪的逻辑学家重新发现。直到十七世纪，亚里士多德仍然是逻辑学领域无可争议的大师。特别是众所周知，经院哲学家完全受他的影响，如果他们对形式逻辑的贡献远不能忽略不计[25]，那么与古代哲学家的成就相比，它在最高水平上并没有包含任何进步。

然而，对于注来说，亚里士多德或其后继者的著作似乎对数学并没有产生显着的影响，这是恰当的。希腊数学家沿着毕达哥拉斯学派及其四世纪继承者（狄奥多罗斯、泰塔、欧多克索斯）开辟的道路进行了他们的研究，在他们的结果的表达中显然没有考虑形式逻辑：当人们将数学推理当时已经获得的灵活性和精确性与亚里士多德逻辑的非常初级状态进行比较时，这一发现应该不会令人惊讶。当逻辑超越这个阶段时，数学的新收获将再次指导其演变。

随着代数的发展，确实无法避免形式逻辑规则与代数规则之间的类比，而公共的性质中的其他规则适用于对象（命题或数），但并没有精确确定。当代数记号在十七世纪确立了它的权威时

直到十九世纪末，$^6$真正的量词（具有现代意义）的缺失，一直是形式逻辑停滞的原因之一。 $^7$ 引用了一位著名学者的例子，他在最近在普林斯顿举行的一次会议上，当着哥德尔的面，据说他会说，自亚里士多德以来，逻辑学中没有任何新的进展！

在维埃特和笛卡尔手中的形式，人们几乎立刻就可以看到对象征性记号的不同尝试，其目的是逻辑运算的表示；但是之前莱布尼茨，这些对于例的尝试性努力，就像Herigone (1644)写下初等几何的证明，或佩尔(1659)写下算术的努力一样，仍然非常肤浅，并没有导致数学推理的数学分析取得任何进展。

与莱布尼茨在一起，我们面对的是一位哲学家，他也是第一个秩的数学家，他知道如何从他的数学经验中汲取思想的萌芽，从而将形式逻辑带出经院的死胡同。$^8$如果有一个普遍的精神，如果有一个原始和富有成效的思想的取之不尽的源泉，莱布尼茨将对逻辑更加感兴趣，因为它发现自己处于他的哲学的核心。他一生从未停止过将语言和思想形式化的宏伟计划。他在童年时接受过经院逻辑训练，受到方法的想法（回到雷蒙德·卢勒）的诱惑，它将约化所有人类概念转化为原始概念，组成“人类思想字母表”，并以准机械的方式重建它们以获得所有真实的命题（[198 b]，第VII， p. 185；cf.[69a]，II）。还很年轻的时候，他也构想了另一个更原始的想法，即象征性记号作为“阿里阿德涅之弦”的思想之串的有用性：$^9$“真正的方法”，他说，“必须为我们提供阿里阿德涅丝，也就是说，一种引导思想的敏感而粗糙的手段，就像几何学中所画的线和算术学徒所规定的型或运算，如果没有这些，我们的头脑将不知道如何沿着一条漫长的道路走下去而不迷失方向。” （[198 b]，v.VII，p. 22；cf. [69 a]，p. 90）。直到大约 25 岁之前，他对当时的数学知之甚少，他首先在“通用语言”的形式中提出了他的项目（[69 a]，第 III 章）；但当他接触到代数后，他就以它为模型

$^8$ 尽管笛卡尔和（较小的次数）帕斯卡将他们的哲学著作部分投入到了数学基础上，但他们对形式逻辑进步的贡献可以忽略不计。毫无疑问，这是源于他们思想的基本倾向，即摆脱学术束缚的努力，这种束缚导致他们拒绝一切可能与之相关的事物，尤其是形式逻辑。事实上，正如他自己所认识到的，在他对几何精神帕斯卡的思考中，限制本质上是从欧氏证明中塑造出精心铸造的公式已知的原理（对于例，著名的格言：“总是在精神上用定义代替定义的” ([244], v.IX, p.280) 基本上为亚里士多德所知 ([6], Top., VI, 4; [153 d], p.187))。至于笛卡尔，他所说的推理规则首先是心理戒律（相当模糊），而不是逻辑判据；正如莱布尼茨的批评所表明的那样（[69 a]，p. 94和202-203），因此它们仅具有主观跨度。

$^9$ 当然，就数学而言，莱布尼茨的前辈们也对这种象征主义感兴趣，而笛卡尔对于例，建议“用非常短的符号”来表示替换整个数字（第十六条关于心灵方向的规则；[85 a]，v.X，p. 454）。但没有人之前莱布尼茨如此有力地坚持这个原理的普适范围。

“普遍特征”。他指的是型象征性语言，能够毫不含糊地表达所有人类思想，加强我们的推理的幂，通过完全机械集中的努力避免错误，最终构建成“呈现它们的人自己没有听到的嵌合体，将不可能在这些特征标中写下来”（[198a]，v. I、p. 187）。在莱布尼茨著作中的无数段落中，莱布尼茨提到了这个宏伟的计划以及它的实现将带来的进展（cf.[69a]，第IV和VI），可以清楚地看出他对形式化语言的概念的构想是多么清晰，它是一种符号的纯粹组合，其中只有链接是符号的纯粹组合。重要的是，$^{10}$，这样机器就能够生产所有定理，$^{11}$，并且所有争议都可以通过简单的计算来解决（[198 b]，v.VII，p. 198-203）。如果这些希望可能显得有些过分，那么莱布尼茨思想的这种持续倾向确实与他的数学工作的良好部分联系在一起，首先是他关于无穷小演算的象征意义的工作（参见p. 190ff.）；他本人完全意识到这一点，并明确地将其关于指标记号和行列式的想法与他的“特征”联系起来（[198a]，v.II，p. 204；cf.[69a]，第481-487页）和他的“几何演算”草图（参见第 50 页和第 61 页；cf. [69 a]，第 IX 章）。但在他看来，本质的部分必须是符号逻辑，或者，正如他所说，它是一个“演算理性推理者”，而虽然他没有成功地创造出这个演算，至少我们看到他至少尝试过三次。在他的第一次尝试中，他想到了将每个“原语”项与一个素数数相关联，每个项由几个原语项组成，并由相应的素数数的乘积表示；他试图将$^{12}$翻译成这样系统三段论的通常规则，但遇到了由否定引起的重大复杂性（他相当自然地尝试用符号变换来表示）并迅速放弃了这条道路（[198 c]，第42-96页；cf.[69 a]，第326-344页）。在后来的尝试中，他试图赋予亚里士多德逻辑更代数的形式； 有时他保留记号$AB$为合取两个概念； 有时他使用记号$A + B;$^{13}他注（乘法记号）律幂等性$AA = A$，注可以用命题“所有A都是B”代替等式$A = AB$，并且可以从那里开始通过纯代数计算恢复亚里士多德的大部分规则（[198c]，第229-237页和356-399；cf.[69a]，第345-364页）；他还有空集（“non Ens”）的想法，并认识到

$^{10}$ 令人震惊的是，他在这里引用例或推理“权利型”、“收藏家帐户”甚至法律文本（[198 b]，第 IV、p. 295）。 $^{11}$ 人们知道，“逻辑机器”的这一概念如今在元数学中使用，它非常有用（[181]，第 XIII 章）。 $^{12}$ 哥德尔在他的元数学著作中成功地采用了这个想法，但略有不同的形式（cf. [130 a] 和 [181]，p. 254）。 $^{13}$莱布尼茨只试图在几个片段中将析取引入到他的演算中（他用$A + B$表示），并且似乎没有成功地以令人满意的方式同时处理运算和合取（[69a]，p. 363）。

例如命题的等价“所有A都是B”而“A（不是B）不是”（前述）。此外，他注认为他的逻辑演算不仅适用于概念逻辑，而且也适用于命题（[198c]，p. 377）。因此，他看起来非常接近“布尔演算”。不幸的是，他似乎没能完全摆脱学术的影响。他不仅把集合自己作为他的演算将三段论规则$^{14}$转录成他的记号的唯一目标，而且他甚至牺牲了他最恰当的想法来渴望完全恢复亚里士多德的规则，即使是那些与亚里士多德的想法不相容的规则。 空集.$^{15}$

莱布尼茨的著作直到二十世纪初才大部分部分未出版，并且几乎没有直接影响。 在整个十八世纪和十九世纪初，不同的作者（de Segner，J. Lambert, Ploucquet, Holland, De Castillon, Gregonne) sketched attempts similar to those of Leibniz, without ever progressing substantially beyond the point at which he had stopped; their work only had a feeble effect, which means that most of them ignored all results due to their predecessors.$^{16}$ It is in any case under the same conditions that G. 布尔，必须被认为是现代符号逻辑的真正创造者[29]，写道。 他的主要思想在于系统地将自己置于考虑“扩张”的位置，因此直接用集合进行计算，当$x$和$y$中没有元素时，将两个集合中的交写成$xy$，将并写成$x + y$。 公共的。 他还引入了一个用 1 表示的“宇宙”（所有元素中的集合）和用 0 表示的空集，并用 $1 - x$ 来表示 $x$ 的补集。 正如莱布尼茨所做的那样，他用关系$xy = x$解释了包含关系（从中他毫不费力地提取了古典三段论规则的合理性），而他的记号对并的补足则赋予了他的系统前辈所缺少的灵活性。$^{17}$此外，通过他将蕴涵的关系与它所持有的每个命题集合联系起来，将蕴涵的关系解释为包含，而他的集合的演算以这种方式给了他“命题演算”的规则。

$^{14}$ 莱布尼茨非常清楚亚里士多德逻辑不足以翻译形式数学文本，但是，尽管他进行了一些尝试，但他从未在这方面成功地改进它（[69a]，第435和560页）。

$^{15}$ 这些由所谓的“转换”规则组成，该规则基于“所有 A 是 B”必然“某些 A 是 B”的假设，自然假设 A 不为空。

$^{16}$ 从十八世纪中叶开始，康德的影响无疑在当时对形式逻辑缺乏兴趣方面发挥了一些部分；他认为“我们不需要任何新的逻辑发明”，亚里士多德赋予它的形状足以满足它的所有应用（[178]，v.VIII，p. 340）。关于康德关于数学和逻辑的教条概念，可以参考[69b]。

$^{17}$注尤其是Boole使用交的分配律超过并，这似乎是J. Lambert第一次注意到。

在十九世纪下半叶，布尔的系统形成了基，为活跃的学校逻辑学家的工作而改进，并在几个点完成了它。因此，Jevons（1864）扩大了并$x + y$的运算的含义，将其扩展到$x$和$y$是任意的情况； A. de Morgan 于 1858 年和 C。 S. Peirce于1867年证明了对偶性律

1860 年，德摩根还研究了关系，定义了二进制关系的逆和合成（也就是说，图上的运算相应的到运算$G^{-1}$和$G_1 \circ G_2$）。$^{19}$所有这些工作都系统地阐述和Schröder [277] 的大量多产工作中发展起来。但对注来说，相当有趣的是，我们一直在谈论的逻辑学家似乎对将他们的结果应用到数学上并不很感兴趣，相反，布尔和施罗德似乎特别将通过模仿经典代数的方法和问题（通常以相当人为的方式）来发展“布尔”代数作为他们的主要目标。方式）。毫无疑问，这种态度的原因必须从以下事实中看出：布尔演算仍然缺乏转录大部分数学推理、$^{20}$的能力，并且仅以这种方式为莱布尼茨的伟大梦想提供了非常部分的答案。 构造是一种更适合数学的形式主义——其中变量的引入和量词，独立地归功于弗雷格 [117 a, b, c] 和 C。 S. Peirce [248 b] 构成了主要舞台 - 是逻辑学家和数学家的作品，与上述不同，他们的目标首先是数学基础的应用。

弗雷格的项目 [117 b 和 c] 是基于通过“概念书写”（Begriffsschrift）形式化的逻辑来创建算术基础，我们稍后（p. 29）会回到他定义自然数的方式。他的作品的特点是概念的数学分析极其精确和注重细节；正是由于这种倾向，他引入了许多在现代逻辑中被证明​​非常重要的区别：例如，正是他首先区分了命题和断言之间的叙述和断言，这命题是真的，

18 必须指出的是，与这些规则等效的叙述已经在一些经院哲学家中找到了（[25]，p.67 ff.）。 19 然而，两个任意集合的“笛卡尔”乘积的概念似乎直到 G. Cantor ([47], p. 286) 才被明确引入；也是康托首先定义幂运算$A^B$（loc.cit.，p. 287）；无限乘积的一般概念归因于 A. N. Whitehead ([333], p.369)。 关系图的使用是最近才出现的；当然，如果实数变量的实值函数的经典情况例外，那么它似乎是第一次出现在意大利几何学家中，尤其是C。 Segre，在他们的代数对应研究中。 20 对于使用我们的量词从一个或多个给定关系获得的每个关系，在这个演算中，有必要引入记号$G^{-1}$和$G_1 \circ G_2$的型的临时记号（参见例 [248 b])。

属于的关系和包含，在对象$x$和集合之间，$\{x\}$简化为单个对象，等等。他的形式化逻辑，包含不仅是具有数学意义的“变量”，而且是代表不确定的关系的“命题变量”，易于量化。 （通过罗素和怀特海的工作）提供了元数学的基本工具。不幸的是，他所采用的符号几乎没有什么启发性，排版极其复杂，而且与数学家的实践相距甚远。其结果是拒绝了后者，并大大减少了弗雷格对他同时代人的影响。

皮亚诺的目标同时更加宏大和更加务实。它包括出版完全用形式语言和包含编写的“数学公式”，不仅包括数理逻辑，还包括数学最重要分支的所有结果。在众多热心合作者（Vailati、Pieri、Padoa、Vacca、Vivanti、Fano、Burali-Forti）的帮助下，他成功地完成了这一雄心勃勃的项目，这证明了他所采用的符号体系的卓越性：紧密遵循数学家当前的实践，并引入许多精心挑选的缩写符号，他的语言仍然相当容易辨认，这尤其要归功于巧妙的系统替换括号由句号分隔符 [246 f]。皮亚诺提出的许多记号如今已被大多数数学家采用：我们引用$\in, \supset$（但与目前的用法相反，其含义是“包含在”或“暗示”$^{21}$）、$\cup, \cap, A - B$（差$a - b$的集合，其中$a \in A$和$b \in B$）。另一方面，在《公式表》中首次发现了函数的一般概念、直接像$^{22}$和倒数像的彻底的数学分析，以及序列仅是注。 函数定义于 $\mathbf{N}$。但皮亚诺的量化受到限制的阻碍（人们只能在原理中量化，在他的系统、关系或形式$A \to B, A \Leftrightarrow B$或$A = B$中）。此外，他的一些弟子近乎狂热的热情使他们很容易受到嘲笑。特别是 H. Poincaré 的批评，通常是不合理的，对皮亚诺学校是一个沉重的打击，并成为他的学说在数学世界传播的障碍。

弗雷格和皮亚诺掌握了当今使用的形式语言的本质元素。最广泛传播的无疑是罗素和怀特海在他们的伟大著作《数学原理》中锤炼出来的，它愉快地将弗雷格的精确性和皮亚诺的便利性联系起来[266]。大多数实际的形式语言与它的区别仅在于次要的变换，旨在简化其使用。其中最巧妙的是，我们引用关系的“功能”写作（例如$\in xy$代替

$^{21}$ 这很好地表明了“在理解中”而不是“在扩张”中思考的旧习惯，甚至在他身上也根深蒂固。

$^{22}$ 对此的介绍似乎归功于 Dedekind，在他的著作“Was sind und was sollen die Zahlen”中，我们稍后会谈到（[79], v. III, p.348）。

$x \in y$)，由 Lukasiewicz 提出，因此可以完全省略括号；但最有趣的毫无疑问是希尔伯特引入了符号$\tau$，它允许考虑量词、$\exists$和$\forall$作为缩写符号，避免引入皮亚诺和罗素的“通用”泛函符号$\iota$（仅适用于泛函关系），最后避免了需要在集合论 ([163 a], v.III, p. 183) 中制定选择公理。

数学真理的概念。

数学家一直确信他们证明了“真理”或“真实命题”；这样的信念显然只能是感伤的或形而上学的，并且不能通过数学基础来证明它是合理的，甚至也不能赋予它不使其成为同义反复的含义。因此，数学中真理概念的历史是哲学史的关注点，而不是数学史的关注点。但这个概念的演变对数学产生了不可否认的影响，正因为如此，我们不能让它默默地过去。

注首先，拥有深厚哲学文化的数学家就像拥有丰富数学知识的哲学家一样罕见；数学家对哲学主题的观点，即使这些问题与其域有关，也通常是从二手或第三手收到的观点，来源可疑。但是，正因为如此，正是这些平均观点引起了数学历史学家的兴趣，至少与笛卡尔或莱布尼茨（提及两位也是前秩的数学家）、柏拉图（他们至少跟上了他那个时代的数学家）、亚里士多德或康德（不能说他们的观点相同）等思想家的原始观点一样感兴趣。

传统的数学真理概念可以追溯到文艺复兴时期。在这个概念中，数学家关注的对象和自然科学关注的对象没有太大区别；两者都是可知的，人们通过直觉和理性都掌握了它们；没有理由怀疑直觉或理性，只有使用不当，它们才会出错。帕斯卡说，“一个人肯定有一种错误的精神，对原理进行了错误的推理，以至于他们几乎不可能逃脱”（[244]，第XII，p. 9）。笛卡尔在他的炉边说服自己，“只有数学家才能找到一些证明，也就是说，一些确定和确定的原因”（[85 a]，v.VI，p. 19）并且（如果他的故事可信的话）之前，他已经建立了一种形而上学，其中“同样的事情”，他说， “I以前被视为一条规则，即我们可以非常清晰地想象的对象都是真实的，只有因为上帝存在或存在，并且他是一个完美的存在，才可以确保”（[85a]，第VI，p. 38）。如果莱布尼茨对象对笛卡尔来说不能可以看出如何识别一个想法是“清晰和明确的”，$^{23}$他也认为公理是显而易见的和无可争议的推论或定义只要表达式被理解。$^{24}$也不能忘记，在当时的语言中，数学包括许多我们不再承认的科学，以及有时甚至就工程师的艺术而言；在他们激发的信心中，他们在“自然哲学”、“机械艺术”、航海方面的应用取得了惊人的成功，获得了巨大的部分。

以这种方式看待事物，公理并不比演绎的规则更容易受到讨论或质疑；最多选择可以留给每个人，根据他的喜好，“以古人的方式”推理或自由支配他的直觉。 选择或点的出发也是个人喜好的问题，人们看到欧几里得的无数“版本”出现，其中*元素*的坚实逻辑框架变成了一种奇怪的嘲讽；一些关于无穷小演算和有理力学的研究，据说是从非常不完善的基本原理中推导出来的；斯宾诺莎也许是真诚地给出了他的“伦理学”，并以几何学家的方式“更多地几何论证”来证明。即使在十七世纪很难找到两位在任何问题上达成一致的数学家，即使争论每天都在发生，无休止且激烈，概念的真理仍然没有问题。 “关于每个物体只有一个真相”，笛卡尔说，*“无论谁发现它，都知道尽可能多的关于它的知识”*（[85 a]，v.VI，p. 21）。

尽管关于这些问题的希腊数学文本没有保存下来，但希腊数学家在这个问题上的观点点可能有更多的细微差别。仅凭经验，演绎的规则才被详细阐述到点，激发完全的信心； 之前它们可以被认为是最重要的讨论，需要经历的主要是摸索和旁白。也将是

$^{23}$ “那些给了我们方法的人”他在这种情况下说*“毫无疑问，给出了一些美丽的戒律，但没有提供遵守它们的方法。”*（[198 b]，v.VII，p. 21）。在其他地方，他取笑笛卡尔规则，将它们与炼金术士的食谱进行比较：*“拿走你需要的，按照你必须的去做，你就会得到你想要的！”*（[198 b]，v.IV，p. 329）。

$^{24}$ 在这点上，莱布尼茨仍然受到学术影响；他仍然认为命题在概念之间建立了从“主语”到“谓语”的联系。一旦概念被简化为“原始”概念（正如我们所见，这是他的基本思想之一），对于莱布尼茨来说，一切约化都可以通过他所谓的“相同公理”（本质上是命题$A = A$和$A \subset A$）和原理来检查“包含”的关系 “等价的代换”（如果$A = B$、$A$可以在任何地方用$B$替换（[69a]，第184-206页））。有趣的是，在这种背景下注，莱布尼茨按照他对逻辑的约化一切以及“证明一切可证明的事情”的愿望，从公理$A = A$和原理出发，证明了等式的对称性和关系的传递性。 代换等价物（[198 a]，第 VII，第 77-78 页）。

曲解希腊人的批判精神，他们对讨论和诡辩的爱好，想象帕斯卡认为最明显的“公理”本身（根据他姐姐传播的传说，他在童年时期就以绝对正确的本能发现了自己）并不是长时间讨论的主题。严格来说，在一个不属于几何学的领域，埃利特人的悖论为我们保留了这些争论的一些痕迹。阿基米德在观察（[5 b]，v. II，p. 265）时指出，他的前辈在许多情况下都使用了我们通常将其命名的公理，并补充说，通过该公理证明的内容“已被接受，不亚于没有它证​​明的内容”，并且他自己的结果在相同的基上被接受就足够了。柏拉图根据他的形而上学观点，将数学视为一种获得“真理本身”的手段，并且对象在思想世界中具有真实的存在性；尽管如此，他在《理想国》的一段著名摘录中准确地描述了数学方法：“那些涉及几何和算术的人……假设偶数和奇数三种角度；他们将它们视为已知的对象：一旦假设，他们认为不再需要向自己或他人解释它们，[认为]对每个人来说都是清楚的；从那里开始，他们从序列开始，在阶通过公共的达成他们的研究建议的目标”（[250]，第VI书，510 c-e）。因此，构成证明的首先是提供任意开始的点（甚至虽然“对每个人来说都是清楚的”），除此之外，他进一步说，人们不会试图挖掘;然后是中间阶段序列级数的讨论；最后，在每一步中，对话者的同意都保证了推理的正确性。必须补充的是，一旦陈述了公理，就不允许在原理上诉诸直觉：Proclus引用Géminus的话回忆道，“我们从这门科学的先驱者那里学到了，不要考虑只有在推理的情况下才可信的结论，而推理必须是我们几何学说的部分”（[153 e]，v.I，p. 203）。

因此，数学推理规则的阐述正是源于经验和批评的大锅；如果确实如此，正如以合理的方式[317 d]所论证的那样，欧几里得的书VIII为我们保留了阿基塔斯算术的部分，那么在其中看到相当迂腐的推理的僵化也就不足为奇了，这种僵化在所有发现或相信已经发现“严谨”的数学学校中都出现了。但是，一旦进入数学家的实践，直到最近，推理的这些规则似乎才被怀疑过：如果亚里士多德和斯多葛学派的一些规则是通过推理的概形从其他规则中推导出来的，那么原始规则总是被认为是显而易见的。同样，古典时期的希腊数学家们在回到他们看来为当时的科学提供坚实基础的“假设”、“公理”和“公设”之后（例如他们在传统上归因于希奥的希波克拉底的第一个“元素”中提出的例，大约是公元前450年C）。他们将所有的努力都集中在发现新的结果上，而不是对这些基础进行批评，而这些基础在当时不可能是毫无结果的；而且，抛开所有形而上学的关注，上面引用的柏拉图的文本正是从数学家们对其科学基的普遍一致中得到证明的。

另一方面，希腊数学家似乎不相信可以解释“原概念”，即他们的出发点、直线、曲面、数量之比；如果他们给出了“定义”，这显然是一种良心危机，并且对他们的范围没有任何幻想。没有说，另一方面，除了“初级概念”（定义通常称为“名义”）之外，关于定义，希腊数学家和哲学家都有非常清晰的想法。正是在这种背景下，毫无疑问第一次明确地介入了数学中的“存在”问题。亚里士多德没有错过注意到，定义并不意味着所定义的对象的存在，并且必须有一个公设或证明。毫无疑问，他的观察源自数学家的实践；无论如何，欧几里得在将它们引入他的论证时，都会小心地假设圆的存在，并证明等边三角形、平行线、平方等的存在（[153 e]，书I）；这些证明是“构造”；在其他字中，他展示了基于公理的数学对象，他证明了他需要证明的满足定义。

因此，我们看到古典时代的希腊数学达到了一种经验确定性（无论某个哲学家或其他人对它的形而上学基可能是什么）；如果不能被认为可以质疑推理的规则，那么希腊科学的成功，以及存在的不机会进行批判性修订的感觉，就会在公理本身激发的信心中发挥巨大的部分，这种信心而不是阶（几乎是无限的），这是在上个世纪建立的理论物理原理。无论如何，这正是学校“nihil est in intellectu quod non prius fuerit in sensu”的座右铭所暗示的，这正是笛卡尔所反对的，因为它没有为笛卡尔希望从理性的使用中提取的东西提供足够坚定的基。

我们必须回到十九世纪初才能看到数学家们从笛卡尔的傲慢中恢复过来（更不用说康德或黑格尔的傲慢，后者有点晚了，正如流行的那样，关于他那个时代的科学$^{25}$），恢复到与希腊人一样平衡的立场。对经典概念的第一次打击是非欧几里得的建立

$^{25}$ 在他的就职论文中，他“证明”最多有七颗行星，同一年发现了第八颗行星。

本世纪初高斯、洛巴切夫斯基和博耶的双曲几何。我们不会在这里详细追溯这一发现的起源，这是为证明平行假设进行的无数次徒劳尝试的结果（参见[105 a和b]）。当时它对数学原理的影响也许没有有时所说的那么深。它只是迫使我们放弃上个世纪的主张，转向欧氏几何学的“绝对真理”，更重要的是，莱布尼茨点认为定义蕴含公理；后者不再显得“显而易见”，而是作为假设，必须确定它们是否适合感官世界的数学表示。高斯和洛巴切夫斯基认为，不同可能几何形状之间的争论可以通过经验来确定（[206]，p. 76）。这也是黎曼的观点点，黎曼著名的就职演讲“论形式几何学基础的假设”旨在为各种自然现象提供一个通用的数学框架：“仍有待解决的问题，”他说，“是知道这些假设在多大程度上以及在多大程度上点被经验所证实的问题”（[259a]， p. 284）。但这是问题，显然与数学无关；之前的作者似乎都没有质疑过，即使“几何”不能对应达到实验现实，它的定理仍然是“数学真理”。

尽管如此，如果是这样的话，那么这种信念肯定不再是由于对经典“几何直觉”的无限信心而产生的；而是由于对古典“几何直觉”的无限信任而产生的。 描述黎曼试图给出“n倍扩展的重数”，他的工作目标只是依靠“直觉”的考虑来得出引入“局部坐标”的合理性；从那一刻起，他似乎感觉自己踏上了坚实的基础，即数学分析。但后者最终是基于实数的概念，直到那时它仍然具有非常直观的性质； 函数理论的进展在这方面导致了一些非常令人担忧的结果：随着黎曼本人关于积分的研究，以及由博尔扎诺和维尔斯特拉斯构建的无切线曲线例，整个数学病理学开始了。一个世纪以来我们见识过太多这样的类怪物，已经有点厌倦了，而最怪异的畸形特征标一定要在阶里积累起来才能让我们震惊。但对十九世纪大多数数学家产生的影响从厌恶变成了惊愕：“H.庞加莱问自己，“直觉怎么能在这个点上欺骗我们呢？” ([251 d], p. 19);和埃尔米特（这句名言的评论者不乏幽默的火花）

26 参见。庞加莱支持欧氏几何的“简单性”和“便利性”（[251 c]，p. 67）以及数学分析，稍后，他得出结论，经验并没有为一种几何的选择提供绝对标准，而是为另一个作为自然现象的框架提供绝对标准。 27 同样，这个字仅适用于$n \leq 3$；对于$n$中较大的值，就是类推的情况。

似乎并非所有人都意识到了）宣称他“带着恐惧和恐惧转离了这种可悲的连续函数瘟疫，而且没有衍生品”（[160]，第II，p. 318）。最糟糕的是，这些与公共的意义相反的现象，不能再像“不可分割”时代那样被归咎于难以阐明的思想（见p. 173），因为它们在之后博尔扎诺、阿贝尔和柯西的改革中幸存下来，他们以严格的方式为概念和极限奠定了基础。比率理论（参见p. 154）。因此，必须根据我们几何直觉的粗略和不完整的特征标来进行计算，并且从那时起，它作为证明的手段就一直受到质疑，这是合理的。

这种认识不可避免地会对古典数学产生反应，首先是几何学。 无论欧几里得的公理构造在何种方面得到坚持，人们都注意到不止一个缺陷，而且这种缺陷在古代就已经存在了。 正是平行公设成为最大的数批评和证明尝试的对象；但欧几里得的追随者和评论家也试图证明其他公设（特别是直角的等式）或认识到某些定义的不足，例如直线或平面的公设。 In the XVIth century, Clavius, an editor of the Elements, notes the absence of a postulate guaranteeing the existence of the fourth proportional; for his part, Leibniz remarks that Euclid uses geometric intuition without mentioning it explicitly, for example when he admits (Elements, Book I, prop. 1) that two circles, each of which goes through the centre of the other have a common point ([198 b], v. VII，p. 166）。 高斯（他本人并没有否认自己使用这种拓扑考虑因素）提请注意在欧氏构造中点（或一条直线）的概念在另外两个概念“之间”所扮演的角色，但是没有定义（[124a]，v.1）。 VIII，p. 222）。 最后，位移的使用——特别是在“三角形的等式的情况”中——长期以来被认为是显而易见的，$^{28}$很快就被十九世纪的批评家认为也依赖于未阐明的公理。 因此，在 1860 年至 1885 年期间，人们对几何学的开端（亥姆霍兹、M\'eray、Houël）进行了不同的部分修订，试图弥补其中的一些空白。 但仅限于M。 Pasch [245] 认为放弃所有对直觉的诉求是一个正确制定并完全严格遵循的计划。 他的事业的成功很快为他带来了众多的仿真者，他们主要在 1890 年至 1910 年间给出了各种不同的叙述、公理或欧氏几何形状。 这些著作中最著名的是皮亚诺的著作，用他的符号语言[246 d]写成，尤其是希尔伯特的《几何原理》[163 c]，出版于 1899 年，这本书因其清晰性和阐述的深度而立即成为，

$^{28}$ 然而，必须指出的是，早在十六世纪，欧几里得的评论家 J. Peletier 就在项中抗议了证明的这种方式，接近现代批评家的观点（[153 e]，v. I，p. 249）。

现代公理学的宪章有充分的理由，甚至导致忘记其先驱。 It is indeed that, not content with giving there a complete system of axioms for Euclidean geometry, Hilbert classifies these axioms into different groups of different types, and sets himself to determine the exact area of influence of each of these groups of axioms, not only in developing the logical consequences of each of them in isolation, but also in discussing the different "geometries" obtained when one omits or modifies certain of these axioms (geometries amongst which those of Lobatschevsky and of Riemann appear only as particular cases$^{29}$); he thus puts clearly in the picture, in an area considered until then as one of those nearest the reality of the senses, the freedom of which the mathematician disposes in his choice of postulates. 尽管这些具有奇怪性质的“元几何学”给不止一位哲学家造成了混乱，但“Grundlagen”的论文很快就被数学家们几乎一致地采用了。 H. 庞加莱虽然并没有犯偏爱形式主义的罪，但他在 1902 年认识到几何学中的公理是惯例，而通常理解的“真理”中的概念则没有更多的意义（[251 c]，第 66-67 页）。因此，“数学真理”独特地存在于逻辑演绎中，通过公理任意地从前提集合开始。 正如稍后将看到的（第 35 页），用于生成这些演绎的推理规则的有效性本身很快就受到质疑，从而导致数学基本概念的彻底重塑。

对象、模型和结构。

A) 数学的对象和结构。 — 从古代到十九世纪，对于数学家的主要对象是什么，存在公共的的理解；它们正是柏拉图在前面引用的段落中提到的那些（p. 13）； 数，数量和数字。如果首先必须加上对象以及作为力学、天文学、光学和音乐主题的现象，那么在希腊人中，这些“数学”学科总是与算术和几何明确分开，并且从文艺复兴开始，他们很快就获得了独立科学的秩。

无论某位数学家或哲学家如何对数学对象的概念赋予哲学上的细微差别，至少有一个点是一致的：这些对象是给我们的，而我们的幂并不像物理学家不能那样赋予它们任意的属性。 变换一种自然现象。说实话，心理反应无疑形式一部分

$^{29}$ 似乎给他的同时代人留下最深刻印象的是“非阿基米德”几何，也就是说，具有基域有序非阿基米德域（可交换或不可交换）的几何，（在可交换的情况下）几年前由 Veronese [318] 引入。

这些观点的反应并不需要我们去追踪，但每个数学家都知道，当他徒劳地试图抓住似乎永远溜走的证明而精疲力尽时。从那里到同化这种对感官世界集合在我们道路上的障碍的抵抗只有一步之遥；甚至在今天，不止一个自称顽固形式主义的人会在内心深处自愿赞同埃尔米特的这一承认：“I相信数学分析中的数和函数不是我们头脑的任意结果；I认为它们存在于我们之外，与同样的特征标一样具有必然性。客观现实的事物，我们遇到它们或发现它们，并研究它们，就像物理学家、化学家和动物学家一样”（[160]，v.II，p. 398）。

在数学的经典概念中，毫无疑问会偏离对数和数字的研究；但是，随着新思想的积累，每个数学家都认为自己必须口头遵守的这一官方学说也逐渐成为难以忍受的负担。代数学家面对负数的尴尬并没有停止，直到解析几何给它一个方便的“解释”；但是，直到十八世纪，达朗贝尔在《百科全书》（[75 a]，文章 NÉGATIF）中讨论这个问题时，突然对相当混乱的解释失去了之后列的勇气，并且满足于结论“关于负数的代数运算规则通常被每个人假设，并且通常被认为是准确的，无论想法是什么在其他地方与这些数量相关联”。至于想象中的数，丑闻要大得多；因为如果它们是“不可能的”根，并且如果（直到大约1800年）没有办法“解释”它们，那么我们如何能够在不矛盾的情况下谈论这些无法定义的存在，最重要的是为什么要介绍它们呢？达朗贝尔在此保持谨慎的沉默，甚至没有提出这些问题，毫无疑问，因为他意识到，除了一个世纪前 A. Girard 天真地所做的之外，他无法回答（[129]，f.22）：“可以说：这些不可能的解有什么用？I答案：为了三件事，为了一般规则的确定性，并且没有其他答案解，以及它的用处。”

数学分析，十七世纪的情况也好不到哪儿去。这是一个令人高兴的情况，解析几何的出现，仿佛在指定的点，以几何图形的形式给出了“表示”，这是十七世纪伟大创造的概念或函数，因此有力地帮助（与费马，帕斯卡或巴罗）无穷小演算的诞生（cf.p. 193）。但另一方面，众所周知，关于无限小和不可分的哲学数学争论概念将会引起什么。如果达朗贝尔在这里更高兴，并认识到在无穷小演算的“形而上学”中，除了极限的概念之外没有其他东西（[75 a]，文章DIFFÉRENTIEL和LIMITE，以及[75 b]），那么他并不比他的同时代人更有能力理解展开发散级数，并解释在计算结束时使用剥夺任何数值解释的表达式获得的精确结果的悖论。最后，即使在“几何确定性”领域，欧氏框架也会破裂：当斯特林在1717年不从说收缩时，认为某条曲线具有“无限远的双虚数点”（[299]，新版本的p. 93），他肯定会在尝试链接这样一个“反对”通常理解的概念；蓬塞莱在十九世纪初，在建立射影几何时对这些思想进行了相当大的发展（参见p. 131），但他仍然满足于援引“连续性的原理”作为理由，而这完全是形而上学的。

人们可以想象，在这些条件的作用下（矛盾的是，就在数学的“绝对真理”以最大的的力量宣布的那一刻），证明的概念似乎在十八世纪变得越来越模糊，因为它不可能像希腊人那样下降到集合，进行推理的概念及其基本性质。十九世纪初开始的对严谨的回归，给这种状况带来了一些改善，但新的概念的流并没有停止：人们看到伽罗瓦的想象（[123]，p. 113-127）因此出现在代数中，库默尔[188 b]的理想数，它接下来是向量和四元数，n维空间，多向量和张量（参见第61页），更不用说布尔值代数了。毫无疑问，随着在更经典的项中为这些新的概念提供“模型”的可能性，伟大的进步（这正是允许回归严谨性，而不失去以前的任何征服）：理想的数或伽罗瓦的想象通过同余理论来解释（参见第82页），n维几何只会出现（如果是这样的话）希望）作为一种纯粹的语言，用于陈述代数“有 n 个变量”的结果；对于经典的想象数——其中平面的几何表示乘点（参见第161页）标志着代数开花的开始——几何“模型”和项同余的解释之间很快就有选择 （cf.p. 82）。但数学家们最终开始敏锐地感觉到，这是在与他们的工作拖着他们沿着的自然斜坡作斗争，并且在数学中，必须允许对没有明智“解释”的对象进行推理：“这不是数学的本质”，布尔在1854年说，“被数和数量的想法所占据”（[29]，v.17）。 II, p. 13).30 格拉斯曼在他的“Ausdehnungslehre”中也有同样的关注

30 莱布尼茨在这方面再次作为先驱出现：他说“通用数学”“可以说是想象的逻辑”，并且必须处理“想象领域中易于精确确定的一切”（[198 c]，p. 348；cf. [69 a]，第290-291页）；对他来说，如此理解的数学杰作就是他所谓的“组合学”或“公式的艺术”，他的意思本质上是数学对象之间抽象关系的科学。 但正如直到那时，数学中考虑的关系几乎完全是数量的关系（等式，不等式，比率）一样，莱布尼茨设想了关系的许多其他型，在他看来，这些型应该在1844年进行研究，以在形式中呈现他的演算，其中数或几何对象的概念首先被排除在外。$^{31}$稍后，黎曼在他的就职演讲中，在他的“重数$n$次”的描述中，一开始就注意不要谈论“点”，而是“决定”（Bestimmungsweise）扩展”，并强调，在这样的重数中，“度量关系”（Massverhältnisse）“只能研究抽象量，并且只能用公式来表示；在某些条件下，人们可以将它们分解为关系，其中每个单独的元素都容易受到几何表示的影响，并且在这样就可以用几何形式" ([259 a], p. 276) 来表达计算结果。

从那一刻起，公理方法的展开就成为既成事实。如果在一段时间内，人们认为通过几何直觉控制“抽象”结果是有用的，那么至少可以承认“经典”对象不再是数学家可以合法研究的唯一结果。正是因为倍数可能的“解释”或“模型”，人们已经认识到数学对象的“本质”最终是次要的，对于例来说，结果被呈现为“纯”几何的定理，或者通过解析的方式呈现为代数的定理，这并不重要。几何。在其他字中，数学的本质——这个难以捉摸的概念，在此之前只能用诸如“一般规则”或“形而上学”之类的模糊名称来表达——表现为对对象之间关系的研究，这些关系只能（自愿）通过它们的某些属性来了解和描述，确切地说是那些作为公理置于其理论基础上的属性。布尔在 1847 年就已经清楚地看到了这一点，当时他写道，数学处理的是“在其本身中考虑运算，独立于它们可以应用的多样化对象”（[29]，v.I，p. 3）。汉克尔，

由数学家系统地提出，例如包含的关系，或者他所说的单价或多价“决定”的关系（也就是说映射和对应的概念）（[69a]，第307-310页）。许多其他现代思想出现在他关于这个主题的著作中：他注认为古典几何中等价的不同关系在公共的和传递性中具有对称性；他还设想关系的概念与等价的关系兼容，并且明确地注任意关系不一定有这个性质（[69a]，第313-315页）。当然，他像其他地方一样预设了形式化语言的使用，甚至引入了一个符号来表示任意的关系（[69a]，p. 301）。

$^{31}$ 必须认识到，他的语言具有很强的哲学倾向，并不是为了吸引大多数数学家，他们在公式面前会感到不安，例如：“纯数学是个体对象的科学，因为它诞生于思想”（Die Wissenschaft des besonderen Seins als eines durch das Denken）格沃德宁）。但上下文表明，格拉斯曼以相当精确的方式表达了现代意义上的公理数学（除了他相当好奇地追随莱布尼茨，认为他所说的这种“形式科学”的基是定义而不是公理）；无论如何，他像布尔一样坚持这样一个事实：“数量科学的名称并不适合整个数学”（[134]，第 I，第 22-23 页），他于 1867 年开创了代数的公理化，捍卫了一种“纯粹智力的、纯粹的形式理论，它以目的，不是数量的组合，或者它们的像、数的组合，而是思想的对象（“Gedankendinge”），其中对应可能对对象或关系有效，甚至虽然这样的对应是不必要的”（[146]， p. 10）。康托尔在 1883 年回应了“自由数学”的主张，宣称“数学的发展是完全自由的，其概念仅通过一致的必要性联系起来，并与先前通过精确定义引入的概念相协调”（[47]，p.182）。最后，欧氏几何的修订成功地传播和普及了这些思想。帕什本人虽然仍然依附于几何对象的某种“现实”，但也认识到几何实际上与其意义无关，并且纯粹在于对它们的关系的研究（[245]，p. 90）；希尔伯特推导出这个概念的逻辑结论，强调即使是数学理论的基本概念的名称也可以任意选择，$^{32}$，庞加莱用说表达公理是“伪装的定义”，从而完全颠倒了学院派的点观点。

因此，人们很容易说，“结构”的现代概念实质上是在1900年左右实现的；事实上，它还需要另一个三十年的学徒期之前它才会显现出它所有的荣耀。当结构具有相当简单的性质时，毫无疑问，识别同类的结构并不困难；对于群结构，对于例，这个阶段在十九世纪中叶就已经达到了。但与此同时，可以看到汉克尔在努力——但没有完全成功——提出域和扩张的一般思想，除了在形式中，他没有成功地表达了“永久的原理”，这是半形而上学的[146]，并且只能由斯坦尼茨在明确的形式中阐述[294] a] 40年后。最重要的是，在这件事上，要摆脱这样的印象是相当困难的：数学的对象是“被赋予”给我们的*和结构*；只有相当长时间地使用泛函数学分析，现代数学家才能熟悉这样的想法：对于例，有理数上有几个“自然”拓扑，数线上有几个测度。随着这种分离，结构向一般定义的过渡终于实现了。

B) 模型和同构. — 概念通过另一个对一种数学理论的“模型”或“解释”的干预会多次被注意到。这不是最近的想法，也不是

$^{32}$ 就像一则著名轶事一样，希尔伯特热衷于通过说表达这一想法，即人们可以在不改变任何几何形状的情况下，用“表”、“椅子”和“啤酒杯”来实现替换字“点”、“直线”和“平面”。奇怪的是，人们已经在达朗贝尔身上发现了对这一双关语的预期：“一个人可以赋予字任何一个人想要的意义”，他在《百科全书》中写道（[75a]，文章定义）； “严格来说，[可以]通过将通常称为圆形的东西命名为三角形来创建精确（但荒谬）的几何形状部分”。

怀疑这里所看到的是对各种“数学科学”的单位元深情不断重复的表现。如果人们能将第一批毕达哥拉斯学派的传统格言“万物皆数”视为真实，那么这可以被视为将几何和时代的代数带回算术的第一次尝试的踪迹。尽管无理数的发现似乎永远关闭了这条道路，但它在希腊数学中产生的反应是第二次综合尝试，这次以几何为基，并吸收了从巴比伦人继承的代数方程的解方法。 33 众所周知，这一概念一直保留到 R. Bombelli 和笛卡尔的根本性改革，将每种数量衡量标准同化为长度（在其他情况下字，到实数；cf.p. 151）。但随着笛卡尔和费马创建解析几何，这一趋势再次逆转，几何与代数获得了更紧密的融合，但这一次对代数有利。此外，在其他地方，笛卡尔更进一步，构想了“所有这些通常被称为数学的科学......即使虽然它们的主题不同”的本质单位元，他说“它们仍然不会收敛，因为他们除了考虑在那里可以找到的各种关系或比率”（[85a]，v.VI， pp. 19-20).34 然而，这种点观点仅仅倾向于使代数成为基础数学科学；莱布尼茨强烈反对这一结论，正如我们所看到的，莱布尼茨本人也设想了一种“通用数学”，但规模要大得多，而且已经非常接近现代思想。为了精确地阐明笛卡尔所说的“一致”，他实际上第一次瞥见了同构的一般概念（他称之为“相似性”），以及“识别”同构的关系或运算的可能性；他给出了例加法和乘法（[69a]，第301-303页）。但这些大胆的观点在他的同时代人中并没有得到回应，人们必须等到十九世纪中叶发生的展开或代数（见第51页）才能看到莱布尼茨梦想的实现的开始。我们已经强调过，正是在那个时刻，“模型”倍增，并且通过简单的变换语言从一种理论到另一个变得很平常；其中最引人注目的例也许是射影几何中的对偶性（参见p. 132），当时常见的做法是面对面打印，毫无疑问，两个列，定理“对偶”

33 然而，算术仍然在这种综合之外；众所周知，欧几里得之后发展了任意量之间比率的一般理论，独立发展了有理数数理论，而不是将它们视为数量比率的特殊情况（见第148页）。 34 相当有趣的是，在这个点上，看到笛卡尔越来越接近算术和“数的组合”，“艺术......其中阶更充分地占据统治地位，就像制作布料或地毯的工匠，或刺绣或制作花边的妇女的艺术一样”（[85 a]，第X， p. 403），仿佛期待着现代对称性及其关系和概念的群（cf. [331 c]）。

在同构的概念的完整实现中发挥了巨大的部分的作用。从更技术性的点来看，对于阿贝尔的群来说，同构群的概念对于高斯来说是已知的，对于置换的群对于伽罗瓦来说是已知的（cf.第51页）；它是在十九世纪中叶以一般方式获得的任何群。35在此之后，每一个新的公理化理论，它都是同构到定义概念的自然发展；但直到有了现代的概念或结构，人们才最终认识到每个结构本身都带有同构的概念，并且没有必要为每个型或结构赋予一个特殊的定义。

C) 古典数学的算术化。 ——“模型”概念的使用越来越广泛，也将在十九世纪实现毕达哥拉斯学派梦想的数学统一。 在本世纪初，整个数和连续量似乎与古代一样不可调和。 实数仍然与几何量的概念有关（至少与长度有关），正是对后者提出了负数和虚数数的“模型”。 即使有理数数传统上也依附于分裂等于部分的概念；只有整个数仍然分开，正如高斯在 1832 年所说的那样，“我们头脑中独有的乘积”，使它们与空间的概念相对立（[124 a]，v. VIII，p. 201）。 将算术和数学分析结合在一起的第一次努力最初是通过有理数数（正和负）进行的，这要归功于 Martin Ohm (1822)； 1860 年左右，几位作者再次开始讨论它们，特别是格拉斯曼、汉克尔和维尔斯特拉斯（在他未发表的讲座中）；正是对于后者，似乎是由于通过考虑整个数的对的类来获得正理性数或整个负数的“模型”的想法。 But the most important step remained to be taken, namely to find a "model" of irrational numbers in the theory of rational numbers; around 1870, it had become an urgent problem, in view of the necessity, after the discovery of "pathological" phenomena in Analysis, to eliminate every trace of geometric intuition in the vague notion of "quantity" in the definition of real numbers. 众所周知，这个问题大约在这个时候被康托、戴德金、梅雷和维尔斯特拉斯几乎同时解决，并使用了相当不同的方法（参见p. 155）。

从这一刻起，整个数成为所有经典数学的基础。 此外，基于算术的“模型”随着公理方法的扩张和数学对象作为心灵的自由创造的概念而变得更加重要。 There remained in fact one restriction to this freedom claimed by Cantor, the question of "existence" which had already preoccupied the Greeks, and which arose here in a much

35 字“同构”本身大约同时被引入到群理论中；但最初，它用于指定满同态，限定为“正面体同构”，而同构本身则称为“全面体同构”；这个术语将一直使用到 E. Noether 的工作为止。

更多直接的方式，正是因为所有对直觉表示的诉求现在都已被放弃。我们稍后会看到（第 36 页），“存在”的哲学数学漩涡概念在 20 世纪初期将变成中心。但在十九世纪，这一点还没有达到，为了证明具有给定属性的数学对象的存在，就像欧几里得一样，简单地“构造”一个​​具有给定属性的对象。这正是算术“模型”的用途：一旦实数在整个数的项中被“解释”，由于解析几何，复数和欧氏几何也被“解释”，并且对于自本世纪初引入的所有新代数对象来说也是如此；最后，贝尔特拉米和克莱因甚至获得了洛巴切夫斯基和黎曼的非欧几里得几何的欧氏“模型”（见p. 134），并在推论中“算术化”（从而完全证明了）这些乍一看引起如此不信任的理论，这一发现产生了巨大的影响。

D) 算术的公理化。——与这种演变相一致的是，随后转向算术本身的基础，事实上，这就是 1880 年左右可以看到的情况。 看起来之前在十九世纪除了直接诉诸直觉之外，没有人尝试过整个数的定义、加法和乘法； 莱布尼茨是唯一一位忠实于他的原理的人，他明确警告说，如果人们考虑涉及数的定义，那么像$2 + 2 = 4$一样“显而易见”的“真理”同样容易受到证明的影响（[198 b]，第198页）。 IV，p. 403； cf. [69 a], p. 203);他根本没有考虑到加法和乘法的交换律是内在的。$^{36}$但他没有进一步思考这个问题，并且到了十九世纪中叶，在这个方向上仍然没有取得任何进展：韦尔斯特拉斯本人，他的讲座对扩展的“算术化”点做出了很大贡献看来，似乎没有必要对整个数的理论进行逻辑澄清。 朝着这个方向迈出的第一步似乎归功于格拉斯曼，他于 1861 年（[134]，v. II$_2$、p. 295）给出整个数的加法和乘法的定义，并仅使用运算$x \mapsto x + 1$和证明它们的基本性质（交换律、结合性、分配性） 归纳原理。 后者是由 B. 在 17 世纪首次明确构想并使用的。 帕斯卡（[244]，v. III, p. 456)$^{37}$——甚至虽然在古代也能找到一些或多或少有意识的应用——自十七世纪下半叶以来，目前已被数学家使用。 但直到 1888 年，戴德金 (Dedekind) ([79], v. III，第 359-361 页）陈述了完整的算术公理系统（系统 3 年后由皮亚诺重复，通常以他的名字闻名 [246 c]），其中包含

$^{36}$ 作为非交换性运算的例，他将点应用于减法、除法和幂运算 ([198 b], v. VII, p. 31)；他甚至一度试图将这样的运算引入到他的逻辑演算（[69 a]，p. 353）中。 $^{37}$ 另请参见[45]，特别是归纳原理的精确表述（Grassmann 使用但未明确说明）。

通过这种公理化，似乎已经达到了数学的明确基础。事实上，就在算术的公理被明确表述的那一刻，对于许多数学家（从戴德金和皮亚诺他们自己开始）来说，这些原始科学的作用已经被剥夺，转而支持数学理论中最新出现的集合论；围绕整个数不能围绕概念展开的争议与1900-1930年间巨大的“基础危机”无关。

集合论。

可以说，古今中外，数学家和哲学家都或多或少有意识地运用了集合论的推理论证。但在他们关于这一主题的概念的历史中，我们必须将所有与基数数（尤其是无穷大的概念）概念相关的问题与那些仅引入属于的概念和包容性的问题区分开来。后者是最直观的，似乎从未引起争议：正是在它们上，人们可以最容易地基三段论理论（正如莱布尼茨和欧拉向我们展示的那样），或者诸如“整体大于其部分的和”之类的公理，而无需谈论几何中与曲线和曲面的交有关的东西。直到十九世纪末，在谈论集合（或某些作者的“类”）对象拥有如此这般给定的性质;38以及康托尔给出的著名“定义”时，都不会出现问题（“集合意味着聚集成一个整体”）。 对象在我们的直觉或我们的思想中非常不同”（[47]，p. 282））在其出版时几乎不会引起任何反对。39一旦集合的概念与数或数量混合，那就完全不同了。众所周知，直线的无限可分性问题（毫无疑问最早的毕达哥拉斯学派已经提出了）会导致相当大的哲学难题：从埃利埃派到博尔扎诺和康托尔，数学家和哲学家都致力于反对由无限的点组成的有限数量的悖论，但没有成功。我们没有兴趣回顾，即使是概括地回顾由这个问题引起的无休止和激烈的争论，它构成了一个特别有利于形而上学或神学题外话的基础；让我们注只看点

38 我们之前已经看到，布尔甚至毫不犹豫地在他的逻辑演算中引入了一个“宇宙”1，所有对象的集合；似乎这个概念在当时并没有受到批评，甚至虽然也被亚里士多德拒绝，亚里士多德给出了证明，相当晦涩，旨在表明其荒谬性（[6]，Met. B, 3, 998 b）。 39 弗雷格似乎是少数当代数学家之一，他们公开反对类似的“定义”浪潮（[117 c]，v. I，p. 2）。

从古代起，大多数数学家就止步于此。 It consists essentially in refusing to debate, short of being able to conclude in an irrefutable way—an attitude that we will find again among the modern formalists; in the same way as these latter arrange for the elimination of the intervention of "paradoxical" sets (see below pp. 31 ff.), the classical mathematicians carefully avoid introducing into their reasoning the "actual infinity" (that is to say sets made up of an infinity of objects conceived as existing simultaneously, at least in their thought), and content themselves with "potential infinity", that is to say the possibility of increasing every given quantity (or of decreasing it if it is a case of a "continuous" quantity).40 If this point of view contained a certain dose of hypocrisy,41 it allowed however the development of the larger part of classical mathematics (including the theory of ratios and later the infinitesimal Calculus);42 it even seemed an excellent safeguard, above all after the quarrels caused by the infinitely small, and had become a dogma almost universally subscribed to until well into the XIXth century.

等势的一般概念的第一个曙光出现在伽利略的注中（[122 b]，v.VIII，第78-80页）：他观察到映射$n \mapsto n^2$在自然数和平方之间建立了一个双射对应，并且由此可见公理“整体大于部分”

40 这一概念的典型例是欧几里得的叙述：“对于每个给定数量的素数数，都有一个更大的”，我们现在通过说声明素数数的集合是无限的。 41从经典角度来看，人们显然有权说点属于直线，但从中得出一条直线“由点组成”将违反实际无穷大的禁忌，亚里士多德花费了很长的时间来证明这一禁令的合理性。 很可能，在阶中，为了逃避所有此类反对意见，在十九世纪，许多数学家避免谈论集合，并系统地“通过理解”进行推理；对于例，伽罗瓦没有谈论数的域，而只讨论域的所有元素的性质公共的。 甚至帕什和希尔伯特在他们对欧氏几何学的公理化表述中，仍然回避说，认为直线和平面是集合或点； 皮亚诺是唯一一个在初等几何中自由使用集合论语言的人。 42毫无疑问，这一事实的原因必须在这样的情况下找到：古典数学中出现的集合属于简单型的小数，并且大多数部分可以完全由有限的数数值“参数”来描述，以至于他们的研究约化最终转向了有限的约化。 数的集合（代数曲线和曲面的例也是如此，在很长一段时间内，代数曲线和曲面大约是经典几何的唯一“图形”）。 之前数学分析的进步，在十九世纪强加了对直线或$\mathbf{R}^n$任意子集的考虑，人们很少能找到偏离前一个型的集合；因为总是原创的例莱布尼茨将失去中心的封闭圆盘视为“几何轨迹”，或者（出于对理想理论的好奇预感）认为在算术中整个数是其倍数和注的集合的“型” 6 的倍数集合是 2 的倍数集合交和 3 的倍数集合 ([198 b], v. VII，p. 292）。 从十九世纪初开始，人们开始熟悉代数和数的理论，最后一个型的集合，如高斯引入的二次形式的类，或康托人戴德金之前定义的域和理想革命。

无法应用于无限集合。但这个注非但没有开启对无限集合的理性研究，反而除了强化对实际无穷大的不信任之外，没有任何其他作用。这已经是伽利略本人的结论，而柯西在1833年只是在阶中引用了他的观点，以认可他的态度。

数学分析的必要性——特别是对实变量函数的深入研究，发生在整个十九世纪——是现代集合论的起源。当博尔扎诺在 1817 年证明存在下界为 $\mathbf{R}$ [27 c] 的集合的下极限时，他仍然像他同时代人的更大部分一样，“通过理解”进行推理，不是说实数的任意集合，而是任意的集合。 性质后者。但 30 年后，当他写下《Paradoxien des Unendlichen》[27 b]（出版于 1851 年，也就是他去世三年后的之后）时，他毫不犹豫地宣称拥有“实际无限”存在的权利，并谈论任意性集合。他定义，在这项工作中，提出了两个集合等价的一般概念，并证明了$\mathbf{R}$中的两个紧区间是等价的；他注还指出有限集合和无限集合之间的特征差异在于无限集合E与不同于E的子集等价，但他没有给出任何令人信服的证明这个断言。无论如何，这部作品的总体基调比数学更哲学，并且由于缺乏足够清晰地将概念、幂、集合与大小或阶的无穷大分开，博尔扎诺在尝试构造、无限集合越来越大的幂的尝试中失败了，并让自己在这个场合将他的推理与完全没有意义的不同的级数的考虑混合在一起。

正是由于 G. Cantor 的天才，我们今天所知道的集合论才被创造出来。他还从数学分析开始，他在三角函数级数方面的工作受到黎曼的启发，自然而然地在1872年使他第一次尝试对这个理论中出现的“例外”集合进行分类，$^{43}$通过连续的“导出集合”的概念进行分类，他在本次介绍中介绍了概念。 点。毫无疑问，与这些研究，以及他定义实数的方法（[47]，第92-97页），康托开始对等能的问题感兴趣，因为在1873年，他注认为理性的集合数（或代数数的集合）是可数的；在大约这个时候开始的与戴德金的对应中[48]，他提出了整个数的集合和实数的集合之间的等价性问题，几周后他成功地以负数解决了这个问题。然后，从 1874 年开始，他全神贯注于维数中的问题，三年来，他徒劳地试图在 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{R}^n(n > 1)$ 之间建立双射对应，继之以之前，

$^{43}$ 这是集合 $E \subset \mathbf{R}$ 的情况，如果三角级数 $\sum_{-\infty}^{+\infty} c_n e^{nix}$ 收敛到 0（除了 $E$ 的点之外），则必然得出对于所有$n$（[47]，p. 99）的$c_n = 0$。

他非常惊讶，$^{44}$定义了这样的对应。获得如此令人惊讶的新结果后，他全身心投入到集合论。在 1878 年至 1884 年间发表在《数学年鉴》上的 6 回忆录的级数中，他解决了等势的问题、全序集的理论、$\mathbf{R}$和$\mathbf{R}^n$的拓扑性质以及测度的问题；令人钦佩的是，这些概念一点一点地出现在他的手中，概念似乎与“连续统”的经典概念有着千丝万缕的联系。从1880年开始，他有了“超限地”迭代“导出集合”的构造的想法；但仅仅两年后，随着井有序集的引入，这个想法才得以实现，井有序集是康托尔最原始的发现之一，借助井有序集，他可以对基数数进行详细研究，并制定“连续统的问题”[47]。

如此大胆的构想，颠覆了两千年的传统，并导致了如此出乎意料和如此自相矛盾的结果，不可能毫无阻力地被接受。事实上，在当时德国颇具影响力的数学家中，韦尔斯特拉斯是唯一一位对康托尔（他以前的学生）的工作有所支持的人。另一方面，后者则面临着施瓦茨，尤其是克罗内克的不可化约的反对。$^{45}$，看来，由于反对他的思想而产生的持续紧张，就像他为证明连续统假设而徒劳无功的努力一样，这导致康托出现了神经疾病的最初症状，他的数学生产力将受到影响。$^{46}$他只是再次真正恢复了对数学的兴趣。 集合论于 1887 年出版，最后出版于 1895-1897 年；他在那里主要发展了序数的全序集和演算理论。他还在1890年证明了不等式$m < 2^m$；然而，不仅连续统的问题仍然没有答案，而且基数理论中还存在着更严重的差距，因为康托尔无法证明任意基数之间存在良好的有序性。这一空白将由 F. Bernstein (1897) 的定理填补，表明关系 $a \leq b$ 和 $b \leq a$ 意味着 $a = b$、$^{47}$，最重要的是由 Zermelo 的定理 [342 a] 证明井的存在阶对每个集合 — 定理已经由康托 (Cantor) 在 1883 年猜想 ([47], p. 169)。

$^{44}$“I可以看到它，但I不相信它”他写给戴德金（[48]，p. 34）；文中为法语）。

$^{45}$ 克罗内克的同时代人经常提及他在数学基础上的教条主义立场；必须假定，他在个人交往中比在出版物中更明确地表达了自己的观点（就自然数的作用而言，他在1880年左右仅再次讨论了一些关于“算术化”的相当平庸的注）（cf.[327 b]，特别是第14-15页）。

$^{46}$ 关于康托尔一生的这一时期，请参阅[275 b]。

$^{47}$这个定理已经被戴德金于1887年获得，但是它的证明没有发表（[79]，v.III，p. 447）。

然而戴德金从一开始就没有停止对康托的持续兴趣研究；但是，当后者将注意力集中在无限集合及其分类时，戴德金则遵循自己对数的概念的想法（这已经通过“削减”将他引向了他的无理数定义）。在他于 1888 年出版的小著作《Was sind und was sollen die Zahlen》中，但其精华可追溯至 1872-78 年（[79]，v. III，p. 335），他展示了自然数的概念（正如我们所看到的，整个古典数学最终都依赖于此）本身可以从集合论中的基本概念导出。将任意映射的基本属性从集合发展到另一个（无疑是第一个明确的）（直到康托尔才被忽视，他只对双射对应感兴趣），他将集合$E$的每个映射$f$引入自身， 元素 $a \in E$的“链”相对于$f$的概念，即集合$K \subset E$的交，使得$a \in K$和$f(K) \subset K$.48 然后他将无限集合的定义作为他的定义 $E$存在$E$到$E$的双射映射$\phi$，使得$\phi(E) \neq E$；49如果进一步存在这样的映射$\phi$和元素$a \notin \phi(E)$，其中$E$是$a$的链，戴德金说$E$“简直是无限”，注则满足“皮亚诺公理”，并显示（之前皮亚诺）如何从那里开始获得初等算术的所有定理。他的揭露中唯一缺失的部分是无穷公理，戴德金（继博尔扎诺之后）相信自己能够通过将人类的“思想世界”（“Gedankenwelt”）视为集合.50来证明

在另一个方向上，戴德金在算术（尤其是理想理论）方面的工作的引导下，以更广泛的方式考虑有序集合的概念。

48 Zermelo 为他的定理给出的第二个证明依赖于一个非常相似的概念 [342 b]。 49 我们已经看到，博尔扎诺已经注意到了无限集合的这一特征，但戴德金在写“Was sind und was sollen die Zahlen”时还不知道他的工作（在数学界看来几乎没有传播）。 50 另一个方法用于定义概念或自然数并建立基本性质，由弗雷格于 1884 年提出[117 b]。 He seeks first to give to the notion of cardinal of a set a more precise meaning than Cantor; at that time this latter had only defined the notions of equipotent sets and of sets having a power at most equal to that of another, and the definition of “cardinal number” that he was to give later ([47], p. 282) was as obscure and unusable as the definition of a straight line in Euclid. 弗雷格总是很注重精度，他有这样的想法：将所有集合中的集合的基数 $A$ 集合中的定义等价于 $A$ ([117 b], §68)；然后，为所有枢机主教（$§ 76$）定义了$\phi(a) = a + 1$，他将自己放入所有枢机主教的集合$C$中，并且定义关系“$b$是$\phi$后继$a$”意味着$b$所有集合$X \subset C$中的属于到交使得$\phi(a) \in X$和$\phi(X) \subset X$($§ 79$)。 最后，他定义自然数作为0的$\phi$后继者（$§ 83$；所有这些定义当然都是弗雷格用他的“概念逻辑”语言表达的）。 不幸的是，这个构造被发现是有缺陷的，集合$C$或集合的集合与集合$A$等价是“矛盾的”（见下文）。

一般设定比康托尔。虽然后者限制本人专门针对全序集，$^{51}$戴德金解决了一般情况，并且特别对格进行了深入研究（[79]，v.II，第236-271页）。这项工作在当时几乎没有引起人们的注意；虽然这些结果再次被几位作者发现，自 1935 年以来一直是众多出版物的主题，但它们的历史重要性并不是来自于该理论的应用可能性（毫无疑问相当薄弱），而是来自于它们构成了仔细公理化构造的第一个例之一。另一方面，康托在集合上的第一个结果是可数的或具有连续统的幂，很快就有了许多重要的应用，直到最经典的数学分析$^{52}$问题（没有自然地谈论那些开启了一般拓扑和测度论的康托尔工作的部分；在这一点上看到第 141 和 221 页）。此外，从十九世纪末开始，超限归纳原理的首次使用出现，尤其是Zermelo的定理的之后证明，成为所有部分现代数学中不可或缺的工具。 1922 年，Kuratowski 给出了这个原理的一个通常更容易接受的版本，避免使用井有序集 ([189 a], p. 89)；正是在这个形式中，后来被Zorn [344]再次发现，目前主要使用它。$^{53}$

到了十九世纪末，康托尔的基本概念就这样获得了成功。$^{54}$我们已经看到，大约在这个时候，数学的形式化已经实现，公理化方法的使用几乎得到普遍同意。但与此同时，一场罕见暴力的“基础危机”正在出现，这场危机震动了数学世界 30 多年，有时似乎不仅对所有最近的成果进行了妥协，甚至对数学最经典的部分也做出了妥协。

$^{51}$ 注有趣的是，在后者中，康托从来不想承认“非阿基米德”有序群的存在，因为他们引入了“实际无限小”的概念（[47]，第156和172页）。这样的序关系自然出现在Du Bois-Reymond的研究上的无穷大阶（cf.p. 202）上，并被Veronese系统地研究了[318]。

$^{52}$ 从 1874 年起，Weierstrass 在给 Du Bois-Reymond 的一封信中通知，康托尔的定理实数变量应用于函数，可以将有理数数写为序列 ([329 b], p. 206)。

$^{53}$ 因此，人们对康托尔序数词的兴趣大大减弱了；总的来说，无论如何，康托尔及其后继者关于序数和不可数基数算术的许多结果直到现在仍然相当孤立。

$^{54}$ 集合论的正式认可已经在第一届国际数学家大会（苏黎世，1897 年）上得到体现，其中 Hadamard [141] 和 Hurwitz 通知了数学分析的重要应用。此时希尔伯特的影响力日益增强，极大地促进了康托尔思想的传播，尤其是在德国。

集合论的悖论和基金会的危机。

第一个“悖论”集合出现在基数词和序数词理论中。 1897 年，Burali-Forti 评论说，一个不能考虑所有序数中集合由……组成的存在，因为这个集合是良序的，因此同构于它的段之一，与整体不同，这是荒谬的 [42].55 1899 年，康托观察到（在一封信中）戴德金 (Dedekind) 表示，不再可能谈论构成集合的基数，也不再可能谈论“所有集合的集合”而不产生矛盾（后一个“集合”的子集的集合“集合”$\Omega$将等价于“子集”） $\Omega$，与不等式$m < 2^m$相反）（[47]，第444-448页）。最后，1905年，罗素分析了这个不等式的证明，表明建立它的推理证明（没有诉诸基数理论）“所有集合的集合，其本身不是元素”的概念也是矛盾的[266].56

可以相信，这样的“二律背反”只会表现在数学的外围领域，其特点是考虑集合是直觉无法触及的“大小”。但其他“悖论”很快就威胁到了最经典的数学部分。 Berry 和 Russell ([266], v. I, pp.63-64)，简化了 J. Richard [258] 的论证，实际上观察到，整个数的集合 ，其中定义可以用英语中少于 16 个字来表达，但它与定义一个整体相矛盾数是“英语中不能用小于十六个字定义的最小整体数”，因为这个定义仅由十五个字组成。

虽然这样的推理与数学家通常使用的相去甚远，对许多人来说可能像是一种谜语，但他们仍然指出了修改数学基的必要性，旨在消除这种性质的“悖论”。尽管大家一致认为此次修订的紧迫性，但在实现修订的方式上很快就出现了根本性分歧。对于第一批群数学家来说，无论他们是“唯心主义者”，还是“形式主义者”，57集合论的“悖论”所造成的情况与几何学中发现非欧几里得几何所导致的情况非常相似

55 这个注已经由康托在 1896 年提出（在给希尔伯特的一封信中，未发表）。 罗素的56推理正在接近古代的悖论，其中型是著名的“骗子”，是形式经典逻辑中无数评论的主题：它在于知道说“I谎言”的人在发音这些字时是否说真话（cf.[267]）。 57 这两个学校之间的分歧主要是哲学上的，我们不能在这里详细讨论这个主题；本质是它们在正确的数学基础上结合在一起。对于例，“唯心论者”的典型代表哈达玛在涉及集合论中推理的有效性时，采用了非常接近形式主义者的点观点，但没有用公理化的形式来表达（[12]，p.271）。

或“病态”曲线（例如没有切线的曲线）；它一定会导致一个类似的、但更普遍的结论，即寻求基诉诸“直觉”（无论是明确的还是不明确的）的任意数学理论是没有希望的。 这一立场可以用形式主义者学校的主要对手的字来概括：“形式主义者”布劳威尔（[39a]，p. 83）说道，“认为人类理性没有可供其支配的精确的直线图像或大于10的数，对于例...... 确实，数学实体之间的某些关系，我们将其视为公理，我们可以根据固定规则从其他关系中推导出来，并坚信这样我们可以通过逻辑推理从其他真理中推导出真理...... [但是]对于形式主义者来说，数学精确性仅存在于关系的序列的发展中，并且与人们希望赋予关系或它们所链接的实体的含义无关。”

因此，对于形式主义者来说，它包括给集合论一个公理基，这与初等几何的公理非常相似，其中人们不关心被称为“集合”的“对象”是什么，也不关心关系$x \in y$的含义，但人们枚举条件强加于这个后者关系；当然，这必须尽可能包含康托尔理论的所有结果，同时又不让“悖论”集合存在。这种公理化的第一个例是由Zermelo于1908年给出的[342c]；他通过引入“选择公理（Aussonderung）”来避免集合“太大”，性质$P(x)$仅确定由元素组成的集合，如果$P(x)$已经包含关系形式 $x \in A$.58 但是，要消除类似于“理查德悖论”的悖论，只能通过限制“性质”的概念的含义来实现；对此，策梅洛满足于以非常模糊的方式描述他称之为“定义”的性质的项型，并表明在应用选择公理时，人们必须对后者进行极限自己。 Skolem [286 a] 和 Fraenkel [113 b] 使点变得精确；正如他们所观察到的，它的阐释迫使我们将自己置于一个完全形式化的系统中，其中“性质”和“关系”的概念已经失去了所有“意义”，并成为按照明确规则形成的集合的简单名称。当然，这需要人们必须将所使用的逻辑规则放入系统中，而Zermelo-Fraenkel的系统中还没有这种情况。

随后提出了集合论的其他公理化。让我们主要提及冯·诺依曼[342 a和c]，它比策梅洛-弗兰克尔的系统更接近康托尔的原始概念：后者，为了避免矛盾的集合，已经在他与戴德金的对应中提出（[47]，第445-448页），以区分

58 对于例，如果能够证明关系$(\exists z)((x \notin x) \Rightarrow (x \in z))$，罗素悖论只有在策梅洛的系统中才成立；当然，这样的证明，如果能够获得，就会像直接的推论一样有必要对系统进行实质性修改。

介于两种集合之间，即“多重性”（“Vielheiten”）和“集合”（“Mengen”）本身，第二种的特征在于它们可以被视为单个对象。正是这个思想，冯·诺依曼精确地区分了对象中的两个型，“集合”和“类”；在他的系统（几乎完全形式化）中，类与集合的区别在于，不能放置在符号$\in$的左侧。这种系统的优点之一是它恢复了19世纪逻辑学家使用的“通用类”的概念（这自然不是集合）；让我们点也指出冯·诺依曼的系统（对于集合论）避免引入公理概形，而是用合适的公理代替（这使得其逻辑研究更容易）。 Bernays 和 Gödel [130 b] 给出了冯·诺依曼的系统的一些变体。

上面的系统似乎很好地消除了悖论，但是以限制为代价，而不能却显得很武断。支持Zermelo-Fraenkel的系统，可以说，限制本身对制定限制仅认可当前将概念或集合应用于各种数学理论的实践。冯·诺依曼和哥德尔的系统进一步脱离了通常的概念；另一方面，也不排除将某些仍处于初始阶段的数学理论插入到这种系统提供的框架中，而不是插入到Zermelo-Fraenkel的系统的更窄框架中。

当然，我们不能断言这些解中的任何一个都会给人以确定的印象。如果他们满足是形式主义者，那就是后者拒绝考虑每个数学家的个人心理反应；他们认为，当形式化语言能够将数学推理转录为形式且缺乏歧义时，它就已经完成了它的任务，并且作为数学思维的工具非常有用；他们会说，每个人都可以自由地思考他所使用的数学对象的“本质”或定理的“真理”，只要他的推理可以转录成公共的语言。 59

在其他字中，从哲学点的角度来看，形式主义者的态度在于对问题集合的“悖论”不感兴趣，放弃柏拉图式的立场，该立场旨在将数学概念赋予所有数学家的智力“内容”公共的。面对这种与传统的决裂，许多数学家退缩了。 例的罗素试图通过更深入地分析他们的结构来避免悖论。再次采用 J. Richard 首先提出的一个想法（在文章 [258] 中，他展示了他的“悖论”），后来由 H. Poincaré [251 c] 发展，罗素和怀特海观察到 para- 的定义

59 然而，希尔伯特似乎始终相信客观的数学“真理”（[163 c]，第 315 页和第 323 页）。甚至一些形式主义者，比如 H. Curry，其立场与我们刚才概述的立场非常接近，也愤慨地拒绝数学可以被视为一个简单游戏的想法，并且绝对希望在其中看到一门“客观科学”（[73]，p. 57）。

合理的集合都违反了以下原理，称为“恶性循环的原理”：“元素其中定义涉及元素的总和集合不能属于到集合” （[266]，第I，p. 40）。也正是这个叙述充当了《原理》中的基，并且正是在满足的基础上，本著作中发展了“型理论”。就像它受到弗雷格的启发一样，罗素和怀特海的逻辑包含“命题变量”； 型理论对这些不同的变量进行了分类，其主线如下。从未指定且可被限定为“对象 of 阶 0”的“个体域”开始，其中变量（自由或束缚）是个体的关系被称为“第一个阶的对象”；一般来说，关系，其中变量为阶$\leq n$的对象（阶$n$中至少一个）被称为“阶$n + 1$的对象”。$^{60}$ 阶$n$对象集合则只能由阶$n + 1$、条件的关系来定义，这允许轻松消除矛盾的集合.$^{61}$但是“型层次结构”中的原理限制性如此之大，以至于严格遵守它，最终会得到一种不可分割的复杂数学。$^{62}$为了逃避这个推论，罗素和怀特海被迫引入一个“可约公理”来肯定其存在性，对于每一个关系之间“个人”，其等效的第一个阶的关系； 条件与形式主义者的公理一样任意，而约化对原理的构造相当感兴趣。因此，罗素和怀特海的系统在逻辑学家方面比在数学家方面取得了更多的成功；无论如何，它还没有完全正式化，$^{63}$，因此有许多模糊的细节。人们做出了各种努力来简化和澄清这一点系统（Ramsey、Chwistek、Quine、Rosser）；这些作者倾向于使用越来越完全形式化的语言，替换原则的规则（仍然有一定的直观基础）与限制仅考虑聚合的措辞

$^{60}$ 事实上，这只是“型”分类的开始，如果不经过一些很长的发展，就无法对其进行忠实的描述；希望获得更详细解释的读者可以特别阅读 v 简介的注。 II of Principia Mathematica [266]. $^{61}$ In the system of Russell and Whitehad, the relation $x \in x$ can not therefore be legally written down, as against the system of Zermelo-Fraenkel, for example. $^{62}$ For example, equality is not a primitive notion in the system of Principia: two objects $a, b$ are equal if for every property $P(x), P(a)$ and $P(b)$ are equivalent propositions. 但这个定义在型的理论中是没有意义的：在阶中要有意义，就必须至少指定$P$的“阶”，这样就会导致人们区分关系和等式的无穷大！ 无论如何，Zermelo 早在 1908 年就指出，许多经典数学定义（例，$\mathbf{R}$中集合的较低极限）并不遵守“恶性循环的原理”，因此采用这个原理可能会冒着排除重要因素的风险。最传统数学理论的部分。 $^{63}$ 罗素和怀特海（弗雷格已经如此）在数学公式方面保持经典立场，对他们来说，这必须始终具有与思想背后的活动相关的“意义”。

侧面；这些规则不仅看起来像策梅洛-弗兰克尔或冯·诺依曼的系统中制定的禁令一样无缘无故，而且，由于进一步脱离了数学家的实践，它们在许多情况下导致了作者没有预见到的不可接受的推论（例如布拉里-福尔蒂悖论，或对选择）。

对于前学校的数学家来说，这首先是不放弃任何过去遗产的部分：“从康托尔为我们创造的天堂”，希尔伯特（[163 c]，p. 274）说，“没有人能够追赶我们”。为此，他们愿意接受数学推理的限制，这并不是必需的，因为与使用一致，但这似乎不是由我们的心理习惯和概念或集合的直观想法强加的。在他们看来，任何事情都比心理学侵入数学的有效性判据更可取。他们并没有像哈达玛所说的那样“考虑到我们大脑的特征”（[12]，p. 270），而是甘心将数学领域强加于极限，这对于大多数部分来说是任意的，只要它们包括经典数学并且不存在妨碍未来进步的风险。

当我们看到数学家属于对于我们仍然要谈论的趋势的态度时，情况就完全不同了。如果形式主义者接受放弃对数学推理的“心灵之眼”的控制，那么被称为“经验主义者”、“实在论者”或“直觉主义者”的数学家就拒绝这种放弃；他们必须有一种内在的确定性来保证他们所关心的数学对象的“存在”。只要这只是放弃空间直觉的情况，就没有严重的反对意见，因为算术“模型”允许在整个数的直觉概念背后进行缩减。但是，当将整个数的概念简化为集合（更不直观精确），然后在没有直观基础的情况下对集合的处理施加障碍时，不可约的对立就会显现出来。这些反对者中的第一个（并且凭借其天才的权威，影响力达到习题的人）是 H. 庞加莱 (H. Poincaré)。他不仅承认几何观点的公理化点和数学分析的算术化，而且还承认康托尔理论的良好部分（他是第一个在他的工作中卓有成效地应用这一理论的人），但另一方面，他拒绝认为算术也能够通过公理化处理来证明其合理性；完整的归纳的原理对他来说尤其是我们心灵的基本直觉，在那里不可能看到纯粹的约定$^{64}$[251 c]。在原理中，他对形式化语言怀有敌意，并质疑其有用性，他不断地混淆了形式化语言的含义。

$^{64}$ 庞加莱实质上达到说，不可能定义结构满足皮亚诺的所有公理，除了完整归纳的原理（[251 c]，p. 65）；整个数的例（由于Padoa）与映射$x \mapsto x + 2$替换$x \mapsto x + 1$表明这个断言是不准确的。奇怪的是，点已经在弗雷格中找到了，几乎在相同的字（[117 b]，p. 21 e）中。

形式化数学中整数数的概念，以及证明理论中整数数的使用，这是当时才开始的，我们稍后会谈到；毫无疑问，当时很难像今天一样清楚地做出——之后50年的研究和讨论——这种区别，但希尔伯特或罗素已经清楚地感受到了。

这种批评者放大了Zermelo在1904年引入的之后公理选择[342a]。直到那时，它在数学分析或集合论中的许多证明中的使用几乎没有被注意到；$^{65}$正是在遵循Erhard Schmidt提出的想法时，Zermelo明确地制定了这个公理，并以一种巧妙的方式从中推导出了令人满意的证明，即每个集合上都存在良好的有序性。与“悖论”同时出现的，似乎是这种新的推理方式，以其奇怪的吸引力，让许多数学家陷入了困惑；在《数学年鉴》的下卷中，在像 Schoenflies 和 F. Bernstein 这样熟悉坎托里安方法的数学家的签名下，足以看到关于这个话题的奇怪误解。在同一卷中发表的 E. Borel 的批评更为实质性，并且明显依附于 H. Poincaré 对整个数所表达的观点点；它们是在 E. Borel、Baire、Hadamard 和 Lebesgue 之间的信件往来中得到发展和讨论的，他们仍然保留着法国数学的古典传统[12]。 Borel 首先否认选择公理的有效性，因为包含一般来说是选择的不可数无穷大，这在直觉上是不可想象的。但阿达玛和勒贝格观察到，任意连续的可数无穷个选择并不更直观，因为它由无穷大的运算组成，不可能将其想象为真正发生的。对于扩大了争论的勒贝格来说，一切约化都在于了解说数学对象“存在”的含义；对他来说，有必要以一种独特的方式明确地“命名”性质（我们会说“功能性”性质）；对于函数，例如泽梅洛在他的推理中使用的那个，这就是勒贝格所说的选择的“律”；他继续说道，如果这个要求没有得到满足，并且那些极限自己去“思考”这个函数而不是“命名”它，那么我们可以确定在推理的过程中，一个人总是在思考同一件事（[12]，p. 267）吗？无论如何，这给勒贝格带来了新的疑问。 集合中的单个元素的选择问题对他来说似乎提出了困难：必须确定这样的元素“存在”，也就是说，人们可以“命名”至少一个元素

$^{65}$ 1890 年，皮亚诺，证明他关于微分方程积分存在性的定理，注自然会导致他“应用无限次任意律，在该条件下，类的一个个体类会变成对应”；但他还补充说，这样的推理在他眼中是不可接受的（[246 c]，p. 210）。 1902 年，B. Levi 指出，F. Bernstein 在基数理论中的证明中隐含地使用了同样的推理 [199]。

of the set.$^{66}$ Can one then speak of the “existence” of a set of which one does not know how to “name” each element? Baire 已经毫不犹豫地否认给定无限集合的所有子集的集合的“存在​​”（loc. cit.，第 263-264 页）；阿达玛徒劳地观察到，这些要求甚至导致放弃谈论实数的可能性：E. 博雷尔最终同意了。 撇开可数性似乎已经获得永久所有权这一事实不谈，我们几乎回到了“实际无限”对手的经典立场。

所有这些反对意见都不是很系统化；布劳威尔和他的学校在类似但更激进的原理的指导下对数学进行了彻底的改造。我们不敢在这里总结像直觉主义这样复杂的学说，它既包含数学又包含心理学，我们将极限自己指出一些最引人注目的方面，更多细节请参阅布劳威尔本人的著作[39 a和b]以及海廷[162]的阐述。对于布劳威尔来说，数学与我们思想的“精确”部分相同，基于对序列或自然数的第一直觉，并且不可能将其不加破坏地转化为正式的系统。无论如何，这在数学家的思想中只是“精确的”，希望开发一种不受语言的所有缺陷和模糊性影响的数学家之间的交流工具是一种幻想。至多有可能希望在描述唤醒对话者一种或多或少模糊的有利心态（[162]，第11-13页）。直觉主义数学对逻辑的重视程度并不比对语言的重视程度高：证明并不是凭借一劳永逸的逻辑规则而得出结论，而是因为其每一步都有“直接的证据”。此外，这个“证据”必须以比 E. Borel 及其追随者更严格的方式来解释：因此，在直觉主义数学中，不能可以说形式的关系“$R$或（不是$R$）”为真（排除中间的原理），除非对于$R$中出现的变量，值的所有系统，其中一个可以证明表示两个命题$R$之一，“不是$R$”为真；对于例，从两个实数之间的等式$ab = 0$，不能可以得出“$a = 0$或$b = 0$”的结论，因为很容易创建显式的实数$a, b$的例，而人们在不知道的情况下有$ab = 0$，在实际时间，如何证明两个命题$a = 0, b = 0$（[162]，p. 21）。

$^{66}$ 集合中元素假定的“选择”实际上与选择公理无关；它只是一种修辞手法，而凡是用这种方式表达自己的人，实际上只是使用了最基本的逻辑规则（其中符号$\tau$不出现）。当然，这些规则应用于集合$A$需要已经证明$A \neq \emptyset$；勒贝格的论证正是基于这个点，因为只有当人们“命名”了$A$的元素时，这样的证明才对他有效。对于例，勒贝格并不认为康托的推理有效（[47]，第115-118页）证明先验数的存在；这种存在对他来说只是被证明，因为可以“命名”先验的数，例如刘维尔数或数$e$或$\pi$。

毫不奇怪，从这样的原理开始，直觉主义数学家最终得到的结果与经典定理有很大不同。其中所有部分都消失了，对于例，数学分析中的大部分“存在”定理（例如博尔扎诺和维尔斯特拉斯的定理对于真正的函数）；如果一个实变量的函数在直觉主义意义上“存在”，那么它本身就是连续的； 实数有界单调序列不一定有极限。另一方面，对于直觉主义者来说，许多经典的概念被分支为几个不同的基本概念：因此有两个收敛的概念（对于实数的序列）和八个可数性的概念。没有说，超限归纳及其对现代数学分析的应用（至于康托理论中更大的部分）受到毫无上诉的谴责。

只有这样，按照布劳威尔的说法，数学的命题才能获得“内容”；超出直觉主义者所允许的形式主义者推理被判断为没有值，因为人们不再能够赋予它们一种可以应用“真理”的直观概念的“意义”。显然，这样的判断只能依赖于预先存在的概念“真理”，具有心理学或形而上学的性质。也就是说，在实践中，它们逃避了所有讨论。

毫无疑问，来自直觉主义阵营的猛烈攻击，不仅让有时迫使前卫数学学校，甚至连传统数学的追随者也不得不采取守势。一位著名数学家承认，对点的攻击给他留下了深刻的印象，他自愿将自己的工作限制在被认为“确定”的数学分支上。但这样的例子并不常见。直觉主义者学校，其记忆无疑注定只能作为历史的好奇心而保留，至少会有所帮助，因为它迫使其对手，也就是说绝对是绝大多数数学家，明确他们的立场，并更清楚地注意到他们对数学充满信心的原因（逻辑类型的原因，其他情感类型的原因）。

元数学

不存在矛盾一直被认为是所有数学的必要条件条件，从亚里士多德时代起，逻辑就得到了充分发展，以至于众所周知，从不一致的理论中可以推导出任何东西。 “存在”的证明自古以来就被认为是不可或缺的，显然没有其他目的，只是为了保证新概念的引入不会带来矛盾的风险，特别是当这个概念太复杂而不能立即归入“直觉”的时候。我们已经看到，随着十九世纪公理化观点点的到来，这一要求变得更加紧迫，以及算术“模型”构造如何回应它。但算术本身会不一致吗？毫无疑问，在十九世纪末，之前不会有人想到这个问题，而整个数似乎是属于，这对我们的直觉来说是最确定的；但之后的“悖论”似乎一切都受到了质疑，我们可以理解，它们所造成的不安全感让数学家们在1900年左右更加关注问题算术的不矛盾性，以至少挽救经典数学免于沉船。因此，这个问题是希尔伯特在1900年国际大会上的著名演讲中列举的第二个（[163a]，第III，第229-301页）。在这样做的过程中，他提出了一个新的原理，该理论产生了巨大的影响：在传统逻辑中，概念的不矛盾性仅仅使它成为“可能”，而对于希尔伯特来说（至少对于公理化定义的数学概念而言），它相当于概念的存在。这显然意味着证明先验地证明了数学理论之前的不矛盾性，甚至能够合理地发展它； H.庞加莱正是以这种方式来理解这一点，为了突破形式主义，他考虑了希尔伯特的想法，并带着一种顽皮的快乐强调了形式主义者在那个阶段距离能够实现这一目标还很远（[251 c]，p. 163）。我们稍后会看到希尔伯特如何接受挑战。但是之前，这里必须指出的是，在他和庞加莱权威的影响下，庞加莱提出的要求集合在很长一段时间内被形式主义者和他们的对手毫无保留地接受。其中推论是形式主义者中非常普遍的一种信念，即希尔伯特的证明理论是数学的一个组成部分部分，它构成了数学不可或缺的序言。这个教条对我们来说似乎并不合理，$^{67}$，我们认为元数学对逻辑和数学的阐述可以而且应该简化为非常基本的部分，涉及缩写符号的处理和判据或演绎。因此，这并不是一个与庞加莱的想法相反的“声称没有矛盾”的情况，而是要像阿达玛那样考虑不存在矛盾，即使它没有被证明，也被注意到（[12]，p. 270）。

我们仍然需要对希尔伯特和他的学校的努力做一个简短的历史概述，并概括地回顾，不仅最终导致哥德尔的负面结果并证明哈达玛的怀疑​​论的后验合理性的演变，而且还要回顾由此产生的关于数学推理机制的知识的所有进展，这些进展使现代元数学成为一种具有无可争议的兴趣的自主科学。

$^{67}$ 在纯粹的形式主义学说中，字形式化文本中的“存在”并不比任何其他“存在”更具有“意义”，也无需考虑形式化证明中“存在”的其他型。

早在 1904 年，希尔伯特就在国际大会的一次演讲中（[163 c]，第 247-261 页）攻击了算术一致性的问题。 他首先观察到，通过使用模型、$^{68}$和另一个方法的轮廓原理，不存在证明的问题：他建议将形式化算术的真实命题视为无意义的符号集合，并证明在使用管理这些集合的形成和链接的规则时，不可能获得一个真实的集合命题且其否定也是真命题。 他甚至将这种性质的证明描绘成一种比算术形式更广泛的形式主义；但是，正如 H. 庞加莱很快之后（[251 c]，p. 185），这个证明本质上使用了原理递归，因此似乎依赖于恶性循环。 希尔伯特没有立即回应这一批评，大约十五年过去了，没有人试图发展他的想法。直到 1917 年（出于回应直觉主义者攻击的愿望的驱使），他才再次利用数学基础的问题，从现在开始，直到他的科学生涯结束，他都不会停止对数学基础的思考。 在他关于这个主题的著作中，大约从 1920 年到 1930 年，整个学校的年轻数学家都采用了部分（阿克曼、伯奈斯、赫布兰德、冯·诺依曼），希尔伯特以更精确的方式一点一点地提出了他的“证明理论”的原理：隐含地承认了有效性在对庞加莱的批评中，他承认在元数学中，所使用的算术推理只能基于我们对整个数的直觉（而不是基于形式化算术）；为此，似乎有必要将推理限制为直觉主义者允许的型的“有限过程”（“有限Prozesse”）：对于例，证明通过矛盾不能证明集合或集合的序列的元数学存在性，必须有一个明确的律共构造.$^{69}$ 另一方面，希尔伯特在两个方向上扩展了他最初的计划：他不仅解决算术的一致性，而且他还渴望证明实数理论的一致性，甚至集合论的理论的一致性；进一步，$^{70}$的一致性在问题的一致性基础上添加了公理独立性、完整性和决定性的一致性。 我们将快速回顾这些不同的问题，并点找出它们引起的主要研究。

$^{68}$戴德金或弗雷格的定义提供的“模型”只会转移问题，将其简化为集合论、问题的一致性，这无疑比算术的一致性更困难，并且在没有提出认真尝试避免“悖论”的情况下显得更加困难。

$^{69}$ 对于元数学中允许的有限过程的更详细和精确的描述，可以参考例如 J. Herbrand 的论文 [158]。

$^{70}$ 当人们谈到实数理论的一致性时，我们假设该理论是公理地定义的，而不使用集合论（或者至少放弃使用后者的某些公理，例如选择公理或子集的集合公理）。

1. 数学基础；逻辑; 集合理论。

命题$A_1, A_2, \ldots, A_n$的系统的独立性证明在于表明，对于每个指标$i$，在以$A_j$为公理获得的理论$T_i$中，$A_i$不是定理指标$j \neq i$。 如果知道一个一致的理论$T_i'$，其中$A_j (j \neq i)$是定理，并且“不是$A_i$”，那么这个点就成立；因此，人们可以用两种方式考虑问题，具体取决于是否允许某些理论（例如算术或集合论）是一致的。 在第二种情况下，必须处理“绝对”一致性的问题。 On the contrary, the first type of problem reduces to a problem of "relative" consistency, by means of a construction of appropriate "models", and many proofs of this kind have been thought up, well before mathematics had taken up a completely formalised aspect: it is enough to remember the models of non-Euclidean geometry (see p. 133), the questions of the independence of the axioms of elementary geometry dealt with by Hilbert in the "Grundlagen der Geometrie" [163 c] as well as the work of Steinitz on the axiomatisation of Algebra and those of Hausdorff and his successors on that of Topology.

如果对于$\mathscr{T}$的每个命题$A$（不是包含除了$\mathscr{T}$的常量之外的任何字母），命题$A,$（不是$A$）之一是定理，则称$\mathscr{T}$理论是*完整的* $\mathscr{T}$.$^{71}$ 如果人们把某些非常基本的形式主义放在一边，其完整性很容易被证明（[164]，p. 35），那么在这一领域获得的结果本质上是负面的；第一个是 K. Gödel [130 a]，他证明，如果 $\mathscr{T}$ 是一致的，并且如果形式化算术的公理是 $\mathscr{T}$ 的定理，那么 $\mathscr{T}$ 是不完备的。他巧妙的方法的基本思想在于在元数学叙述和形式化算术中的某些命题之间建立一个双射对应（当然，通过“有限过程”）；我们将把自己限制在一个粗略的草图上。$^{72}$对于$\mathscr{T}$的项或关系的每个集合$A$，首先将（通过一个显式构造的过程，可以准机械地应用）关联整个数$g(A)$，以双射的方式。以同样的方式，对于$\mathscr{T}$的每个证明$D$（视为一系列集合），我们可以以双射的方式关联整个数$h(D)$。最后，可以给出一个显式构造$\mathscr{T}$、$^{73}$的关系$P(x, y, z)$的过程，使得在$\mathscr{T}$、$P(x, y, z)$中要求$x, y, z$是整个数，并且满足以下两个条件：

1° 如果 $D$ 是 $A(\lambda)$ 的证明，其中 $A(x)$ 是 $\mathscr{T}$ 的关系，并且 $\lambda$ 是显性整体数（也就是说 $\mathscr{T}$ 的项是一个整体） 数)，那么$P(\lambda, g(A(x)), h(D))$就是$\mathscr{T}$的定理；

$^{71}$ 这常常用说来表示，如果$A$不是$\mathscr{T}$的定理，则$\mathscr{T}$的公理加上$A$得到的理论$\mathscr{T}'$是不一致的。

$^{72}$ 有关更多详细信息，请参阅[130 a]或（[181]，第181-258页）。

$^{73}$$g(A), h(D)$和$P(x, y, z)$的详细描述非常长且细致，而写出$P(x, y, z)$需要数的符号，这在实践中是不可能的，但没有一个数学家认为这会以任何方式减少值这些构造。

2° 如果显式整体数 $\mu$ 不是形式 $h(D)$，或者如果 $\mu = h(D)$ 并且 $D$ 不是 $A(\lambda)$ 的证明，则（不是 $P(\lambda, g(A(x)), \mu)$）是定理 $\mathscr{T}$。

然后设$S(x)$为关系（不是$(\exists z)P(x, y, z)$），并设$\gamma = g(S(x))$，即$\mathscr{T}$的项。如果$\mathscr{T}$一致，则$\mathscr{T}$中不存在命题$S(\gamma)$的证明。事实上，如果$D$是这样的证明，$P(\gamma, g(S(x)), h(D))$将是$\mathscr{T}$的定理；但这个关系正是$P(\gamma, \gamma, h(D))$，因此$(\exists z)(P(\gamma, \gamma, z)$也将是$\mathscr{T}$的定理；因为最后一个关系相当于（不是$S(\gamma)$），所以$\mathscr{T}$会不一致。另一方面，刚才所说的表明，对于每个显式整数数$\mu$，（不是$P(\gamma, \gamma, \mu)$）是定理 / $\mathscr{T}$。结果是，$\mathscr{T}$中没有证明（不是$S(\gamma)$），因为最后一个关系相当于$(\exists z)P(\gamma, \gamma, z)$，并且存在整个数$\mu$，这样$P(\gamma, \gamma, \mu)$将要求$\mathscr{T}$不一致，通过由于之前。$^{74}$，哥德尔的元数学定理随后被推广到各个方向（[181]，第XI）。$^{75}$

直观上是正确的，因为对于每个显式整体数$\mu$，在$\mathscr{T}$（不是$P(\gamma, \gamma, \mu)$）中都有证明；然而这个命题在$\mathscr{T}$中是无法证明的。这种情况要与 Löwenheim 和 Skolem 之前获得的结果进行比较（参见[286 a]）：后一个定义在两个自然整体数$x, y$之间以元数学方式关系，如果写成$x \in y$，则满足 von 的公理诺依曼集合论。乍一看，这是一个新的“悖论”，因为在这个“模型”中，所有无限集合都是可数的，这与康托$m < 2^m$的不等式相反。但实际上，Skolem 定义的“关系”不能写成形式化的集合论，就像“定理”不能写成无限集合的子集的集合只有“元素”的可数无穷大一样。归根结底，这个“悖论”只是平庸的注的一个更微妙的形式，人们永远无法在形式化理论中写下超过有限的数集合，因此设想理论的项不可数的集合是荒谬的； 注接近已经导致“理查德悖论”的情况。类似的推理证明，如果想要保留Cantorian构造的本质，集合论的形式化是必不可少的。数学家似乎也同意结论，即我们对概念、集合或整个数的“直觉”概念与应该解释它们的形式主义之间仅存在表面上的一致性；当问题是在一个和另一个之间进行选择时，分歧就开始了。

$^{74}$ 事实上，推理的后者部分比$\mathscr{T}$的一致性假设要多一点，即所谓的$\mathscr{T}$的“ω-一致性”：这意味着$\mathscr{T}$中不存在关系$R(x)$使得$R(x)$需要$x \in \mathbf{N}$，并且对于每个显式整体数$\mu$，$R(\mu)$是$\mathscr{T}$的定理，甚至虽然$(\exists x)(x \in \mathbf{N} \text{ and } \text{not } R(x)))$也是定理 $\mathscr{T}$。此外，Rosser 还表明，人们可以以仅假设 $\mathscr{T}$（[181]，p. 208）的一致性的方式修改哥德尔的推理。

$^{75}$ 哥德尔的推理与说谎者的诡辩的类比应该注意：当人们用元数学项来解释它时，命题$S(\gamma)$肯定了它自己的虚假性！一个注也是原因的命题，并且不以任何自然方式与任何数学问题联系在一起。更有趣的是，如果$\mathscr{T}$表示集合论（冯诺依曼-伯奈公理的系统），*连续统假设及其否定都无法在$\mathscr{T}$*中证明。这一显著成果分两个阶段确立：1940年，哥德尔证明了邻接$\mathscr{T}$连续统假设$2^{N_0} = N_1$所得到的理论并不矛盾[130b]；然后，在 1963 年，P. Cohen 在邻接 $\mathscr{T}$ 关系 $2^{N_0} = N_2$（或 $2^{N_0} = N_n$ 对于任意整体数 $n > 1$）时证明了同样的结果 [67]。

决定问题（“Entscheidungsproblem”）无疑是元数学中最雄心勃勃的：它在于知道，对于给定的形式语言，人们是否可以想象一种准机械的“通用程序”，当应用于所讨论的形式主义的任何关系时，在运算的有限数中表明是否关系是真是假。这个问题的$^{76}$解已经是莱布尼茨宏伟设计的部分了，看来希尔伯特的学校一度认为它的实现已经相当接近了。事实上，人们可以用很少的原始符号和公理来描述形式主义包含的此类过程（[181]，第136-141页）。但迄今为止，通过准确概述“普遍程序”的含义来使决定问题精确化所付出的努力仅产生了负面结果（[181]，第432-439页）。此外，对于理论$\mathscr{T}$，决策问题的解立即就可以知道$\mathscr{T}$是否一致，因为只需将“通用程序”应用于$\mathscr{T}$的关系及其否定即可；我们会发现，对于通常的数学理论来说，这样解决问题是不可能的。$^{77}$

确实，在数学理论的一致性问题（元数学的起源和核心）中，结果显示出最具欺骗性。 1920-1930年间，希尔伯特和他的学校开发了新的方法来攻击这些问题； 之后证明了部分形式主义的一致性，涵盖了算术的部分（cf.[158]，[324d]），他们相信自己已经达到了目标，并且不仅证明了算术的一致性，而且证明了集合论的一致性，当哥德尔依靠算术的不完备性，从中推导出证明的不可能性时，通过希尔伯特的“有限程序”，每个理论的一致性$\mathscr{T}$包含后者。$^{78}$

$^{76}$ 一个相邻的问题是某些问题的解是否存在“算法”，这个问题我们无法在这里检验（Turing、Post、P. Novikov）。

$^{77}$ 人们必须仔细地区分决定问题与许多数学家所共有的信念，尤其是希尔伯特经常大力表达的信念，即对于每一个数学命题，人们最终有一天会知道它是真、假还是不可判定的。这是一种纯粹的信仰行为，对此的批评我们无法讨论。

$^{78}$ 有了上面介绍的记号，哥德尔的精确结果如下。说$\mathscr{T}$一致意味着$\mathscr{T}$中不存在关系中的证明

然而，只要人们放弃（至少部分地）希尔伯特关于“有限过程”的限制，哥德尔的定理就不会完全关闭证明一致性的尝试。因此，Gentzen 在 1936 年 [127] 通过“直观地”使用超限归纳直至可数序数 $\varepsilon_0$，成功地实现了证明形式化算术的一致性。 值对推理的“确定性”无疑不如满足希尔伯特最初要求的确定性那么令人信服，并且本质上是每个数学家的个人心理问题；同样正确的是，使用“直观”超限归纳达到给定序数的类似“证明”，如果它们可以应用于例的理论实数或部分的集合论，将被视为重要的进步。

$0 \neq 0$；这要求推论，对于每个显式整体数$\mu$（不是$P(0, g(x \neq x), \mu)$）是$T$的定理。因此，让我们考虑命题$(\forall z)((z \in \mathbf{N}) \Rightarrow \text{not } P(0, g(x \neq x), z))$，我们将用$C$表示；在“翻译”为形式算术推理（上面转载）时，以元数学的方式表明“如果$T$一致，则$S(\gamma)$在$T$中不存在证明”，可以确定$C \Rightarrow (\text{not } (\exists z)(P(\gamma, \gamma, z)))$是$T$的定理，在其他情况下字，$C \Rightarrow S(\gamma)$是$T$的定理。由此可见，如果$T$一致，$C$就不是$T$的定理，因为在这些条件下条件$S(\gamma)$不是$T$的定理。这正是哥德尔的定理的叙述。

$^{79}$ Gentzen 将形式化算术中的每个证明 $D$ 与序数 $\alpha(D) < \varepsilon_0$ 关联起来；另一方面，他描述了一个过程，从每个以矛盾结尾的证明$D$开始，提供也以矛盾结尾的证明$D'$，使得$\alpha(D') < \alpha(D)$；井有序集的理论允许我们结论存在这样的证明$D$不能（推理的型其中扩展数理论的经典“无限下降”）。