Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

2. 记号； 组合分析。

历史和考古学让我们意识到“系统 of 记号”的大数；他们最初的目标是为每个单独的整个数（最多极限，取决于应用程序的需要）附加一个名称和一个书面的表示，由有限的数符号的组合组成，通过遵循或多或少规则的律来完成。到目前为止，最常见的过程是将“连续的单位”$b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$的分裂向上整个数变成和，其中每个倍数乘以前一个的整个数；如果一般情况下 $b_n / b_{n-1}$ 被认为等于数 $b$（系统的“基”，最常见的是 10），则注意到此规则的许多例外，就像巴比伦人一样，其中 $b_n / b_{n-1}$ 是有时等于 10，有时到 6 [232]，以及在玛雅人的时间顺序系统中，其中 $b_n / b_{n-1}$ 等于 20，除了 $n = 2$，以及 $b_2 / b_1 = 18$ [228]。至于相应的写成表示，必须注明阶$i$各“单位”$b_i$的数；在许多系统（例如埃及人、希腊人和罗马人）中，连续的倍数$k.b_i$（其中$k$从1到$(b_{i+1}/b_i) - 1$变化）由同时依赖于$k$和$i$的符号表示。第一个也是重要的改进在于用相同的符号表示所有数$k.b_i$（对于$k$的相同值）：它是“位置记号”的原理，其中指标$i$由以下事实表示： $k.b_i$出现在构成数的“切片”的序列中的第i个位置。这种类型的第一个系统是在巴比伦人中发现的，毫无疑问，他们已经2000年了之前基督，用相同的符号表示所有倍数$k.60^{\pm i}$相应的到指数$i$的任意值（[232]，第19页）。 93-109）。这种系统的不便当然在于所用符号的模糊性，只要没有任何迹象表明某个阶中的单位可能不存在，在其他字中，只要系统不是通过引入“零”来完成的。然而，我们看到巴比伦人在其更伟大的部分历史中没有这样的象征；事实上他们只在过去两个世纪的之前基督里使用这样的“零”，并且仍然只在数的内部；在此之前，仅需要上下文来明确所考虑的数的意义。只有另外两个系统系统地使用“零”：玛雅人的（从基督教时代开始就已经在使用[228]），以及我们实际的十进制系统，它（通过阿拉伯人的代理）源自印度教数学，其使用从我们时代的第一个世纪就已经得到证明。此外，必须指出的是，将零视为数（而不是简单的分离符号）及其引入计算中，也算在印度教徒的原始贡献中（[78]，第I）。当然，一旦获得了记号的原理位置，就很容易将扩展变成任何基任何东西；关于十七世纪以来提出的不同“基”优点的讨论是数值计算技术的问题，不应该在这里讨论。我们极限自己指出，作为这些系统（即所谓的“欧氏”除法）基础的运算，并没有出现在希腊人的之前上，并且无疑可以追溯到最早的毕达哥拉斯学派，他们将其作为理论算术的基本工具（参见p. 85）。

枚举的一般问题，以“组合分析”的名称分组，在古典古代的最后几个世纪似乎没有解决之前：只有公式$\binom{n}{2} = n(n-1)/2$在我们这个时代的第三世纪得到证实。印度数学家 Bhaskara（十二世纪）知道 $\binom{n}{p}$ 的通式公式。更系统的研究可以在 XII-1 世纪初期 Levi ben Gerson 的手稿中找到：他获得了递归公式，允许一次计算 $n$ 对象 $p$ 的排列，特别是数的数 $V_n^p$ 置换 $n$ 对象；他还指出了相当于关系、$\binom{n}{p} = V_n^p / p!$和$\binom{n}{n-p} = \binom{n}{p}$的规则（[311]，v.VI，第64-65页）。但这份手稿似乎被他的同时代人所忽视，其结果只是被接下来几个世纪的数学家一点一点地重新发现。在后来的进展中，让我们来看看Cardan证明了$n$元素的集合非空子集数是$2^n - 1$；帕斯卡和费马，概率设定上升到演算，重新发现了$\binom{n}{p}$的表达式，而帕斯卡是第一个观察到这些数和二项式公式之间关系的人：后者似乎已经为十三世纪的阿拉伯人、十四世纪的中国人所熟知，并被重新发现。在十六世纪初的西方，以及被称为“算术三角形”的递归计算的方法，通常归因于帕斯卡（[311]，v.VI，第35-38页）。最后，莱布尼茨在 1676 年左右获得了（未发表）“多项式系数”的广义公式，该方程被独立重新发现，并在 20 年后由德莫弗尔发表。