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3. 代数的演变。

在数学中，很少有概念比律或合成更原始：它似乎与整个数和可测量量的计算的最初基础密不可分。埃及人和巴比伦人的数学留下的最古老的文献告诉我们，他们已经拥有完整的系统整数数$> 0$、有理数数$> 0$、长度和面积的计算规则；即使虽然我们收到的巴比伦文本也只涉及问题，其中数据具有明确的数字值，$^1$，它们毫无疑问地归因于所使用的规则的普遍性，并且表明在处理第一个和第二个次数的方程方面具有相当显着的技术设施（[232]，第179页和以下）。在任何情况下都没有发现所使用规则的合理性，甚至也没有出现精确的定义或运算：这些仍然属于经验主义领域。

另一方面，类似的担忧在古典时代的希腊人中已经非常明显地表现出来。确实，我们还没有遇到对整体理论数的公理化处理（这样的公理化要到十九世纪末才会出现；参见p. 24）；但是，在欧几里得的 元素 中，许多段落都给出了正式的证明计算规则，就像那些完整的数计算规则一样直观“明显”（对于两个有理数数的乘积例、交换律）。这种类型中最引人注目的证明是与希腊数学最原始的创造“数量理论”有关的那些（正如我们所知，相当于我们的实数$> 0$理论；参见第148页）：欧几里得认为，除其他外，两个数量比率的乘积表明它独立于形式其中给出了两个比率（律与合成的“商”的第一个例

$^1$ 一定不要忘记，只有 Viète [319] 才引入用字母表示代数问题中出现的所有元素（给定或未知）的习惯。在此之前，代数的论文中求解的唯一方程具有数值系数；当作者陈述处理类似方程的一般规则时，他（尽其所能）用普通语言来表达；在没有这种明确的叙述的情况下，在所处理的数值情况下进行计算或多或少可能具有这样的规则。

由等价关系），并且它是可交换的（[107]，书V，第22-23条）。$^2$

我们不能隐瞒，虽然，在欧几里得中，这种严谨性的进步伴随着停滞，甚至一些点的回归，其中涉及代数计算的技术。几何学的压倒性优势（在数量论的背景下显然被构想出来）使代数记号的所有自主发展瘫痪：计算中发生的元素必须在每时每刻都以几何方式“表示”：除此之外，合成的两个律并不定义在同一个集合上（比率的加法没有通用定义，两个长度的乘积不是长度而是一个面积）；因此，缺乏灵活性，使得处理大于第二个的次数的代数关系几乎不切实际。

只是随着古典希腊数学的衰落，人们才看到丢番图回到了“逻辑学家”或专业计算器的传统，他们继续应用从埃及人和巴比伦人继承下来的规则：不再为他所考虑的“数”的几何表示负担，他自然而然地被引导制定抽象代数计算的规则；对于例，他给出的规则（用现代语言）相当于$m$和$n$的小值（正或负）的公式$x^{m+n} = x^m x^n$（[91 a]，v.I，第8-13页）；进一步（第 12-13 页）发现了“符号规则”的叙述，第一个带有负值的计算提示数；$^3$ 最后，丢番图首次使用文字符号来表示方程中的未知数。另一方面，他似乎懒得去联系一般思想方法，他将其应用于解决他的问题；至于律或合成的公理概念，例如欧几里得开始提出的概念，对于丢番图及其直接的追随者的思想来说似乎是陌生的。到了十九世纪初代数之前就再也找不到了。

首先，在中间几个世纪中，一方面代数记号的系统得到了发展，足以表达抽象的律，另一方面，“数”的概念得到了扩展，通过观察足够多样化的特殊情况，可以上升到一般概念。在点上，希腊人创造的数量比公理理论是不够的，因为它只精确地精确了实数$> 0$和运算在这些数上的直观概念，而巴比伦人已经以更加混乱的方式了解了这些概念。

$^2$欧几里得并没有给出点，确实，两个比率的乘积的形式定义，稍后在元素（书VI，定义5）中发现的那个被认为是插值的：当然，他对此有一个完全清晰的概念运算及其性质。 $^3$ 丢番图不知道负数；因此，该规则只能解释为与多项式计算有关，并允许乘积的“展开”，例如$(a - b)(c - d)$。

形式；现在，这将是希腊人没有想到的“数”的情况，而且一开始也没有出现合理的“表示”：一方面，零和负的数，它们从中世纪盛期出现在印度教数学中；另一方面，零和负数出现在印度数学中；另一方面，虚构的数是16世纪意大利代数学家的创造。

如果把零放在一边，首先引入作为记号之前被视为数的象征（参见p. 45），那么这些扩张中的公共的特征标将（至少一开始）纯粹是“正式的”。 由此必须理解，新的“数”首先作为运算的结果出现，根据其严格的定义，它们没有任何含义（对于例，当$a < b$时两个整体数的差异$a - b$）：从而“假”的名称， “虚构”、“荒谬”、“不可能”、“想象”等等数，都被归咎于他们。 对于古典时代的希腊人来说，首先是思维清晰，这样的扩张是不可思议的。他们只能来自于比希腊人更倾向于对方法的虽然甚至有些神秘的幂抱有信心的计算器（“数学分析的普遍性”，正如十八世纪所说），并且允许自己被计算机制拖着走，而不检查每一步的合理性；除了最常见的$a posteriori$之外，一种信仰的合理性还在于扩张，对于这些新的数学对象，计算规则仅在严格意义上对先前已知的数有效，所导致的精确结果。 这就解释了如何逐渐地递增大胆地自己考虑（独立于所有具体计算的应用），概念或数的这些概括，它们最初只是作为序列或运算的中介而出现，其中点的出发点和目标是真实的“数”；一旦采取了这一步骤，人们就开始寻求对这些新实体或多或少有形的解释，从而获得了在数学中被引用的权利。$^4$

关于这个点，印度教徒已经意识到负数在某些情况下必须具有的解释（例如商业问题中的债务）。在接下来的几个世纪中，随着方法以及希腊和印度教数学的结果传播到西方（通过阿拉伯人的中介），人们变得更加习惯于处理这些数，并且开始为它们拥有其他几何或动态的“表示”。无论如何，与代数记号的逐步改进一起，是中世纪末期代数唯一显着的进步。

$^4$ Besides this research only constituted a transitory stage in the evolution of the notions under consideration; from the middle of the XIXth century, there has been a return, in a fully conscious way this time, to a formal conception of various extensions of the notion of number, a conception which ended up being integrated in the "formalist" and axiomatic point of view, which dominates the whole of modern mathematics.

在十六世纪初，由于意大利数学家学校发现了第三次方程“根式”的解，以及第四次方程次数的发现，代数开始了新的飞翔（见第72页及以下）；正是在这个场合，尽管他们很反感，但可以说他们发现自己不得不在计算中引入想象的数；然而，渐渐地，人们对使用这些“不可能”的数进行计算的信心就诞生了，就像负数数一样，尽管两个多世纪以来，没有想到其中的“表示”。

另一方面，代数记号得到了 Viète 和笛卡尔的决定性改进；从后者开始，除了少数例外，代数记号已经是我们今天使用的了。

从十七世纪中叶到十八世纪末，无穷小演算的创造似乎在某种程度上忽视了一般的代数，特别是关于律或合成或关于真实和复数的本质的数学思想。$^5$因此，力的合成和速度的合成，从十七世纪末开始就在力学中众所周知，尽管它们已经包含在胚胎中向量演算，但并没有对代数产生任何影响。事实上，我们必须等待 1800 年左右的思想运动，它导致了复数的几何表示（参见p. 161），才能看到在纯数学中向量加法.$^6$的使用

大约在同一时间，代数、合成扩展、律、概念首次出现。在两个不同的方向上，到不再与“数”相关联的元素（在最广泛的意义上放弃了点到这个字），除非通过遥远的类比。第一个扩张是由于C。 F. Gauss，在他用积分系数对二次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ 进行算术研究时。拉格朗日在形式的集合中定义了相同的判别式等价关系，$^7$，并且另一方面，证明了一个恒等式，在这个集合中，提供了合成的交换性律（不是到处都定义的）；从这些结果开始，高斯表明这个律与稍微不同的等价关系兼容（[124 a]，v.I，p. 272）：“由此可见”，他然后说，

$^5$我们必须一方面投入莱布尼茨的努力，一方面放入形式逻辑的代数形式推理（见p. 7），另一方面集合建立一个在几何元素上运行的“几何演算”，无需坐标中介（[198a]，v.V，p. 141）。但这些努力仍停留在提纲性质，并没有引起同时代人的共鸣；直到十九世纪，它们才被再次采用（见下文）。

$^6$ 这个运算无论如何都是在没有参考力学的情况下引入的；直到十九世纪下半叶向量演算的创始人才明确认识到这两种理论之间的联系（见p. 61）。

$^7$ 当两个形式中的一个可以通过“变量的变换”$x' = \alpha x + \beta y, y' = \gamma x + \delta y$从另一个推导出来时，两个形式是等价的，其中$\alpha, \beta, \gamma, \delta$是整数，使得$\alpha \delta - \beta \gamma = 1$。

“由两个或多个类组成的类应该理解什么”。随后，他继续研究他刚刚定义的“商”律，在实质上确定它是（用现代语言）阿贝尔的群运算，并且在大多数情况下，其普遍性远远超过了高斯所考虑的特殊情况（对于例，他用来证明唯一性的论证）对称元素可以应用于合成中的任何律（*同上。*，p. 273））。但他并没有就此止步：稍后回到问题，他认识到类的合成和整数模素数数$^8$ (同上。 p. 371) 的乘法之间的类比，但注也是如此给定判别式的二次形式的类的群并不总是循环群；他在这个问题上给出的指示让我们认为，至少在这个特殊情况下，他可能已经意识到有限阿贝尔的群的一般结构（[124a]，v.I，p. 374和v.II，p. 266）。

我们要讲的研究的另一个级数也以群的概念结束，从而以明确的方式将其引入数学：它是“代换理论”，是拉格朗日、范德蒙德和高斯关于代数方程解思想的发展。我们不会在这里给出这个问题的详细历史（参见第 75 页及以下）；我们必须记住Ruffini [265]的定义，然后是柯西（[56 a]，（2），v.I，p. 64），有限集合，$^9$的两个置换的“乘积”和第一个概念置换的有限群：传递性、原始性、中性元素、通勤元素等。但总体而言，这些第一个研究仍然相当肤浅，埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois）必须被视为该理论的真正创始人：在他令人难忘的著作中[123]，将代数方程的研究简化为与它们相关的群或置换的研究，他大大加深了后者，因为它对群的一般性质的关注（伽罗瓦首先对正常子群的定义概念并认识到其重要性），就像在确定群拥有特定的性质（他获得的结果至今仍被列为最微妙的理论之一）。也是为了

$^8$ 值得注意的是，高斯“加法”地表示二次形式的类的合成，尽管他自己进行了点的类比，并且尽管拉格朗日的恒等式（两个形式的定义合成）暗示了很多更自然的乘法记号（无论如何，高斯的所有后继者都返回了）。人们必须从对记号问题的漠不关心中看到，这进一步证明了高斯在他关于律或合成的概念中确实达到了普遍性。在任何情况下，他都没有极限对交换性律的看法，正如他生前未发表的一个片段所示，但可以追溯到1819-1820年，他在那里给出了二十多年的之前汉密尔顿，公式对于四元数的乘法（[124a]，v. VIII、p. 357）。

复合函数的$^9$概念自然是众所周知的之前，至少对于实变量或复变量的函数；但是合成的律的代数方面，以及两个置换与乘积的联系，直到阿贝尔（[1]，v.I，p. 478）和伽罗瓦的工作才被揭示出来。

伽罗瓦认为“群的线性表示”的第一个想法是$^{10}$，这一事实清楚地证明他拥有两个群结构的*同构*的概念，独立于它们的“实现”。

然而，如果高斯和伽罗瓦的辉煌的方法使他们对律或合成有一个非常广泛的概念，那么他们没有机会特别发展他们在这个点上的想法，他们的工作也没有任何关于抽象演化的直接的作用代数.$^{11}$ 在第三个方向上，抽象取得了最明显的进步：继对虚数本质的反思（其中几何表示在十九世纪初引起了相当实质性的工作），英国代数学家学校首先从1830年到1850年提出了抽象合成律概念，并立即将代数域由应用这个概念放大到一系列新的布尔逻辑数学对象：代数（参见p. 8）， 向量、四元数和一般超复数系统与 Hamilton [145 a]、矩阵以及非关联律与 Cayley ([58], v. I, 第 127 页和 301 页，以及 v. II, 第 185 页和475）。平行进化在大陆上独立发生，特别是就向量演算而言（莫比乌斯，贝拉维蒂斯），线性代数和超复杂系统（格拉斯曼）（见第61页）。$^{12}$

From all this bubbling up of original and fruitful ideas that come to revive Algebra in the first half of the XIXth century, this latter emerges renewed even in its trends. 之前、方法以及结果围绕着代数方程（或数理论中的丢番图方程）的解中心问题：“代数”，Serret 在其高等代数课程简介 [284] 中说道，“正确地说，是， 数学分析方程”。 之后 1850 年，即使关于代数的论文在很长一段时间内仍然让方程论占据主导地位，新的研究不再以对数值方程中直接的应用到解的关注为主导，而越来越倾向于我们现在所认为的基本的问题代数，代数结构的研究。

这项工作相当整齐地分为三个流派，扩展分别是我们上面分析的三种思想运动，直到十九世纪最后几年，它们都是并行进行的，没有相互可衡量的影响。$^{13}$

$^{10}$ 正是在这种情况下，伽罗瓦通过大胆的扩张导致复数的“形式主义”，考虑同余模素数数的“虚根”，并因此发现*有限域*（参见p. 82）。

$^{11}$ 无论如何，伽罗瓦的理论直到 1846 年才被忽视，而高斯的理论只对数理论产生了直接影响。

$^{12}$ 这一时期发展起来的主要理论在H. Hankel的当代作品中得到了显着的展示[146]，其中概念、律、合成的抽象概念被完美清晰地构思和呈现。

$^{13}$ 我们自愿将这一时期所有与代数几何的演变和不变量理论相关的内容留在一边，它们是紧密联系在一起的

它首先是由十九世纪的德国人学校（狄利克雷、库默尔、克罗内克、戴德金、希尔伯特）建立的代数数理论，源自高斯的工作，第一个此类研究应归功于高斯，即数$a + bi$（$a$和$b$ 有理数）。我们不会在这里跟踪这个理论的演变：为了我们的目的，我们必须简单地选择那里出现的抽象代数概念。早在高斯的第一批继承者那里，*域*（代数数）的思想就出现在所有相关工作的基中（阿贝尔和伽罗瓦关于代数方程的研究也是如此）；当 Dedekind 和 Weber [80] 将一个变量的代数函数理论复制到代数数理论时，它的域的应用就会增长。另外，由于 Dedekind ([79], v. III, p. 251)，引入了 ideal 的概念，它在元素的 集合 之间提供了合成的律的新例；对他和克罗内克来说，阿贝尔的、群和模在代数域理论中发挥的越来越大的作用可以追溯到；我们稍后会再讨论这个问题（参见第 63 页和第 93 页）。

我们也将线性代数 (p. 57) 和超复数系统 (p. 117) 的发展历史留到以后，这些历史发生在十九世纪末二十世纪初的英国，没有引入任何新的代数概念 (Sylvester, W. Clifford）和美国（B. 和 C. S。 Peirce、Dickson、Wedderburn）沿着汉密尔顿和凯利规划的路线，在德国（Weierstrass、Dedekind、Frobenius、Molien）和法国（Laguerre、E. Cartan）以一种独立于盎格鲁撒克逊人的方式并遵循相当不同的方法。

至于群理论，最初主要是在有限置换群理论的形式下发展起来的，继伽罗瓦著作的出版​​和Serret著作的传播之后[284]，尤其是C伟大的《论代换》。 乔丹[174a]。 后者总结并极大地完善了他的前辈关于置换群（传递性、原始性等）的特殊性质的工作，获得了自那时以来，更大的部分几乎没有被超越的结果；他还深入研究了非常重要的群、线性群及其子群（参见p. 138）；同样，正是他通过另一个介绍了群的基本概念和表示，以及（稍后）商群的基本概念，并证明了定理的部分，被称为“Jordan-Hölder” 定理"。$^{14}$ 最后，对 无限 群的第一个研究可以追溯到乔丹 [174 b]，即 S. 一侧躺着，F. 克莱因和H. 另一方面，庞加莱在几年后在两个不同的方向上得到了相当大的发展。

$^{14}$ Jordan 只建立了有限群“Jordan-Hölder 级数”的商群 阶 的不变性（最多阶）； O. Hölder 证明商群本身（直到阶）独立于所考虑的级数 [165]。

与此同时，逐渐变得明显的是，群的本质是合成的律，而不是构成群的对象的本质（参见例[58]，第II，第123页和第131页以及[79]，第13页）。 III、p. 439）。然而，即使是有限抽象群上的研究，在很长一段时间内仍然被视为对置换的群的研究，直到1880年左右，有限群的自治理论才有了有意识的发展。我们不能进一步追踪这个理论的历史；我们极限自己提到了两个工具，它们至今仍然是有限群研究中最常用的工具之一，它们都可以追溯到十九世纪：$p$群上的Sylow$^{15}$的定理，可以追溯到1872年[303]，以及特征标的理论，创建于20世纪的最后几年。 Frobenius 的世纪 ([119], v. III, pp.1-37)。我们向希望加深对有限群理论及其产生的众多且困难的问题理论知识的读者发送专着 [44 b]、[131]、[291] 和 [341]。

也是到了 1880 年，群的呈现才开始被系统研究； 之前，仅研究了特定群的表示，对于汉密尔顿[145 b]工作中交错的群$A_5$的例，或微分方程和黎曼曲面（Schwarz、Klein、Schlafli）的单调群。 W. Dyck 是第一个[97]到定义（没有给它命名）由生成元的有限数生成的自由群，但他对它本身不太感兴趣，而是作为一个“通用”对象，允许精确的定义给定“由生成元和”给出的群的含义。 关系”。 Dyck 发展了凯莱首先提出的一个想法，并且明显受到上述黎曼的学校工作的影响，戴克用给定的表示描述了群的解释，其中每个生成元由相对于正切圆或割线的两​​个反转的乘积表示（另见[44 b]，第XVIII章）。 稍后，庞加莱及其继承者发展了之后自守理论函数，然后庞加莱引入了代数工具拓扑，对基础群的首次研究将与群的介绍（Dehn，Tietze）齐头并进，这两种理论相互支持。 无论如何，它是一位拓扑学家，J. Nielsen 在 1924 年首次深入研究了术语 free 群 的性质 [234]；几乎紧接着 E. Artin（仍然与拓扑问题有关）引入了群的自由乘积的概念，以及O。 Schreier 定义更普遍的是自由乘积与合并的子群。 在这里，我们再次不能处理这个方向后续发展的历史，更多细节请参考工作[216]。

它也不是谈论自十九世纪末以来，通过数学分析、几何、力学和理论物理学中的群（以及与其密切相关的*不变量*的概念）而闻名的非凡繁荣的地方。这是通过类似的入侵

$^{15}$ 有限群中阶可被$p^n$整除的阶 $p^n$ 子群的存在性在Galois 的论文中没有提及证明 ([123], p. 72)。

这个概念，以及与之相关的代数概念（群，带有运算符，环，理想，模），在代数的部分中，在那之前，它们似乎距离它们的正确域相当遥远，我们在这里回顾的演化的最后一个时期被标记出来，并且以我们在上面遵循了三个趋势。这种统一首先是现代德国人学校的工作：从十九世纪末的戴德金和希尔伯特开始，代数的公理化工作由E.斯坦尼茨[294a]大力开展，然后，从1920年开始，在E.Artin、E.Noether和他们的学校代数学家的推动下（哈塞、克鲁尔、O.施赖尔、范德瓦尔登）。 van der Waerden 发表于 1930 年的论文[317a]首次将这些作品集中在一起进行完整的阐述，为倍数随后的研究转化为摘要代数开辟了道路并作为指导。