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4. 线性代数和多线性代数。

线性代数同时是数学最古老的分支之一，也是最新的数学分支之一。一方面，问题存在于数学的起源中，可以通过单个乘法或除法来解决，也就是说通过计算函数$f(x) = ax$的值，或通过方程$ax = b$的解：这些是线性方程组的典型问题代数，如果没有“线性思考”，就不可能处理它们，甚至无法正确地陈述它们。

另一方面，当域、环、拓扑向量空间等的概念、拓扑向量空间等的现代发展得到自由并重视线性的本质概念时，不仅这些问题，而且几乎所有涉及第一个次数方程的问题，在很长一段时间内都被归入基础教学。 代数（对于例对偶性）；正是在那时，几乎所有现代代数的本质上线性的特征标得以实现，这种“线性化”甚至是其中的显着特征之一，并且其应得的位置又回到了线性代数。因此，从我们自己所处的点角度来看，讲述它的历史将是一项既重要又困难的任务。我们必须满足于这里相当概括的指示。

由此可见，线性代数无疑是在阶中诞生的，以满足练习计算器的需要；因此，我们看到三的规则（[311]，第I，第150-155页）和假位置规则，或多或少明确地指出，在所有实用算术手册中发挥着重要作用，从埃及人的莱茵德纸莎草纸到我们小学中使用的学校，经过到Aryabhata，阿拉伯人、比萨的列奥纳多以及中世纪和文艺复兴时期无数的“计算书籍”；但它们或许只是供实践者使用的更先进科学理论的摘录。

对于实际的数学家来说，他们的线性代数上的研究的性质是他们科学的一般结构的函数。古希腊数学，正如欧几里得*元素*中的集合一样，发展了线性特征标的两种抽象理论，一方面是数量理论（[107]，书V，cf.p. 152），另一方面是整体数 （[107]，书VII）。对于巴比伦人，我们发现方法更接近我们的基本代数；他们知道如何以一种非常优雅的方式（[232]，第 181-183 页）求解第一个次数的方程组系统。然而，在很长一段时间内，线性代数的进展主要与代数计算的进展联系在一起，正是在这个与现在的注不同的方面，才合理地考虑它；到约化，事实上，系统到型$ax = b$的方程，如果只涉及一个未知数，那么知道规则（已经由丢番图充分阐述）就足够了，通过这些规则可以将项从一个成员移动到另一个，并组合类似的项；如果涉及到许多未知数，只要知道如何依次消除它们，直到只剩下一个就足够了。因此，直到十八世纪，关于代数的论文一旦制定了这些规则，就被认为已经完成了第一个次数的所有内容；至于系统 ，其未知数与方程一样多（他们不考虑任何其他），其中第一个成员不是线性独立的形式 ，他们总是满足于在经过中注意到，这表明问题的姿势很糟糕。在十九世纪的论文中，甚至某些更近期的著作中，这种点的观点仅随着记号的进步而改变，它允许在$n$未知数中写出$n$方程的系统，以及行列式的引入，允许将公式的叙述写为“一般情况”中显式的解；这一进步主要归功于十八世纪和十九世纪初的数学家，如果莱布尼茨发表了他关于这个问题的想法的话（[198a]，v.I，p. 239）。

但我们必须首先考虑几个思想流，这些思想比线性方程系统的研究更有助于我们所理解的线性代数的发展。受阿波罗尼乌斯研究的启发，费马（[109]，v.I，第 91-110 页；法文翻译，v.III，第 85-101 页）设想，甚至之前笛卡尔（[85a]，v.VI），原理解析几何，具有通过平面曲线的次数对平面曲线进行分类的思想（它已为所有数学家变得越来越熟悉，可以认为是在十七世纪末明确获得的），并陈述了平面中代表直线的第一个次数方程的基本原理和第二个次数二次曲线的方程： 原理从中他直接推导出一些关于几何轨迹的“非常漂亮”的推论。同时，他宣布（[109]，v. I，第 184-188 页；法文翻译，v. III，第 159-163 页）将问题分类为问题已解，问题其中约化为两个未知数的方程，为三个未知数的方程等；他补充道：第一个是确定点，第二个是确定直线或平面轨迹，即沿着曲面的轨迹；等等（“……这样的问题不仅仅寻找点或一条线，而是寻找适合该问题的整个表面；正是从表面诞生了表面轨迹，等等”，loc.cit.p. 186;已经可以在$n$维数中找到几何的胚胎）。这篇文章，在代数和几何代数中陈述了维数的原理，表明了代数与几何的融合，绝对符合现代观念，但正如我们已经看到的，它花了两个多世纪的时间才渗透到人们的头脑中。

至少这些想法很快就导致了解析几何的繁荣，在十八世纪，克莱罗、欧拉、克莱默、拉格朗日和许多其他人的提出，解析几何获得了完整的范围。 公式的线性特征标用于平面和空间中的坐标变换，其中不能尚未被费马注意到，而欧拉则将例置于突出位置（[108a]，（1），v.IX，第1章）。 II-III，以及附录IV），根据次数（正是因为这些公式的线性性而保持不变），建立了平面线和曲面的分类；也是他（loc.cit.，第XVIII）引入了字“亲和力”来指示曲线之间的关系，可以通过变换$x' = ax, y' = by$从另一个推导出来（但没有注意到这个定义仍然依附于特定的几何不变量） 选择轴）。稍后我们看到拉格朗日（[191]，v.III，第 661-692 页）将整个回忆录（这将在很长一段时间内仍然名声在外）奉献给解析几何的典型线性和多线性问题，分为三个维数。大约在同一时间，与通过给定的点搜索平面曲线经过的线性问题由……组成相关，行列式的概念首先以某种经验的方式形成，Cramer [72]和Bézout [21]；后来由几位作者发展起来，这个概念及其基本性质最终由 Cauchy ([56 a], (2), v. I, pp. 91-169) 和 Jacobi ([171], v. III, pp. 355-392) 提出。

另一方面，虽然数学家们有些轻蔑地持有前次数方程，但微分方程中的解相反构成了主要的问题；很自然，在这些方程中，人们很早就挑选出了线性方程，无论是否具有常数系数，并且他们的研究有助于增强线性度和随之而来的值。这正是 d'Alembert [75 c]、Lagrange ([191], v. I, pp. 471-668) 和 Euler ([108 a], (1), v. XII) 所看到的情况；但只有第一个判断有用的是，非齐次方程的一般解是特定解的一般和以及相应的齐次方程的一般解；此外，当这些作者指出阶$n$的线性齐次方程的一般解是$n$特定解的线性组合时，他们没有补充说这些必须是线性独立的，并且没有努力显式地呈现后者概念；关于这个点和许多其他问题一样，看来只有柯西在巴黎综合理工学院的教学才能提供一些启示（[56 b]，第 573-574 页）。但拉格朗日（loc.cit.）还引入了（仅用于计算，这是真的，并且没有给它命名）线性微分方程$L(y) = 0$的伴随方程$L^*(y) = 0$，一个典型的对偶性例凭借关系

当积分区间末端$y$和$z$为零时有效；更准确地说，30年来之前高斯在3个变量中明确定义了线性代换的转置，我们毫无疑问地看到“函数运算符”$L^*$转置的第一个例或通过双线性函数给出的运算符$L$的“伴随” （这里是积分$\int yz dx$）。

与此同时，拉格朗日（[191]，v. III，第 695-795 页），线性代换，最初是 2 或 3 个变量，正在征服算术。显然，当$x$和$y$取所有整数值时，函数$F(x, y)$的值的集合，当行列式1的任意线性代换（系数为整数）时，不变换，在 $x, y$ 执行；正是基于这一基本观察，拉格朗日基提出了数乘以形式的表示理论，以及形式约简理论；高斯则通过我们难以欣赏的大胆一步，摆脱了等价的概念和形式的类（cf.p. 50）；在这个点上，他认识到一些初等原理相对于线性代换的必要性，并特别介绍了转置或伴随的概念（[124a]，v.I，p. 304）。从那时起，对 2、3 和后来的 $n$ 变量中的二次形式的算术研究和代数研究，以及与它们密切相关的双线性形式的研究，以及最近将这些概念推广到无穷多个变量，直到我们这个时代，形式都是线性发展最富有成效的来源之一。 代数（cf.第136页及以下）。

但是，也许更具决定性的进步是，高斯在这些相同的论文中，创造了（cf.p. 51）有限阿贝尔的群的理论，它以四种不同的方式出现，通过整个数模$m$的加法群（对于$m$ 整数），通过数的乘法群对$m$模$m$，通过二元二次形式的类的群，最后通过$m$的乘法群根共单位元；而且，正如我们已经指出的，很明显，作为阿贝尔的群，或者更好地说是模超过 $\mathbf{Z}$，高斯对待所有这些群，研究它们的结构，它们的同构关系，等等。 “复数整数”$a + bi$的模，后来人们看到他在研究$\mathbf{Z}$上的无限模，其中他无疑没有错过看到椭圆函数的同构和周期（由他在复数域中发现）的模；无论如何，这个想法在雅可比身上已经很明显了，因为例在著名的函数不可能有 3 个周期的证明以及他对阿贝尔的积分反演的问题的观点中（[171]，v. II，第 25-50 页），很快就会结束与 Kronecker 的定理 ([186 a], v. III_1, pp. 49-109)。

在这里，在我们试图追寻线索和有时蜿蜒的溪流中，另一个加入进来，它长期以来一直处于地下。正如我们将在其他地方更详细地介绍的那样（参见p. 130），上个世纪所理解的“纯”几何，也就是说本质上是不使用坐标的平面和空间的射影几何，是由笛沙格（Desargues）在十七世纪创建的[84]，他的思想受到费马（Fermat）的真正价值的赞赏，并被帕斯卡（Pascal）投入使用，随后又陷入了困境。废弃，因解析几何的辉煌进步而黯然失色；到十八世纪末，蒙日、然后是蓬塞莱和他的模仿者布里昂雄、查斯勒、有时，完全自愿地与分析性的方法、有时（尤其是在德国）紧密地混合在一起，将它重新带回了重要地位。然而，无论从点的角度考虑（综合的还是分析的），射影变换都只不过是射影或“重心”坐标上的线性代换；二次曲线（十七世纪），以及后来的二次曲线，其中射影理论长期以来一直是这个学校的主要研究对象，它们正是二次曲线形式，我们已经在上面指出了它与线性代数的密切联系。与这些概念相结合的是极性：它也是由笛沙格创建的，极点和极地理论后来被蒙日及其继承者掌握，并很快以对偶性原理的名义，成为几何定理的强大变换工具；如果人们不敢断言它与伴随微分方程的联系只是很晚才被注意到（它们是由 Pincherle 在本世纪末指出的），但 Chasles 证明了这一点（[60 b], p. 55），我们仍然没有错过的是注意到它与由 Viète 引入球面三角函数的倒球面三角形概念的亲缘关系([319], p. 418) 和斯内利乌斯已经在十六世纪了。但射影几何中的对偶性只是向量空间对偶性的一个方面，考虑到经过从仿射空间到射影空间（这是空间与关系“标量乘法”的商空间）的修改。

十九世纪比我们历史上的任何时期都拥有更多的前秩数学家；即使只限于最突出的方面，也很难用几页纸来描述这些思想运动的融合在他们手中所产生的一切。一方面是纯合成的方法，一种普罗克鲁斯特式的床，他们的正统行家在其中折磨自己，另一方面是与任意强加于空间的坐标系统相关联的分析方法，人们很快就会感到需要一种几何演算，这是莱布尼茨梦想但不是创造的，不完美的。卡诺[51]概述：首先出现的是向量的加法，隐含在高斯的虚数表示几何数中，以及他将其应用于初等几何（cf.p. 162），由贝拉维蒂斯以“等价的方法”的名义开发，这在格拉斯曼、莫比乌斯、汉密尔顿中得到了明确的体现；同时，莫比乌斯以“重心演算”的名义给出了一个适应射影几何需要的版本（[223]，v.I）。

与此同时，在同一个人中，通道发生了，如此自然（一旦进入这条路径），我们已经看到费马已经宣布了，从平面和“普通”空间到空间的$n$维数；这段甚至是不可避免的，因为对于 2 或 3 个变量解释为几何项本身的代数现象，对于任何数变量来说，在没有变换的情况下也存在；因此，在使用几何语言时，将维数限制为 2 或 3 个维数，对于现代数学家来说将是一种不方便的束缚，就像不断阻止希腊人将数的概念扩展到不可通约量的比率一样。此外，与$n$维数有关空间的语言和思想几乎同时出现在各个方面，在高斯中模糊不清，在下一代数学家中清晰可见；他们在使用它时或多或少地大胆地考虑了他们的数学倾向，而不是他们的哲学观点，甚至只是实际的考虑。无论如何，凯利和格拉斯曼在大约 1846 年，轻松地操纵了这些概念最大的（凯利与格拉斯曼不同（[58]，v.I，p. 321），“不求助于任何形而上学概念”）；在凯莱，人们总是非常接近分析解释和坐标，而在格拉斯曼，它从一开始，以向量的加法，$n$维数的空间，几何方面起主导作用，最终得到我们稍后将讨论的发展。

然而，来自高斯的推动力正以两种不同的方式推动数学家研究代数或超复数系统。一方面，除了引入“想象的单位”$i = \sqrt{-1}$之外，人们不可避免地要尝试扩展实数的领域，从而开辟比复数更广阔、更富有成果的领域。高斯说服自己（[124 a]，v. II，p. 178）这样的扩张是不可能的，至少如果一个人试图保留复数的主要性质，也就是说用现代语言来说，那些使它成为交换域的性质；而且，无论是由于他的影响，还是独立地，他的同时代人似乎都认同这一信念，直到很久以后，韦尔斯特拉斯才以精确的定理证明了这一信念（[329 a]，第II，第311-332页）。但是，一旦人们将复数的乘法解释为平面中的旋转，如果打算将扩展这个想法转化为空间，人们就会被引导去设想（因为空间形式中的旋转是非阿贝尔的群）非交换律乘法；这正是指导 Hamilton$^1$ 发现四元数 [145 a] 的思想之一，四元数是非交换域中的第一个例。尽管甚至可能因为狂热的“四元数论者”形成了学校，但这个例（正如弗罗贝尼乌斯后来证明的那样，唯一一个可以在实数的域上构造的奇点）的奇点在一定程度上限制了它的范围，尽管甚至可能是因为狂热的“四元数主义者”形成了学校：

$^1$ 参见。他的四元数讲座 [145 a] 的有趣序言中他回顾了他的发现历史。

这种现象后来在格拉斯曼的作品中重演，然后是从汉密尔顿和格拉斯曼中汲取所谓“向量演算”的普及者。不久之后，Graves 和 Cayley 放弃了结合性，他们构造“Cayley 数”，并没有开辟出一条有趣的脉络。但是，之后西尔维斯特引入了矩阵，并且（没有给它命名）明确定义了秩（[304]，v.I，第145-151页），又是凯利（[58]，v.II，第475-496页）创建了它的演算，并非没有注意到（这是一个基本事实，后来经常被忽视）矩阵只是线性代换的缩写记号，就像事实上高斯用$(a, b, c)$形式$aX^2 + 2bXY + cY^2$表示一样。除了西尔维斯特和凯莱关于行列式及其相关内容的丰富著作中的一个方面之外，毫无疑问，这对我们来说是最有趣的，其中充满了巧妙的恒等式和令人印象深刻的计算。

格拉斯曼还发现（除其他外）在实数上的代数，他的名字仍然与外部代数联系在一起。他的作品，甚至早于汉密尔顿的作品（[134]，v I_1），在几乎完全的道德孤独中创作，在很长一段时间内仍然鲜为人知，因为毫无疑问它的原创性，也因为它开始被笼罩的哲学迷雾，并且对于例首先将莫比乌斯拒之门外。格拉斯曼构造的关注点与汉密尔顿的关注点类似，但范围更广（正如他很快意识到的那样，这些关注点本身就是莱布尼茨的关注点），格拉斯曼构造是一座巨大的代数几何大厦，建立在$n$维数的向量空间几何或“内在”概念（已经几乎公理化）之上；在他最终得到的最基本的结果中，让我们引用向量、维数的线性独立性的例定义和基本的关系$dim\ V + dim\ W = dim\ (V + W) + dim\ (V \cap W)$ (loc.cit., p. 209; cf. [134], v. I_2，p. 21）。但首先是多向量的外部乘法，然后是内部乘法，为他提供了轻松处理的工具，首先是线性代数本身的问题，然后是那些与欧氏结构有关的工具，也就是说与向量（他在那里找到了他所缺失的二元性的等价物）。

高斯在超复数系统的研究中开辟的另一条道路是从复数整数$a + bi$开始；由此，人们很自然地进行到更一般的代数或超复杂系统，超过整数的环$\mathbf{Z}$或超过域$\mathbf{Q}$的有理数，首先是高斯已经预见到的那些由单位元的根生成的，然后是代数数的域和代数整数的模：这些是库默工作的主要对象，前者的研究由狄利克雷、埃尔米特、克罗内克、戴德金进行。 在这里，与代数在实数上发生的情况相反，没有必要放弃交换域的任何特性，而在整个 19 世纪，工作正是受到这些特性的限制。 但是线性属性，以及对于例域的整数搜索基（对于判别式的一般定义来说是必不可少的）在许多方面都发挥着重要作用；无论如何，在戴德金德看来，方法注定会成为典型的“超复杂”；除了戴德金本人之外，虽然没有以一般方式提及代数的问题，但他也意识到了他工作的这一方面，以及将例与Weierstrass关于实数上的超复数系统的结果联系起来的原因（[79]，特别是第II卷，第1-19页）。 同时，狄利克雷在其著名的注中确定了代数数的域中乘法群或单位的结构 ([92], v. I，第 619-644 页），几乎同时由 Hermite ([159]，v. I，第 159-160 页），非常适合澄清关于模超过 $\mathbf{Z}$、系统生成元的想法，以及当他们有基时。 那么理想的概念，即代数数域中的戴德金定义（如域的整数环上的模）（[79]，v. III，p. 251），而克罗内克在多项式环（以“模的系统”的名称）中引入了等效的概念（[186 a]，v. II, pp. 334-342), gives the first examples of modules over rings more general than $\mathbf{Z}$; and in the same authors, then in Hilbert, is released little by little in particular cases the notion of a group with operators, and the possibility of always constructing, starting with such a group, a module over a suitably defined ring.

同时，二次和双线性形式的算术代数研究，以及它们的“约简”（或者，相当于矩阵及其“不变量”）的算术代数研究，导致发现关于线性方程系统的解的一般原理，原理，因为缺乏秩的概念，已经逃脱了雅可比。 带有积分系数的线性方程的系统的整数中的$^2$问题，解中的整数首先被Hermite在特殊情况下处理和求解，然后在其所有一般性中由H. J. Smith（[287]，v. I，第 367-409 页）；直到 1878 年，弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 在克罗内克 (Kronecker) 制定的研究庞大计划的框架内再次发现了后者的结果，维尔斯特拉斯 (Weierstrass) 也参与了该计划；顺便说一下，克罗内克在他的工作过程中，在具有实数（或复数）系数的线性系统上给出了确定的形式到定理，这也在《爱丽丝梦游仙境》的著名作者的一本晦涩的手册中以他所特有的一丝不苟的态度进行了阐述；至于克罗内克，他不屑于发表自己的结果，而是将其留给他的同事和弟子。甚至字秩也只是Frobenius引入的。正是在柏林大学的教学中，Kronecker [186 b] 和 Weierstrass 引入了行列式的“公理”定义（作为 $n$ 向量的多线性交错的函数于 $n$ 的空间） 维数，归一化为值 1 作为恒等式矩阵)，定义相当于

$^2$ 当行列式为零时，关于$n$未知数中$n$方程的系统的分类，他说（[171]，v.III，p. 370）：“paullo prolixum videtur negotium”（不可能简单地阐明它）。

可以从Grassmann的计算中推导出来；正是在他的讲座中，克罗内克仍然没有感觉到有必要给它一个名字，并且在一个仍然不是内在的形式中，引入了空间的张量积和矩阵的“Kroneckerien”乘积（通过给定的线性代换应用在张量积上诱导的线性代换）至因子）。

这些研究也不应该与凯莱、埃尔米特和西尔维斯特（后来埃尔米特在他的信中提到的“不变三位一体”）创建的不变理论分开，从现代点的角度来看，它首先是线性群的表示理论。作为射影几何对偶性的代数等价物，同余变量和异余变量的级数之间的区别就出现了，也就是说，空间中的向量和对偶空间中的向量；并且之后首先引起了低次数的形式的注意，然后是任意次数，在2个或3个变量中，在检查双线性方面浪费了很少的时间，然后是多重线性形式，在几个“同余”或“反对”变量中的级数，这相当于引入张量；当 Ricci 和 Levi-Civitá 于 1900 年将“张量演算”引入微分几何中时，这一点就被意识到并得到普及，后来，随着“相对主义”物理学家的使用，微分几何变得非常流行。仍然是不变量理论、微分几何和偏微分方程理论（特别是所谓的普法夫的问题及其推广）的逐步相互渗透，逐渐让几何学家开始考虑，首先是微分的双线性交错的形式，特别是微分的形式的“双线性协变” 次数 1（由 Lipschitz 于 1870 年提出，随后由 Frobenius 研究），由 E. Cartan ([52 a], v. II₁, pp. 303-396) 和 Poincaré ([251 b], v. III, chap. XXII) 完成外部差速器演算形式。庞加莱在其积分不变量形成的背景下引入了这些，作为出现在倍数积分中的表达式，而嘉当毫无疑问地受到他在代数上的研究的指导，以一种不太正式的方式引入了它们，但并非没有注意到，而且它们的演算的代数部分与格拉斯曼（Grassmann）的外部乘法（因此他采用了这个名字），从而明确地将后者的作品置于其真正的位置。外微分形式的张量演算翻译成记号，除了立即显示它们与不对称张量的联系之外，一旦人们回到纯代数点的观点，就会发现它们与交替多重线性形式是什么协变体张量至任意多重线性形式；通过线性群的现代表示理论，这一点变得更加清晰；由此认识到，对于例，Weierstrass 和 Kronecker 给出的决定因素定义与格拉斯曼的演算所得出的决定因素之间的实质同一性。

由此，我们进入了现代时代，结构的公理方法和概念（最初感觉到，直到最近才定义），使我们能够分离迄今为止一直难以摆脱地混合在一起的概念，阐明模糊或潜意识的概念，在一般性中证明只在特定情况下才知道的适当的定理。皮亚诺是公理化方法的创造者之一，也是最早欣赏格拉斯曼工作的真正价值的数学家之一，他已经在1888年（[246 b]，第IX章）给出了向量空间的公理化定义（无论有限维与否）实数的域，以及完全现代的记号，从空间到另一个的线性映射；稍后，Pincherle 试图将由此构想的线性代数应用于函数理论，这是事实，但这一方向几乎没有表现出成果；至少他的点观点将使他能够在“拉格朗日伴随”中认识到线性映射转置的特殊情况：在希尔伯特和他的学校关于希尔伯特空间的令人难忘的工作及其在数学分析。正是与后者研究相关，Toeplitz [309 a] 也引入了（但通过坐标）实数上最一般的向量空间，做出了基本观察，即行列式理论对于线性代数的主要定理的证明是无用的，这允许这些扩张毫无困难地达到无限维度空间；他还指出，由此理解的线性代数当然适用于任何可交换的基域。

另一方面，随着巴纳赫在 1922 年引入以他的名字命名的空间，$^3$，人们相遇了，问题是拓扑的，同时也是代数的，空间与它们的对偶并不同构（参见第 214 页及以下）。在向量空间和它的对偶之间，已经不存在“典范的”同构的，也就是说由结构决定，这在很长一段时间内通过同余和反对之间的区别反映出来。尽管如此，毫无疑问，空间和它的对偶之间的区别是在巴纳赫和他的学校的工作之后才被明确确立的；也正是这项工作引起了人们对余维概念的兴趣。至于空间的向量子空间与其对偶之间的对偶性或“正交性”，今天的表述方式表明了一种类比，不仅与伽罗瓦理论主要定理的现代表述相一致，而且与局部紧致阿贝尔的中所谓的庞特里亚金对偶性相一致群；这可以追溯到韦伯，他在 1866 年算术研究中将基表示为有限群 [327 d]；在伽罗瓦理论中，子群和子域之间的“对偶性”是由戴德金和希尔伯特形成的； 向量子空间之间的正交性显然是源自射影几何中线性簇之间的对偶性，以及概念和欧氏空间或希尔伯特空间（从而它的名字）中完全正交簇的性质。所有这些线程聚集在一起

$^3$ 它们规范完备向量空间，超过实数的域或复数。

在当代，在 E. Noether、Artin 和 Hasse 等代数学家以及 Pontrjagin 和 Whitney 等拓扑学家手中，群与另一个之间不乏相互影响。

与此同时，正在进行严格的检查，目的是在每个点消除并非真正不可或缺的假设，特别是那些会妨碍某些应用的假设。因此实现了在向量空间的概念中用环替代域的可能性，并且创建模的一般概念，同时处理这些空间、阿贝尔的群，特别是Kronecker、Weierstrass、Dedekind、Steinitz 甚至群已经与算子一起研究了模，并且对于例将 Jordan-Hölder 定理应用于它们；同时，通过区分权利模和左模，向非交换律过渡，美国人学校（Wedderburn，Dickson），特别是德国人学校（E.Noether，Artin）对代数理论的现代发展起到了引领作用。

最后，最近出现了我们必须在这里谈论的最后一个趋势：包含在Dedekind的定理中的胚胎（[79]，第III，p. 29）根据该趋势，交换域的任意自同构总是线性无关的，用Artin [7a]进行伽罗瓦理论的线性化，然后很快推广到交换域的任意扩张，甚至推广到非交换域的扩张（[172 d]，第VII章）。