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5. 多项式和交换域。

交换域理论以及与其密切相关的多项式理论直接源自直到十九世纪中叶代数方程的经典代数：解的主要对象以及与之等效的几何构造问题的主要对象。

一旦找到次数$> 1$的代数方程的解，人们就会发现自己遇到了一种全新的计算困难，通过从给定量开始的“理性”计算不可能完成对未知数的确定。这个困难一定在很早的阶段就已经被看到了：巴比伦人最重要的贡献之一是他们知道如何将二次和双二次方程的约化解转化为一个新的代数运算，提取平方根（正如在《数学》中发现的以这种方式求解的众多数值方程所证明的那样）我们收到的文本（[232]，第 183-193 页））。就形式计算而言，古代解决代数方程的问题永远不会比这点更进一步；古典时代的希腊人极限自己确实在几何项中再次找到了巴比伦的公式，并且他们在代数形式中的使用并未得到之前英雄（100之后J.C.）和丢番图的证实。

希腊人却在一个完全不同的方向上取得了决定性的进步。关于巴比伦人构想和计算非平方整数的平方根的信息，我们知之甚少；在我们收到的有关这个问题的罕见文本中的$^1$，他们似乎对相当粗略的近似方法感到满意（[232]，第33-38页）。毕达哥拉斯学派的学校严格地确定了可通约量的概念，并附加了准宗教的特征标，但不能持有这种点的观点；并且可能正是由于多次尝试将$\sqrt{2}$表达为有理数而失败，才导致他们最终证明了这个数是无理数。$^2$

$^1$ 在巴比伦文本中的所有二次和双二次方程例中，总是选择给定的量，以便根式始终适用于平方。

$^2$ 最近的一位作者提出了巧妙的注，即毕达哥拉斯学派（毕达哥拉斯学派的神秘符号之一）所知的正星五边形的构造立即导致$\sqrt{5}$的非理性证明，并提出

我们会在其他地方（cf.p. 148）说这个标志着数学史上一个重大转折点的发现如何对希腊人中的“数”概念产生了深刻的反应，并导致他们创造了纯几何特征标的代数，从而在其中找到了一种表示（或者可能是证明）的方法。 “存在”）不可通约的比率，他们拒绝将其视为数。最常见的是，代数问题被它们简化为适当选择的两条辅助平面曲线的交，或者简化为此类交的多个连续确定。后来的传统几乎没有什么权威，所以对这些注定要经历漫长而辉煌的职业生涯的构造进行了首次分类，这可以追溯到柏拉图：出于比数学更哲学的原因，他似乎将所谓的“通过尺子和圆规”的构造放在一边，也就是说，那些除了直线和圆之外没有辅助曲线的分类。无论如何，欧几里得在他的元素[107]中，极限自己专门以这种方式处理问题可溶（但没有用特定的名称来表征它们）；毫无疑问，这种情况对于将接下来几个世纪的数学家的注意力集中在这些问题上有很大的贡献。但我们今天知道，可以“用尺子和圆规”求解的代数方程是非常特殊的型；特别是，第三个次数（超过有理数的域）的不可约方程不能用这种方式解决，希腊人很早就在第三个次数的问题上遇到了这个问题，这些方程至今仍然著名，例如立方体的复制（$x^3 = 2$的解）和角的三等分；另一方面，圆的平方使它们面临超越的问题。我们看到假设（不幸的是没有任何文本支持）毕达哥拉斯学派正是通过这种方式发现了非理性数[323]。

3 与此原理相关，“平面局部性”（直线和圆）、“实体局部性”（由固体平面截面获得的圆锥曲线，圆锥）中的平面曲线分类也归因于柏拉图，所有其他曲线都以“τόποι γραμμικοί”的名称分组。看到这种分类对笛卡尔的影响是很奇怪的，笛卡尔在他的《几何学》中，秩在同一“流派”中，次数$2n - 1$和次数$2n$的方程，毫无疑问，因为次数1或2的方程是由“平面局部性”的交和次数 3 或 4 by 交的“固体地点”（[85 a]，v. VI，第 392-393 页）。

4 直线和圆（或两个圆）的交的点的确定相当于第二个次数的方程的解，其系数是所考虑的直线和圆（或两个圆）的方程的有理数函数。很容易得出结论，从给定的点开始“通过尺子和圆规”构造的点的坐标位于有理数的域$\mathbf{Q}$的扩张$L$，可得如下：如果$K$是通过邻接得到的域对于给定点的坐标$\mathbf{Q}$，$K$和$L$之间存在中间域的递增序列$(L_i)_{0 \leq i \leq n}$，满足条件$K = L_0, L = L_n, [L_i : L_{i-1}] = 2$为$1 \leq i \leq n$。由$n$上的归纳，推导出$L$生成的伽罗瓦扩张$N$超过$K$的次数为2的幂；反之，有一个可以证明，如果满足这个条件，则存在$K$和$L$之间的域中间的序列$(L_i)$，具有前面的性质，并且由此可知问题可以被直尺和圆规溶解（cf. [312]，第 351-366 页）。

他们在阶中为了解决这些问题，引入了许多代数（圆锥曲线、戴奥克勒斯西索曲线、尼科梅德贝壳曲线）或超越曲线（迪诺斯特拉图二次曲线、阿基米德螺线）；这不可能不引导他们对这些不同的曲线进行自主研究，从而为解析几何、代数几何和无穷小演算的未来发展铺平道路。但这些方法无助于在代数方程解方面取得任何进展，$^5$而唯一对这个问题做出了有价值的贡献并对中世纪和文艺复兴时期的代数学家产生持久影响的古代著作是欧几里得的元素的第X书[107]；在这本书中（一些历史学家会把泰泰德的主要成果追溯到这本书），他考虑了由几个部首组合获得的表达式，例如$\sqrt{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$（$a$和$b$有理数），给出了条件，在这些表达式下这些表达式是无理数，类将它们分为许多类别（他表明它们是不同的），并研究了代数关系在这些不同的无理数之间，比如我们今天写的那些

整体以通常的几何语言*元素*来表达，这使得阐述显得格外沉重和尴尬。

之后古典希腊数学的衰落，代数方程的概念被修改。毫无疑问，在整个古典时期，希腊人都拥有平方根的无限近似值方法，但不幸的是，我们对此知之甚少。$^6$ 与印度教徒、阿拉伯人和他们在中世纪的西方模仿者一起，提取了所有阶中的根变成运算，它往往被认为是与代数的有理数运算相同的基的基本原理，并且像后者一样，用以下符号表示：

$^5$ 由于缺乏易于掌握的代数演算，希腊人中没有发现任何痕迹试图对他们不知道如何用尺子和指南针解决的问题进行分类：阿拉伯人是第一个对型中的约化许多问题（对于例构造）具有 7 条边和 9 条边的正多边形）到第三个次数的方程。

$^6$对于例，阿基米德的方法近似计算数$\pi$需要几个平方根的知识，才能得到相当好的近似值，但我们不知道阿基米德是如何获得这些值的。 $\sqrt{2}$ 的近似值方法将数的展开作为“连分数”，可以从士麦那席恩 (Theon of Smyrna) 的文本（第三世纪之后 J. C.）中得知（在几何形式中），但可能可以追溯到第一个毕达哥拉斯学派。至于方法的不定近似平方根仍在我们今天的基础教学中使用，它没有得到亚历山大的之前席恩（第四世纪之后J.C。）的证明，甚至虽然毫无疑问也已经知道了托勒密。 注最后，人们在 Hero（大约 100 之后 J. C.）中找到了立方体根的近似计算[103]。

计算变得越来越容易管理。$^7$第二个次数的方程理论，在整个中世纪期间得到完善（根的数，负根，不可能性的情况，双根），以及双二次方程的理论，给出了模型公式代表“根式”方程的解，几个世纪以来，代数学家们将尝试从中复制类似的公式代表更高次数的方程解，首先是第三次次数的方程。比萨的列奥纳多，十三世纪阿拉伯科学向西方的主要介绍者，认识到无论如何，欧几里得在他的第十本书中分类的无理数不能用于此目的（一个新的不可能性的证明，在一个理论中，包含这么多），我们看到他已经尝试用立方体根做类似的计算，得到关系比如

类似于欧几里得的公式代表平方根（除了之前的例之外，在阿拉伯人中也发现了）。但三个世纪的徒劳努力仍将过去之前，西庇阿·德尔·费罗 (Scipio del Ferro) 在十六世纪初，终于成功，对于等式$x^3 + ax = b$，获得解公式$^8$

我们不能在这里描述了这一耸人听闻的发现的风景如画的一面——它一方面引发了塔尔塔利亚，另一方面卡丹和他的学校之间的争吵——也描述了作为主角的学者们通常吸引人的人物。但我们必须注在卡丹和他的学生手中，方程理论取得了决定性的进展。卡丹比大多数同时代人更不反感使用负数，因此观察到第三个次数的方程可能有三个根，而双二次方程有四个根（[50]，v.IV，p. 259），并且他注认为和 $x^3 + bx = ax^2 + c$的三个根（他知道如何消除$x^2$中的项的方程式）始终等于$a$（*同上。*）。毫无疑问，在这个关系和他将军特征标的直觉指导下，他有了重数根的概念的初步想法；最重要的是，他有勇气（并非没有演讲准备）正式使用否定数的表达式包含平方根来表达计算。他很可能是因为这样的表达方式自然地出现在

$^7$ 当$a$是整数（不是精确的$n$第幂）时，$\sqrt[n]{a}$的非理性没有被提及或证明之前 Stifel（十六世纪）；后者的证明（[298]，p. 103）无论如何都是从欧几里得的$n = 2$复制而来，而且这种简单的概括不太可能没有被注意到之前。

$^8$ 如果我们将 $x = y + z$ 与条件 $yz = -a/3$ 放在一起，我们得到 $y^3 + z^3 = b$ 和 $y^3 z^3 = -(a/3)^3$，从中我们得到 $y^3$ 和 $z^3$。

当 $(\frac{b}{2})^2 + (\frac{a}{3})^3 < 0$ 时使用公式 (1)（一种称为“不可约”的情况，卡丹已经认识到存在三个实根）；无论如何，这在他的弟子 R. Bombelli 身上清晰可见，他在他的代数 ([28 a], p. 293) 中证明了关系

并注意明确给出形式中复数的计算规则，这非常接近现代的阐述。$^9$

最后，已经是 1545 年，另一个卡丹的学生，L。法拉利，借助第三次次数的辅助方程，成功解出了第四次次数的一般方程。$^{10}$

之后如此迅速的进步，接下来的时期，直到十八世纪中叶，只不过是发展了意大利人学校引入的新思想。由于它给代数记号带来的本质进步，Viète可以以通用方式表达代数方程的系数和根之间的关系，至少当根均为正$^{11}$时（[319]，p. 158）。 Bolder，A. Girard [129]毫不犹豫地肯定（当然没有证明）次数$n$的方程恰好有$n$根，在条件上计算了“不可能的根”，每个方程都有其次数重数，以及 Viète 给出的这些根满足关系；他还首次获得了和的幂的根直到指数 4 的表达式。

但十七世纪的精神转向了其他方向，只是作为间接的推论，代数才从解析几何和无穷小演算的新发现中获得了一些好处。因此，笛卡尔用于获得代数曲线切线 (cf. p. 178) 的方法与代数方程根的重数的判据相关联，这是由他的弟子Hudde ([85 b], v. I, pp. 433 和507-509）。毫无疑问，笛卡尔的影响也使我们必须回去

$^9$ Bombelli（[28 a]，第 169 和 190 页）将复数视为“线性组合”，具有四个基元素的正系数：“piu”（+1）、“meno”（-1）、“piu de meno”（+i）和“meno de meno”（-i）；他特别指出，作为一个公理，“piu”和“piu de meno”不能相加，这是线性独立性概念的首次出现。

$^{10}$ 方程简化为形式 $x^4 = ax^2 + bx + c$、数 $z$ 确定，使得方程

$^{11}$ Viète，一位古人的狂热崇拜者，系统地避免在他的论点中引入否定的数；有时，当其中一些系数为负时，他仍然能够用他的语言表达系数之间的关系和根；对于例，如果方程$x^3 + b = ax$有两个正数根$x_1, x_2 (a > 0, b > 0)$，Viète显示$x_1^2 + x_2^2 + x_1 x_2 = a$和$x_1 x_2 (x_1 + x_2) = b$（[319]，p. 106）。

代数函数和超越函数之间的区别，与他在《几何》中介绍的“几何”曲线和“机械”曲线类似（cf.第176页和第193页）。无论如何，这种区别在 J. Gregory 那里是非常清楚的，他在 1667 年甚至试图证明扇形的面积不能是弦和半径的代数函数 ([136 a]; cf. [155])。 “先验”一词出自莱布尼茨，他在整个职业生涯中从未停止对这些分类问题感兴趣，并且在大约 1682 年，他发现了格雷戈里所寻求的结果的简单证明，通过证明发现$\sin x$不能是$x$的代数函数（[198 a], v. V, pp. 97-98).12 与他的朋友 Tschirnhaus 一起，他是当时唯一仍然对代数方程“根式”的问题或解感兴趣的数学家之一。在他的早期阶段，我们看到他研究第三次次数方程的“不可约情况”，并说服自己（实际上没有足够的证明），在这种情况下不可能摆脱公式或解的虚数（[198d]，第547-564页）。 At about the same time, he attacks also without success 解 by radicals of the equation of the 5th 次数;后来，当 Tschirnhaus 假装通过形式 $y = P(x)$ 的变换使方程的所有项消失（除了两个极端之外）已经解决了问题时，其中 $P$ 是适当选择的第四次次数的多项式，莱布尼茨立即意识到方程确定 the coefficients of $P(x)$ are of 次数 $> 5$, and judges that 方法 is destined for failure ([198 d], pp. 402-403).

看来正是新的数学分析的需要，才让代数逐渐恢复了兴趣。由莱布尼茨和约翰·伯努利完成的有理函数的积分，以及与之密切相关的虚数对数问题，是深化虚数数的演算的机会，也是回答多项式分解转化为第一个次数的因子问题的契机（“基础数学”） 定理的代数"）。13 从 18 世纪初开始，二项式方程 $x^n - 1 = 0$ 的解被 Cotes 和 de Moivre 简化为

12 莱布尼茨给出的“超越量”的定义 ([198 a], v. V，p. 228；另见同上。，p. 120）似乎更适用于函数而不是数（用现代语言来说，他所做的约化定义超越元素超过域是通过邻接理性数的域获得的给定数从问题);然而，他很可能对先验的数有相当清晰的概念（甚至虽然，后者似乎在十八世纪末也没有以精确的方式之前定义）；无论如何，他明确地观察到，超越的函数可以将有理值作为变量的有理值，因此他对$\sin x$的超越的证明不足以证明$\pi$是无理的（[198a] v. V，第 97 页和 124-126 页）。 13 当莱布尼茨（尽管是他那个时代的数学家中最精通这些技术的人之一）表达自己好像不可能将 $x^4 + 1$ 分解为第二个实数因子时，我们可以充分认识到复数的演算仍处于初级状态。 次数（[198a]，v. V，第 359-360 页）。

将圆分成$n$等于部分；在阶中要获得其根的“根式”表达式，因此只要知道当$n$是奇素数时如何做到这一点就足够了，而de Moivre注则代换$y = x + \frac{1}{x}$约化问题然后到解次数$(n - 1)/2$方程的“根式”。就“基本的定理”而言，之后“激进分子”在一般解中的反复挫折（包括欧拉的几次尝试（[108a]，（1），v.VI，第1-19页和170-196）），开始寻求证明 $a$ 先验，不使用显式公式来表示解。不详细讨论所提出的方法（最终会得到拉格朗日和高斯的证明；cf.p. 91和161），它适合这里的注点，从中可以看到问题在十八世纪中叶：假设（没有除了一种模糊的普遍性感觉之外，毫无疑问，正如 A. Girard 一样，从系数和根之间存在关系），次数 $n$ 的方程总是有 $n$“理想”根，用它可以计算与数，*不知道它们是数*（实数还是复数）；需要证明的是（如果需要的话，可以对理想根进行计算）这些根中至少有一个是普通的复数.$^{14}$

在这个有缺陷的形式中，人们认识到这是“形式伴随”一般思想的第一个胚胎，尽管高斯（[124a]，v.III，p. 1）反对，它仍将成为交换域现代理论的基。

随着拉格朗日 ([191], v. III, 第 205-421 页) 和范德蒙德 (Vandermonde) [315] 的基本原理回忆录的提出，1770 年见证了代数方程理论历史上一个新的、决定性的时期的开启。对于解公式的或多或少幸运的尝试的经验主义来说，直到那时，这些尝试一直毫无争议地占据主导地位，如前所述的问题和易于解决的方法的系统数学分析将随之而来，数学分析将在六十年内导致伽罗瓦的最终结果。拉格朗日和范德蒙德都是从次数$\leq 4$方程的解在公式中引入倍数根式确定的歧义性出发；这一事实引起了欧拉的注意（[108 a], (1), v. VI, 1-19 页），他除其他外还表明，在 del Ferro 的公式中，人们必须将出现在那里的根式的测定联系起来，以获得 3 根而不是 9.$^{15}$ 拉格朗日注 del Ferro 的公式中的每个三次根式都可以写成形式 $\frac{1}{3}(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3)$，其中 $\omega$ 是 1 的根立方，$x_1, x_2, x_3$ 是所讨论方程的三个根，取于某个阶，他做出了基本观察：三个根中的函数$(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3)$只能对三个根中的所有*置换*采取*两个*不同的值，这解释了该等式中方法对于解的*优先*成功。类似的数学分析

$^{14}$ 必须指出的是，十八世纪的数学家所说的“虚数根”往往只是上面的“理想”根，他们试图证明这些根是形式$a + b \sqrt{-1}$（参见例[191]，v.1）。 III、p. 479）。

$^{15}$ 见p. 72脚注：必须有$yz = -a/3$。

解方法的第四个次数的方程导致他得到四个根中的函数$x_1 x_2 + x_3 x_4$，对于根的所有置换只需要三个不同的值，并且为推论第三个次数的方程的根其系数是给定方程的有理数函数；拉格朗日说，$^{16}$ 这些事实构成了“真正的原理，并且可以说，第三个和第四个方程的解的形而上学$^{17}$ 次数”（[191]，v.III，p. 357）。依靠这些例，他建议一般地研究，对于值$^{18}$的次数$n$、数$\nu$的方程，$n$根的有理函数$V$当它们被任意排列时可以取；实际上，他由此开创了群和域的理论（这个术语仍然紧密地适应了方程论），其中他已经通过使用与今天使用的相同的原理获得了几个基本结果。对于例，他通过今天用于证明的论证，证明数$\nu$是$n!$的除子，有限群除阶子群阶群。更值得注意的是定理，他证明，如果$V_1$和$V_2$是根的两个有理函数，使得$V_1$和$V_2$在相同的置换下不变，那么它们中的每一个都是另一个的有理数函数以及方程的系数（伽罗瓦的定理的特殊情况，将伽罗瓦扩张的子扩展表征为其伽罗瓦群的不变量的域）：“这个问题”，他说，“在我看来，是方程理论中最重要的一个，以及我们将给出的一般解因为它将成为对代数的部分提出新的认识的手段”（[191]，v. III，p. 374）。

在拉格朗日的心目中，所有这些研究自然是代数方程解的可能方法的数学分析的预备，通过连续减少到较小次数的方程，如他所示，这样的方法与有理数函数的形成有关根在根的置换下取少于$n$值。毫无疑问，在他对第三次次数方程的结果的指导下，他一般性地引入了“拉格朗日解析剂”$y_k = \sum_{h=1}^n \omega_k^h x_h$，其中$\omega_k$是单位元（$1 \leq k \leq n$）的$n$第根，清楚地表明了这些$n$的知识是如何数产生根 $x_k$，并且通常寻找由$y_k$ 满足的方程的次数；他证明对于例，如果 $n$ 是素数，则 $y_k$ 是

$^{16}$ 韦林在同年 1770 年发表的《代数沉思录》中也提出了这一观察，但他远未得出与拉格朗日相同的推论。 $^{17}$ 这个经常出自十八世纪作家笔下的字，我们可以看到对结构现代概念的第一直觉（仍然相当模糊）。 $^{18}$拉格朗日已经区分了从$V$开始到不定式$x_i (1 \leq i \leq n)$的置换获得的各种有理分式，以及当$x_i$是具有给定数值的代数方程的根时，这些分数所取的各种值系数；但在他的阐述中，关于这个主题仍然存在一定的模糊性，只有在伽罗瓦那里，这种区别才变得更加清晰。

次数 $n - 1$ 方程的根，其系数是次数 $(n - 2)!$ 方程的根有理数函数，其系数用给定方程的系数的项有理数表示。 “如果I没记错的话”，他结论，“方程解的真实原理，以及到达那里的最正确的数学分析；一切约化，可以看出，都是一种组合计算，通过这种计算，人们可以先验地找到应该预期的结果” （[191]，第 III、p. 403）。

至于范德蒙德的回忆录，独立于拉格朗日的回忆录，它在许多点处满足了后者，特别是就在根的置换下寻求尽可能少的不同值寻求根的有理函数的想法而言，$^{19}$以及“拉格朗日”的研究解决方案”，他也为此目的介绍了这一点。 他的工作远没有拉格朗日的清晰和概括；然而，在点上，它显然走得更远，在应用中，与 $n$ 奇素数的圆分割方程 $x^n - 1 = 0$ 的想法相同。 虽然拉格朗日很乐意提醒读者，这个方程约化到次数 $m = (n - 1)/2$ 的方程，具有有理系数，但在 $n \geq 11$ 时不寻求求解它，范德蒙德指出，该方程的拉格朗日解方程的第 $m$ 幂是有理数，因为各个之间存在关系 $x^n - 1 = 0$中的根；但他极限自己检查了断言在案例$n = 11$中的合理性，而没有以一般的方式证明它的合理性。

仅仅30年后，范德蒙德公布的结果才被C充分证明。 F。 高斯。$^{20}$他在方程$x^n - 1 = 0$（$n$奇素数）上的决定性结果符合他令人难忘的算术研究的一般程序（[124a]，v. I，第 413 页 ff.），并以一种非常特殊的方式说明他对处理我们现在所说的循环群理论的掌握。 之后证明了多项式$\Phi_n(x) = (x^n - 1)/(x - 1)$对于$n$奇素数是不可约的，$^{21}$有了将其$n - 1$根写成形式$\zeta^{g^k} = \zeta_k (0 \leq k \leq n - 2)$的想法，其中$g$是同余的原语根 $z^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}$）（用现代语言来说，这相当于公开了方程$\Phi_n(x) = 0$的群$\Gamma$是循环的事实）。 对于$n - 1$的每个除子$e$，他放入对应$f = (n - 1)/e$“句点”$\eta_\nu = \xi_\nu + \xi_{\nu + f} + \xi_{\nu + 2f} + \ldots + \xi_{\nu + (e-1)f} (1 \leq \nu \leq f)$并显示

$^{19}$ 在这个研究（他实际上只是为第 5 次次数方程发展而来）首次出现了不原性的概念（[315]，第 390-391 页）。将拉格朗日和范德蒙德的方法以及他们同时期关于行列式的工作结合在一起自然是很诱人的，这一定使置换的想法以及与之相关的所有内容对他们来说很熟悉

$^{20}$ 高斯在他的论文中没有引用范德蒙德，但他很可能会读过后者的回忆录 (cf. [124 a], v. X_2, Abh. 4., p. 58)。

不可约多项式（具有有理系数）的$^{21}$概念可以追溯到十七世纪，牛顿和莱布尼茨已经集合推出了程序，允许（至少在理论上）确定具有显式有理系数的多项式的不可约因子（[198a]，v.IV，第329页和355）；但是高斯的证明是不可约性的第一个证明，它适用于任意高次数的多项式的整个集合。

substantially that the linear combinations with rational coefficients of the $\eta_\nu$ make up a field, generated by any one of the $f$ periods $\eta_\nu$ and of degree $f$ over the field of rational numbers (this field corresponds naturally to the subgroup of $\Gamma$ of order $e$). We cannot go into the details of his analysis here, and of the important arithmetical consequences that follow from it; let us notice only that it gives him in particular the famous theorem on the possibility of constructing "by ruler and compass" the polygons having a number of sides equal to a prime number of the form $2^{2^k} + 1$.$^{22}$ As for the solution by radicals of the equation $\Phi_n(x) = 0$, it follows easily from the theory of periods, applied to the $f$th power of a Lagrange resolvant $\sum_{\nu=0}^{f-1} \omega^\nu \eta_\nu$ (where $\omega^f = 1$).$^{23}$

他的同胞鲁菲尼 [265] 的研究直接与拉格朗日联系在一起，与论文研究同时期；再次讨论拉格朗日留下的问题点，他提出作为目标证明，第五次数的“一般”方程$^{24}$的“根式”不可能实现解。鲁菲尼的证明，冗长晦涩，虽经多次修改，仍不完整；但它已经非常接近阿贝尔后来获得的证明（在原理中正确）。$^{25}$他的主要兴趣尤其在于引入代换的计算和群理论的第一个概念，鲁菲尼发展证明不存在5的函数当根任意排列时，方程取大于2且小于5值的根。

我们已经说过（参见p. 51）群或置换理论的第一个草图是如何在几年后被柯西发展和系统化的。但是，如果就代换而言，发展拉格朗日思想所必需的概念已经一点一点地澄清了，那么仍然有必要同样清楚地阐述域理论的第一个原理。这正是鲁菲尼所缺少的，也是阿贝尔所缺少的。

$^{22}$高斯明确地确认证明这一事实，即这种情况是唯一可以通过尺子和圆规构造边长为奇数素数数的多边形（[124a]，v.I，p. 462）；但这个证明从未发表过，也没有在他的论文中找到。 $^{23}$ 其实，如果我们只想证明方程可被根式解，我们可以极限自己取$e = 1$，并用归纳论证$n$。 $^{24}$ 十九世纪的数学家们认为，本质上是一个系数在域有理数上不确定的方程。但现代的不确定性概念在十九世纪最后几年之前并没有出现太多；在此之前，“多项式”或“有理数函数”的意思是复变量的函数。 “一般”代数方程被认为是一个方程，其系数是独立的复变量，其中根是这些变量的“代数函数”——如果赋予字“函数”其实际含义，概念的事实完全没有精确的含义。当然，关于这些“代数函数”的论点总体上本质上是正确的，这可以通过将它们翻译成现代代数语言来验证。 $^{25}$ Ruffini 的论文在[43]中得到了非常仔细的分析。

伽罗瓦要做的是，在代数方程的解的问题的最后阶段。

阿贝尔在他短暂的一生中，始终没有不关心这个问题。 当他还是个孩子的时候，他就相信自己已经通过五次方次数的根式得到了解的公式。 后来意识到自己的错误后，他并没有休息，直到他成功地证明了证明并不存在这样的公式（[1]，v.1）。 I，p. 66）。 但他并没有就此止步。 虽然他的模拟器 Jacobi 作为分析者发展了椭圆函数理论，但代数点的观点主导了阿贝尔在这个问题上的工作，其中心是椭圆函数的除法方程组理论 ([1], v. I，第 265、377 页和 passim）。 因此，他获得了根式可解方程的新型，该方程是从高斯的圆分割方程解复制而来的方法（[1]，v. I，第 310 和 358 页）；26 由此他提出了“阿贝尔的”方程的概念，为此他在著名的回忆录中证明了自由基的溶解度（[1]，v. I, p. 478); it is on this occasion that he defines in a precise way the notion of a polynomial irreducible over a given field (the field generated by the coefficients of the equation that he is studying).27 Finally death laid him low in 1829, just as he attacks the general problem of the characterisation of all the equations soluble by radicals, and having just communicated to Crelle and Legendre results already very near to those of Galois ([1], v. II，第 219-243、269-270 和 279 页）。

三年后，结构的加冕被保留给了他[123]。与 Abel 一样，但以更清晰的方式，他首先定义（最多术语）由给定数、概念和伴随生成的域数的成员资格，以及给定域上的不可约多项式。给定一个方程 $F(x) = 0$，没有倍数根，系数在给定的域 $K$，他连续证明“一个人总是可以构造函数 $V$ 的根，使得没有一个值是通过以所有可能的方式排列此函数根而获得，是相等的”，这个函数“享受性质，所提出方程的所有根都可以有理地表达为$V$的函数”，并且$V, V', V''$，...是$V$满足的不可约方程的根，“如果$a = f(V)$是根

26 高斯已经在论文中指出了将他的方法推广到双纽线除法方程的可能性 ([124 a], v. I，p. 413），并在今天仅发布的注中开发了除以 5 的特殊情况（[124 a]，v. X，第 161-162 页和 517 页）。 正如高斯喜欢在他的著作中散播的许多其他简短而神秘的迹象一样，《专题论文集》中的句子生动地震撼了他同时代的人的心灵。我们知道，这对煽动阿贝尔和雅可比在他们的研究关于这个问题的问题上起到了不小的作用。 27 甚至域的概念（更一般地说，集合的集合）对于数学思维之前康托尔和戴德金来说也或多或少是陌生的。 阿贝尔和伽罗瓦的“基域”中的定义元素是所有可以理性地表达为给定量的函数的那些，而不考虑明确考虑集合这些元素形式。

所提出的方程，$f(V')$也将是所提出方程的根”（[123]，第47-51页）；因此，用现代语言，他证明了$V$，以及它的任何一个共轭超过$K$，生成域$N$ $F$ 中的根。 然后将$F$的定义群$\Gamma$代入$V$得到的根$x_i$置换集合，将$x_i$的有理式表示为$V$中的函数，$V$中的共轭中的任意一个；通过性质，他立即得到了$K$的元素在$\Gamma$的每个置换下不变的基本特征（[123]，p. 51）。 接下来他证明，如果另一个多项式根$L$$N$包含域，$N$群超过$L$是$\Gamma$正规子群 （他在此介绍概念点）（[123]，p. 175）。 From there he deduces finally the criterion of solubility of an equation by radicals, by means of an argument of which this is the essential part: assuming that the base field $K$ contains all the roots of unity, there must exist by hypothesis an increasing sequence $(K_i)_{0 \leq i \leq m}$ of fields intermediate between $K$ and $N$, with $K_0 = K, K_m = N$, the field $K_{i+1}$ being obtained by adjoining to $K_i$ all the roots of a binomial equation $x^{n_i} - a_i = 0$ (with $a_i \in K_i$). 因此，在子群的$\Gamma$递减序列$(\Gamma_i)$中，$\Gamma_0 = \Gamma, \Gamma_m = e$（中性元素），$\Gamma_{i+1}$在$\Gamma_i$中正常，商群$\Gamma_i / \Gamma_{i+1}$是循环的（一种情况，有人说群 $\Gamma$ 可溶）。 相反，如果是这样，则使用拉格朗日解析剂表明 $K_{i+1}$ 是通过将二项式方程的所有根与 $K_i$ 邻接而获得的，因此方程 $F(x) = 0$ 可被根式解。$^{28}$ 解不可能被“一般”方程的根式解次数 $n > 4$ 则推论，该方程的群 $\Gamma$ 同构于对称群 $S_n$ 不可解。

从十九世纪中叶开始，正如我们已经说过的（cf.p. 53），代数学家大大扩展了他们的研究域，直到那时几乎完全局限于方程的研究。根据伽罗瓦的发现，“根据根式”的问题或解似乎只是无理数分类的一般问题的一个特例，相当人为的。正是后者，在整个十九世纪末，将受到多方面的攻击，许多不同的结果将逐渐积累起来，为斯坦尼茨的综合铺平道路。

$^{28}$ If $K$ does not contain all the roots of unity, and if $E$ is the field obtained by adjoining to $K$ all these roots, $E \cap N$ is an abelian extension of $K$; from which one deduces easily (by using the structure of finite abelian groups) that, in order for the group of $N$ over $K$ to be soluble, it is necessary and sufficient that the group of $E(N)$ over $E$ should be so. 考虑到单位元的根可以“通过根式”表达，我们可以看出伽罗瓦准则独立于关于数 $K$ 域的所有假设（并且对于特征 0 的所有域更普遍有效）。 事实上，伽罗瓦并没有对$K$做任何简化假设，而是通过归纳论证了依次邻接$K$的部首的阶（[123]，第60-61页）。

首先，就代数无理数而言，伽罗瓦理论提供了基本的分类原理，将代数方程的研究简化为对其群的研究。 其实主要是置换群的理论，这里不用讲（cf.p. 53），纯粹的代数，是当时研究的主要对象。 代数域理论的其他进展同时来自于数理论和代数几何的发展。 这一进展主要与阐述理论的方式有关，对于部分来说，主要归功于Dedekind [79]，他引入了域和环、$^{29}$的概念，并（与他在超复数系统上的研究相关）系统地发展了扩张理论 ([79], v. III；第 33 页及以下）。 他还认为伽罗瓦群是由扩张的自同构组成的，而不再只是一个方程的置换或根的群；他证明了（对于数的域）定理关于自同构线性独立性的基本原理（[79​​]，v. III，p. 29）以及伽罗瓦扩张正常的基的存在性（[79]，v. II，p. 433）。 最后，他解决了无限次数的代数扩张的问题，并注意到伽罗瓦理论不能按其现状应用于它（就子扩展而言，伽罗瓦群的任意子群并不总是与扩张的群相同）；凭借大胆的直觉，他已经开始将伽罗瓦群视为拓扑群$^{30}$——这一想法只有通过克鲁尔于1928年提出的伽罗瓦扩张无限次数理论才能实现[187d]。

与元素的概念演化平行，域的超越变得精确。超越数的存在由Liouville于1844年首次通过显式的构造，基于丢番图近似理论被证明[204c]；康托 (Cantor) 在 1874 年，使用对集合的幂的简单考虑，给出了另一个“非建设性”证明 [47]；最后，埃尔米特在1873年证明了$e$的超越性，林德曼在1882年证明了方法对$\pi$的超越性，这与埃尔米特的类似，从而为古老的圆的平方的问题画上了最后的印记。$^{31}$

至于超越数在代数计算中的作用，克罗内克在1882年观察到，如果$x$超越域$K$，则域$K(x)$同构于有理分式的域 $K(X)$（[186a]，v.II，p. 253）。除了不定式的伴随之外，他还把域作为他阐述代数理论数的基石（[186a]，v.II，第245-387页）。另一方面，戴德金德和韦伯在同一年[80]展示了算术方法如何帮助集合提升代数曲线理论。由此可见，算术之间在几个方向上出现了类比：

$^{29}$ 字 “域”来自戴德金本人； “环”是由希尔伯特引入的（戴德金称环“阶”）。 $^{30}$“……这些置换的集合在某种意义上构成了连续的重数，我们在这里不会更深入地讨论这个问题”（[79]，v.II，p. 288）。 $^{31}$ 其中定理的简单证明可以在[163 a]，v. I，p. 1 中找到例。

和代数几何，这对双方来说都将是非常富有成效的。

在所有这些研究、域中，出现的都是古典数学意义上的“具体”元素——复变量的（复数）数或函数。$^{32}$但是克罗内克在1882年就已经充分考虑到了这一事实（高斯和伽罗瓦隐约感觉到）： “不确定性”只在他的基元素或代数理论中发挥作用，而不是数学分析意义上的变量（[186 a]，v.II，第339-340页）； 1887 年，他提出了这个想法，并与一个庞大的计划联系在一起，该计划的目的无非是通过拒绝所有不能在整数上简化为代数运算来重塑所有数学。正是在这个场合，克罗内克采用了柯西 ([56 a], (1), v. X, 第 312 和 351 页）的思想，柯西将复数的域 $\mathbf{C}$ 定义为余数 $\mathbf{R}[X]/(X^2 + 1)$ 的域，Kronecker 展示了代数理论如何数完全独立于“代数的基本定理”，甚至独立于实数的理论，代数数（有限次数）的所有域同构于余数$\mathbf{Q}[X]/(f)$的域 （$f$ $\mathbf{Q}$ 上的不可约多项式）（[186 a]，v. III$_1$，第 211-240 页）。正如几年后 H. Weber [327 a] 所指出的，他对域公理化理论进行了初步勾勒，克罗内克的方法实际上适用于所有基域 $K$。韦伯特别指出，可以将$K$域$\mathbf{Z}/(p)$（$p$素数数），从而使同余“模$p$”的演算返回到域理论；后者诞生于十八世纪下半叶，由欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯提出，观察家们并没有错过它与代数方程理论的类比。在发展这个类比时，伽罗瓦（考虑到他的研究关于群理论）毫不犹豫地引入了不可约同余模$p$，$^{33}$的“理想根”，并指出了它的原理性质（[123]，第123页）。 113-127).$^{34}$ 当克罗内克的方法应用于$\mathbf{Z}/(p)$时，再次发现（直到术语）的是呈现

$^{32}$ 与他们的前辈一样，克罗内克、戴德金德和韦伯都不是一个或多个复杂变量的“代数函数”的真正定义概念。在定义相应的黎曼曲面之前，不能实际上是定义正确地是复变数的“代数函数”（在数学分析的意义上），而正是黎曼曲面的定义（通过纯代数方法）才是戴德金和韦伯追求的目标。当然，当“代数函数”的一个定义域作为有理函数的域的抽象代数扩张时，这种明显的恶性循环就消失了：实际上，戴德金和韦伯使用的只是这个定义，这使得他们的结果完全合法。

$^{33}$ 在一份很可能是 1799 年的手稿中，但仅在之后发表了他的死讯，高斯仍然没有引入“理想根”，以相当于形式的方式获得了伽罗瓦结果的部分（[124 a]，第 II，第 175 页）。 212-240，特别是p. 217）。

$^{34}$伽罗瓦充分了解代数计算的形式特征标，毫不犹豫地对例取同余第一个成员的导数，以证明后者不具有倍数“虚数”根（[123]，p. 117）。他特别强调，原语元素的定理对于有限域和数的域一样有效（[123]，p. 117），但没有给出证明。

Serret 和 Dedekind ([79], v. I, p. 40) 已经给出了这些“伽罗瓦虚数”理论。

在世纪之交，除了“抽象域”的所有这些例之外，还添加了Veronese [318]引入的一种新的非常不同的型的域，正式的幂级数的域，以及最重要的$p$-adic亨塞尔的域 [157 f]。正是后者的发现导致斯坦尼茨（正如他明确指出的那样）在一部基础著作[294a]中提出了所有这些理论的抽象概念公共的，这可以被认为是催生了代数的实际概念。他系统地发展了交换域的公理的推论，从而引入了素数域的概念、可分（代数）元素、完美域、定义次数的超越扩张，并最终证明任意域存在代数闭扩张。

近年来，斯坦尼茨的理论在几个重要领域得到了完善。一方面，Artin 的工作突出了伽罗瓦理论的线性特征标 [7a]。另一方面，由 Dedekind ([79], v. II, p. 412) 感知的推导的一般概念（从经典微分演算的形式属性复制），由 Steinitz 在有理分式的域的特例中引入（[294 a]，第 174 页）。 209-212），已成功用于超越扩张的研究（现代代数几何的本质），特别是在可分离性概念的推广中[330 d]。