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7. 交换代数。代数数理论。

《抽象》交换代数是最近的创作，但它的发展除了从关系到孕育它的代数数理论和代数几何之外，无法被理解。

可以毫不夸张地推测，费马声称的著名的“证明”对于$p$奇素数数和$x, y, z$整数$\neq 0$不可能存在方程$x^p + y^p = z^p$，是基于分解

在环$\mathbf{Z}[\zeta]$（其中$\zeta \neq 1$是单位元的$p$第根），并且关于这个环中的整除性的论证，假设它是主要的。 无论如何，我们发现拉格朗日概述了一个类似的论点（[191]，v. II, p. 531);正是通过这种带有不同变体的论证（特别是为了降低方程的次数而改变变量），Euler ([108 a], v. I, p. 488)$^1$ 和高斯 ([124 a], v. II, p.387) 证明 Fermat 的定理对于 $p = 3$，高斯 (loc. cit. 和 Dirichlet ([92], v. I, p. 42) 对于 $p = 5$，狄利克雷方程 $x^{14} + y^{14} = z^{14}$ 的不可能性 ([92], v. I，p. 190）。 最后，在他关于数理论的第一个研究中，库默相信他已经通过这种方式获得了一般的证明，毫无疑问，这个错误（狄利克雷向他指出的）引导了他对分圆域算术的研究，从那里他最终成功地推导出了素数证明的正确版本。 数$p < 100$[188 天]。

从另一个角度出发，1831年高斯对双二次剩余类著名的回忆录，其结果是通过对“高斯整数”的环$\mathbf{Z}[i]$整除性的详细研究推导出来的（[124a]，v. II、p. 109）通过代数数；$^2$的整除性概念的扩张，展示了数的经典问题理论有什么优势，因此毫不奇怪，在1830年至1850年间，该理论成为许多人的研究对象

$^1$ 在他的证明中，欧拉认为$\mathbf{Z}[\sqrt{-3}]$是主要理想环，但事实并非如此；然而，通过考虑$\mathbf{Z}[\sqrt{-3}]$（cf.[288]，p. 190）上的$\mathbf{Z}[\rho]$（$\rho$单位元的立方体根）的领导者可以使他的论点正确。

高斯的$^2$研究关于双纽线的除法和与这条曲线相关的椭圆函数，在他生前未发表，但可以追溯到1800年左右，一定已经让他在那时开始反思算术性质

首先是德国数学家雅可比、狄利克雷和爱森斯坦，稍后是库默和他的学生兼朋友克罗内克。 我们不应该在这里谈论单位理论，过于局限于数理论，该理论的进展很快，爱森斯坦获得了立方域的群或单位的结构，克罗内克获得了分圆域，很快就获得了之前狄利克雷，1846年（[92]，诉。 I，p. 640）证明了一般的定理，埃尔米特几乎凭借自己的能力达到了这一点（[159]，v. I，p. 159）。 看起来更困难的是分解变成素数因子的问题（整个理论的核心）。 Since Lagrange had given examples of numbers of the form $x^2 + Dy^2$ ($x, y, D$ integers) having divisors that are not of the form $m^2 + Dn^2$ ([191], v. II，p. 465），众所周知，一般情况下环$\mathbf{Z}[\sqrt{-D}]$不应是主要理想环，而对于欧拉的鲁莽来说，他的谨慎已经成功了；当狄利克雷对于例证明关系$p^2 - 5q^2 = r^5$（$p, q, r$整数）等价于$x, y$整数的$p + q\sqrt{5} = (x + y\sqrt{5})^5$时，他极限自己在注中指出“有类似的定理对于许多其他素数数 [除 5 之外]”（[92]，v. I，p. 31）。 借助 1831 年高斯的回忆录和爱森斯坦关于立方剩余类 [102 a] 的工作，我们确实对主理想环 $\mathbf{Z}[i]$ 和 $\mathbf{Z}[\rho]$（$\rho = (-1 + i\sqrt{3})/2$，单位元的立方根）的算术进行了一些深入的研究。与有理数整数的理论类比，至少与这些例相比，二次方域的算术与高斯发展的二元二次方形式理论之间的紧密联系是非常明显的；但对于一般情况，缺少“字典”，可以通过简单翻译高斯理论来处理二次域。$^3$

事实上，这个谜团首先被解决的并不是二次域，而是分圆域（并且由于一些原因直到很久以后（cf. p. 98）才清楚地显现出来）。从 1837 年开始，原本是一名分析师的库默开始转向分圆域的算术，这并没有停止让他几乎完全忙碌了 25 年。像他的前辈一样，他研究环$\mathbf{Z}[\zeta]$的整除性，其中$\zeta$是单位元$\neq 1$的$p$第根（$p$奇素数）；他很快发现，也存在不是主要理想环的环，阻碍了算术扩展律的所有进展[188a]，直到1845年，经过8年的努力，曙光终于出现，这要归功于他的“理想数”[188c和]的定义 d]。

库默正在做的约化，用现代语言来说，定义域$\mathbf{Q}[\zeta]$的*估值*：它们与他的“素数理想数”处于双射对应中，因子的“指数”出现在数的“分解”中$x \in \mathbf{Z}[\zeta]$ 正是 $x$ 中的值

环$\mathbf{Z}[i]$的$^3$，这个环除以数在理论中起着非常重要的作用；看看 Jacobi 对此点 ([171], v. VI, p. 275) 的说法，以及高斯论文中提到这些问题的计算 ([124 a], v. II, p. 411；另见 [124 a], v. X_2, pp. 33 ff.)。

相应的估值。 由于$x$的共轭也是属于到$\mathbf{Z}[\zeta]$，并且它们的乘积$N(x)$（$x^4$的“范数”）是有理整数，因此要定义的“素理想因子”也必须是有理素数数的“因子”，并赋予它定义，人们可以将极限自己变为说，它们是素数数$q \in \mathbf{Z}$的“素数理想除子”。 对于$q = p$，库默已经充分证明了[188a]主理想$(1 - \zeta)$是素数，并且它的$(p - 1)$第幂是主理想$(p)$；因此，本案并未引发任何新的问题。 对于 $q \neq p$，Kummer 的想法似乎是通过同余 $\Phi_p(u) \equiv 0 \pmod{q}$ 替换分圆方程 $\Phi_p(z) = 0$，在其他字中将分圆多项式 $\Phi_p(X)$ 分解为域 $\mathbf{F}_q$，并与每个不可约式关联该多项式的因子是“素理想因子”。 一个简单的例子（在注 [188 b] 中明确引用，库默在没有证明的情况下宣布了他的结果）是，其中 $q \equiv 1 \pmod{p}$;如果 $q = mp + 1$ 且 $\gamma \in \mathbf{F}_q$ 是第 $(q - 1)$st 原语根 1，则在 $\mathbf{F}_q[X]$ 中，

从$\gamma^{pm} = 1$开始。然后将每个因子$X - \gamma^{km}$与$q$的“素理想因子”$q_k$联系起来，库默说元素$x \in \mathbf{Z}[\zeta]$，其中$P$是$\mathbf{Q}$上的最小多项式，可被整除$q_k$ 如果在 $\mathbf{F}_q$ 中我们有 $P(\gamma^{km}) = 0$；到和以上，用现代语言，他将商环$\mathbf{Z}[\zeta]/q \mathbf{Z}[\zeta]$写为域的直接乘积，与$\mathbf{F}_q$同构的。对于$q \not\equiv 1 \pmod{p}$，$\mathbf{F}_q[X]$中$\Phi_p(X)$的不可约因子不再是第一个次数，因此需要用$P(X)$“伽罗瓦虚数”中的$X$来代替因子的根 $\Phi_p$在$\mathbf{F}_q[X]$。正如我们今天所说，Kummer 通过经过到 $q$ 的分解域 $K$ 避免了这一困难：如果 $f$ 是最小的整数，使得 $q^f \equiv 1 \pmod{p}$，并且如果有人将$p - 1 = ef$、$K$正是$\mathbf{Q}(\zeta)$的子域，由阶$f$的子群的不变量构建而成（伽罗瓦群的循环阶$p - 1$） $\mathbf{Q}(\zeta)$超过$\mathbf{Q}$；在其他字中，它是$\mathbf{Q}(\zeta)$的唯一子域，即次数$e$超过$\mathbf{Q}$；自《高斯论文集》以来，它就广为人知，由“时期”产生

4 代数数的范数的概念回到拉格朗日：如果$\alpha_i$（$1 \leq i \leq n$）是次数$n$多项式的根，他甚至考虑“范数” 形式”$N(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}) = \prod_{i=1}^n (x_0 + \alpha_i x_1 + \ldots + \alpha_i^{n-1} x_{n-1})$在变量$x_i$中，这无疑是由他对方程解的研究和“拉格朗日解析式”（[191]，v.VII，p. 170）向他建议的。值得注意的是，正是范数的乘法性质导致拉格朗日在二元二次形式上的恒等式，高斯从中提取这些形式的“合成”（[124a]，v.II，p. 522）。另一方面，当代数数理论在1830年左右开始兴起时，常常是在方程$N(x_0, \ldots, x_{n-1}) = \lambda$的解的形式下（特别是在阶中用$\lambda = 1$求单位）或“范数”的研究形式”（也称为“可分解形式”），问题被集合淘汰；即使在最近的工作中，这些特定丢番图方程的性质也得到了有效的利用，特别是在 $p$-adic 数的理论中（Skolem，Chabauty）。

就类的数的确定以及费马定理的证明在各种情况下的应用而言，我们不会讨论Kummer后续关于分圆域工作的历史。 我们只提一下，在 1859 年，他在阶中扩展方法获得（至少部分地）“Kummer 域”$\mathbf{Q}(\zeta, \mu)$ 中的“素数理想数”，其中 $\mu$ 是不可约多项式的根 $P(X) = X^p - \alpha$，与 $\alpha \in \mathbf{Z}[\zeta]$ [188 e]。 有趣的是，Kummer 认为这个问题正是将 $\mathbf{Q}(\zeta, \mu)$ 视为域* 的循环扩张 *$\mathbf{Q}(\zeta)$ 视为“基域”：$^6$，他从 $\mathbf{Z}[\zeta]$ 的“素理想数”$q$ 开始，即他假设除既不是$p$也不是$\alpha$，这一次，他检查了（现代的项）

$^5$ 他只采用了克罗内克论文中的一个论证，涉及形式 $N(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}) = a$ 方程的类解 ([188 a], v. II, p. 25)。另一方面，库默经常提到狄利克雷关于这个型的方程所获得的结果（对于代数数的任意域）；但这些结果尚未发表，也没有在狄利克雷的论文中找到。

$^6$ 在他关于二次形式的回忆录，其系数为高斯整数环中（[92]，v. I，第 533-618 页），狄利克雷在不同的地方被引导考虑

7. 交换代数。代数数理论。

$\mathbf{Q}(\zeta)$ 相应的至 $q$ 估值的残差域 $k$ 中的多项式$\overline{P}(X) = X^p - \overline{\alpha}$（$\overline{\alpha}$ 是$k$ 中$\alpha$ 的典范像）。由于$\mathbf{Q}(\zeta)$是单位元的第$p$第根的域，$\overline{P}$是不可约的$k$，或者第一个次数的因子的乘积。在第一种情况下，Kummer 说 $q$ 在 $\mathbf{Z}[\zeta, \mu]$ 中仍然是素数；在第二个中，他引入了$\mathbf{Z}[\zeta]$的元素$w_i (1 \leq i \leq p)$，其中$k$中的像是$\overline{P}$的根，并且他将每个指标$i$与一个素数因子理想相关联$\tau_i$共$q$； 设定接下来 $W_i(X) = \prod_{j \neq i} (X - w_j)$，他说，对于系数为 $\mathbf{Z}[\zeta]$、$f(\mu)$ 包含因子理想的 $\tau_i$ $m$ 倍的多项式 $f$，如果有

但

对于和向上，他以这种方式获得$\mathbf{Q}(\zeta, \mu)$对$\mathbf{Q}$的未分支的评估，这对于他所考虑的应用来说是足够的。

库默在对费马定理上的研究首次引导他研究特定的域时，有幸遇到了数的偶然情况，这使得这项研究变得更加可行。库默的扩张一般情况的结果提出了巨大的困难，并且花费了多年的努力。

之后克罗内克和戴德金是其中的主角，代数理论数的历史，在库默尔发现后的 40 年里，不乏提醒人们（但幸运的是没有同样尖刻的特征标）180 年前牛顿和莱布尼茨在无穷小发明上的竞争演算。克罗内克（Kronecker）是库默在柏林的学生，后来成为他的同事（正如我们所见，他的论文在库默理论的关键点方面对库默很有用）对“理想数”非常感兴趣，目的是将应用转化为他自己的研究；当我们看到他时，我们钦佩他惊人的洞察力，早在 1853 年（[186 a]，v. IV，p. 10），他就在结构的阿贝尔的扩张的 $\mathbf{Q}$ 阐述了一般的定理，而且，也许更引人注目的是，在接下来的几年里，他创造了复杂乘法理论并发现类域理论的第一个萌芽（[186a]，v.IV，第177-183页和207-217页）。克罗内克写给狄利克雷的一封信； 1857 年（[186 a]，v. V，第 418-421 页）表明，他当时就已经拥有库默理论的概括，此外，库默本人也在其中一篇文章中证实了这一点。

域 $\mathbf{Q}(\sqrt{D}, i)$ 在二次子域 $\mathbf{Q}[\sqrt{D}]$ 上的相对值范数。同样，爱森斯坦在研究单位元的第8个根时，将域视为生成作为$\mathbf{Q}(i)$的二次方扩张，并相对于该子域使用范数（[102 b]， p. 253）。但库默的工作是对“相对域”进行深入算术研究的第一个例。

他自己的著作（[188 e]，p. 57），克罗内克在 1860 年至 1880.7 年间经常在他的回忆录中引用这一理论

但是，尽管此时德国学校或数理论的数学家们都对克罗内克的这项工作一无所知，但克罗内克似乎只是将他的方法的原理传达给了有限的朋友和学生圈子，而当他最终决定将它们发表时，在他1881年关于判别式的回忆录中（[186 a]，v. II，第 193-236 页），尤其是在他 1882 年伟大的“Festschrift”（[186 a]，v. II，第 237-287 页）中，戴德金无法阻止自己表达他的惊讶（[79]，第 III， p. 427），想象出与他听到的回声完全不同的程序（[79]，第III，p. 287）。此外，克罗内克远未拥有戴德金那样的次数显着的阐述和清晰的天赋，因此毫不奇怪，它主要是后者的方法，已于1871年发表，构成了代数数理论的框架；有趣的是，克罗内克的“不定性的伴随”的方法，就数理论而言，在我们看来只不过是戴德金理论的变体，主要是在另一个方向，针对代数几何，克罗内克的思想在数学史中获得了所有的重要性。 交换代数，我们稍后会看到。

由于一些只有在很久以后才能清楚地显现出来的原因，任何一般理论尝试的第一个序言当然是对代数整数的概念的澄清。这件作品大约于 1845 年至 1850 年期间获得，但很难准确确定其出现的日期。看起来很可能正是系统在加法和乘法下稳定的想法（或者更准确地说，我们现在称之为有限秩的 $\mathbf{Z}$ 代数）或多或少有意识地导致了代数整数的一般定义：当强制将型 $\mathbf{Z}[\theta]$ 的 $\mathbf{Z}$ 代数变为有限秩时，定义是不可避免的，类似于由单位元的根生成的环 $\mathbf{Z}[\zeta]$，该代数位于中心当时算术家的关注点。因此，当 Dirichlet ([92], v. I, p. 640)、Hermite ([159], v. I, pp. 115 和 146) 和 Eisenstein ([102 c], p. 236) 独立地引入代数的概念时， 整数，他们似乎并不认为这是一个新想法，也不认为对其进行详细研究是有用的；只有爱森斯坦实质上证明了（*loc.cit.*）两个代数整数的和和乘积是代数整数，而且没有声称这个结果是原创的。

点隐藏得更好的是环的确定，人们可以希望在其中概括库默的理论。后者在他的第一个注[188 b]中毫不犹豫地肯定，他可以通过考虑环$\mathbf{Z}[\sqrt{D}]$（$D$整数），通过他的方法找到高斯的二元二次形式理论；他从未提出过这个想法，但显然他和任何人之前 Dedekind 都无法看到

7 关于他在这个主题上的思想的演变，请参阅他 1881 年关于判别式的回忆录的非常有趣的介绍 ([186 a], v. II, p. 195)。

当$D \equiv 1 \pmod{4}$时，在形式$\mathbf{Z}[\sqrt{D}]$的环中唯一的分解进入素数“理想”因子是不可能的（尽管单位元的立方体根的例表明考虑了环$\mathbf{Z}[\rho]$）高斯不同于 $\mathbf{Z}[\sqrt{-3}]$)。$^8$

之前 Dedekind 和 Kronecker，唯一研究的环仍然是型 $\mathbf{Z}[\theta]$ 或有时型 $\mathbf{Z}[\theta, \theta']$.$^9$ 的某些特定环

就克罗内克而言，考虑代数扩张的 所有 整数的环的想法可能是通过代数函数的域的研究首次向他提出的，其中这个环以自然的方式出现为函数的集合，是“在有限距离处有限”：无论如何，他在 1881 年的回忆录中坚持对这些域 ([186 a], v.1) 中“整数”的这种特征的判别式（已于 1862 年编写并向柏林学院宣布）。 II，第 193-236 页）。 戴德金没有给出任何关于他自己关于这个点的想法的起源，但从他在1871年首次发表关于数域开始，环在所有整数中域在他的理论中发挥了基础作用；戴德金也通过引入*导体*的概念，澄清了这样的环和它的子环之间的关系，子环具有与分数相同的域（[79]，v. I，第 105-157 页）。

但这并不是唯一的困难。为了概括库默的思想，首先必须避免经历分解域，在非阿贝尔的域的情况下自然不可能有任何类似物。无论如何，这种迂回乍一看似乎非常令人惊讶和人为，因为如果一个人从$\mathbf{Z}[X]$的不可约多项式$\Phi_p(X)$开始，人们就会问自己为什么库默没有遵循他的想法的逻辑推论到底，以及是什么阻止了他使用当时众所周知的“伽罗瓦虚数”理论。鉴于戴德金的学生 Selling 在 1865 年所做的一次不幸的概括尝试，这一障碍显得更加明显：给定一个不可约多项式 $P \in \mathbf{Z}[X]$，Selling 将相应的多项式 $\overline{P}(X)$ 分解为 $\mathbf{F}_q[X]$ 中的不可约因子；因此，该多项式属于的根为 $\mathbf{F}_q$ 的有限扩张 $\mathbf{F}_r$；但是Selling，在阶到定义，就像Kummer一样，在$P(X)$的根域整数中$q$的“素数理想因子”的指数，毫不犹豫地说* 域* $\mathbf{F}_r$ 模 a 幂的 $q$ ([282], p. 26);稍后，当他试图解决分枝问题时，他“邻接”了形式 $x^h = q$ ([282], p. 34) 方程的$\mathbf{F}_r$“虚数根”。显然，这些大胆的步骤（由替换有限域 $\mathbf{F}_q$ $q$-adic 域证明是合理的）在当时不会有任何结果

$^8$ 尽管克罗内克一定是通过他对复数乘法的研究而研究了环 $\mathbf{Z}[\sqrt{-D}]$ ($D > 0$) 的算术，但他没有发表任何关于这个主题的内容，并且任意二次域 $\mathbf{Q}(\sqrt{D})$ 的整数的表征由 Dedekind 首次明确给出1871（[79]，第 I，第 105-106 页）。

$^9$我们在上面看到了Kummer [188 e]介绍的环$\mathbf{Z}[\zeta, \mu]$的例。 此前爱森斯坦已被引导考虑由单位元第21个根域中整数环的两个元素生成子环[102 b]。

除了废话。幸运的是，戴德金在 1857 年（[79]，v. I，第 40-66 页）以“优越同余理论”的名义，在另一个形式下采用了有限域:$^{10}$ 理论，他将后者的元素解释为$\mathbf{Z}[X]$ 中多项式的“余数”，跟随线性组合的“双模”由……组成，系数在 $\mathbf{Z}[X]$，素数数 $p$ 和酉不可约多项式 $P \in \mathbf{Z}[X]$（毫无疑问，对于他，至于克罗内克，在 模 一般思想的开始，他们稍后将独立地结束）。根据他自己的证词（[79]，v.I，p. 218），戴德金似乎已经开始攻击域$\mathbf{Q}(\xi)$中$p$的“理想因子”的问题，其中$P \in \mathbf{Z}[X]$是$\xi$，以下列方式（至少在“未分支”的情况下），也就是说，当在 $\mathbf{F}_p[X]$ 中，多项式 $\overline{P}$ 相应的到 $P$ 没有倍数根）：我们在 $\mathbf{Z}[X]$ 中写道，

其中 $\overline{P}_i$ 不可约且在 $\mathbf{F}_p[X]$ 中不同；可以假设$G$（在$\mathbf{Z}[X]$中）不能被任何$P_i$整除，对于所有$i$，我们集合$W_i = \prod_{j \neq i} P_j$；那么，如果$f \in \mathbf{Z}[X]$，我们会说$f(\xi)$包含是$p$相应的的“理想因子”$p_i$到$P_i$$k$次，如果我们有

和

与方法以及随后的 Kummer 的“Kummer 域”的关系在这里显而易见，并且人们同样可以通过这种方式轻松地重新加入 Kummer 的初始定义以获得分圆域（参见例 Zolotareff [343] 的工作，他最初独立于 Dedekind，后来发展了这些想法）。

然而，戴德金和似乎也做出了类似尝试的克罗内克都没有继续沿着这条道路继续前进，他们都因分支带来的困难而停止了（[79]，v.I，p. 218和[186a]，v.II，p. 325）。$^{11}$如果环数域 $K$ 的整数 $A$ 视为承认基（超过$\mathbf{Z}$） 整数 $\theta$ 的幂由……组成，不难概括$\mathbf{Z}[\theta]$ 中的分支素数数位于方法之前（如 Zolotareff 所示 (loc.cit.)）。但是有域$K$，而环$A$中不存在这个型的基； Dedekind 甚至最终发现，在某些情况下，某些素数数 $p$（域 $K$ 的“判别式的非凡因子”）是这样的，*无论如何*

$^{10}$ 众所周知，伽罗瓦首先发表的该理论的某些结果已由高斯在大约 1800 年（以同余的语言）获得； 之后高斯去世后，戴德金自己承担了集合出版其作品部分的任务，特别是在高斯回忆录于有限域留下的论文中再次发现（[124a] v.II，第212-240页）。 $^{11}$ Zolotareff 通过改进他的方法来解决这个困难，它似乎除了轶事兴趣之外不再有其他兴趣 [343]。

$\theta \in A$，将前面的方法应用于$\theta$超过$\mathbf{Q}$的最小多项式将导致归因于$p$倍数理想因子，而事实上$p$并没有在$A$中分支；他承认$^{12}$由于这个不可预见的困难而停滞了很长一段时间，之前成功地克服了它，创造了完整的模理论和理想，并以精湛的方式进行了阐述（与同时代人的话语风格相比，已经完全现代了），这无疑是他的杰作，著名的狄利克雷著作中的“第XIth补充” 数理论（[79]，第III，第1-222页）。这项工作将知道三个连续的版本，但从第一个版本（作为“Xth 补充”出版到 1871 年狄利克雷书的第二版）方法的要点已经就位，代数数的理论几乎一步就从草图和之前的摸索转变为一门完全成熟的学科，并且已经拥有其基本工具：从开始，数域的所有整数中的环放置在理论的中心； Dedekind证明了这个环的基在$\mathbf{Z}$上的存在性，并由此推导出域的判别式定义，作为基的元素的由……组成的行列式平方整数中的环及其共轭；然而，他在第 XIth 补充中仅对二次域 ([79] v. III, p. 202) 给出了分支素数数（作为判别式的素数因子）的表征，而他自那时以来就拥有一般的定理 1871.$^{13}$这部作品的核心成果是定理关于理想的存在性以及分解中的唯一性进入素数因子，为此戴德金首先发展了“模”的基本理论；事实上，在第十一章补充中，他为数域的$\mathbf{Z}$子模块保留了这个名称，但是他构建的概念和他证明的结果已经以一种立即适用于最一般的模；$^{14}$的方式已经集合出来了，我们必须注除其他外，从 1871 年开始，引入了“诺特商”概念，它在唯一因数分解的第一个证明中发挥了重要作用（以及“上升链条件”）。在接下来的两个版本中，戴德金还给出了这个定理的另外两个证明，他认为这是该理论的基石。这里必须指出的是，分数理想是在第三个证明中出现的（Kummer从1859年起就已经为分圆域引入了分数理想），并且事实上它们形式群；我们稍后将返回第二个证明（p. 107）。

$^{12}$ Kronecker 说他在单位元的第 13 个根的域子域中也遇到了同样的现象，但他没有进一步讨论（[186 a], v. II, p. 384）。 Dedekind 给出的判别式的非凡因子的例在[150d]、p. 333中有详细处理；稍后，Hasse 给出了域 $K$ 的例，其中没有异常的判别式因子，但不存在 $\theta \in A$ 使得 $A = \mathbf{Z}[\theta]$ ([150 d], p. 335)。 $^{13}$ 他只在 1882 年的回忆录中发表了这个定理的证明关于不同的内容（[79]，第 I，第 351-396 页）。 $^{14}$ 在 1882 年关于代数曲线的回忆录中（与 H. Weber 的公共的）[80]，他以同样的方式使用了模超过环 $\mathbf{C}[X]$ 的理论。

所有这些结果（取决于所使用的语言）毫无疑问已经为克罗内克在 1860 年左右所知，作为他的更一般概念的特例，我们将在稍后讨论这些概念（而戴德金承认直到 1869-1870 年才克服该理论的最后困难（[79]，v.I，p. 351））；$^{15}$ 至数就域而言，我们必须特别强调，从此时起，克罗内克知道，当一个人偏离了“基域”$k$（它本身就是数域（$\mathbf{Q}$除外）、点的观点时，整个理论在没有任何必要的变换的情况下是适用的）复数乘法理论自然主导；他还认识到，对于某些域$k$，代数扩张$K \neq k$*未分支*$k$（[186a]，v.II，p. 269）的存在，这对于$k = \mathbf{Q}$来说是不可能发生的（如下的输出） Hermite 和 Minkowski 的判别式）。戴德金从未发展过最后的点观点（尽管他在1882年的关于不同的回忆录中指出了它的可能性），而对“相对域”理论的第一次系统阐述应归功于希尔伯特（[163a]，v.I，第63-363页）。

最后，在 1882 年（[79]，v.I，第 359-396 页），戴德金通过引入“不同”完成了理论，这给了他一个新的判别式定义，并允许他在后者的分解中指定素理想因子的指数。也正是在这个时候，他对伽罗瓦扩张提出的特殊点产生了兴趣，引入了分解群的概念和惯性群（在回忆录（[79]，v.II，第43-48页）），该惯性仅发表于1894），甚至（在他生前未发表的论文中（[79]，v.II，第 410-411 页））一个分支群的草图，希尔伯特（独立于戴德金）稍后会发展（[163 a]，v.I，第 13-23 页和63-363）。

这样，大约在1895年，代数数理论就完成了它的第一阶段的发展；在这个形成时期形成的工具将使其能够几乎直接解决下一阶段的问题，即类域的一般理论（或者，相当于相同的东西，数域的阿贝尔的扩张理论），该理论一直延续到今天，我们不需要在这里描述。从交换代数的角度看点，可以说戴德金环的理论同时实际上已完成，除了它们的公理化特征之外，还有这些环上的有限型的结构或模（其中，在数域，只有 Steinitz 在 1912 年才对实质内容进行澄清 [294 b])。$^{16}$

交换代数的后续进展首先将来自完全不同的问题，源自代数几何（其中，

然而，$^{15}$克罗内克并没有成功地通过他的方法获得数域情况下分支理想的完整表征。另一方面，他对变量的代数函数的域进行了表征，并证明在这种情况下，判别式不存在“异常因子”（[186a]，v.II，第193-236页）。

$^{16}$ Dedekind 已经开始对代数整数的模和域进行研究（[79], v. II, pp. 59-85）。

除了会直接影响数理论，甚至之前当代的“抽象”发展）。

我们不打算在这里详细介绍代数几何的历史，直到黎曼去世为止，代数几何几乎没有触及我们的主题。 只需记住，它的首要目标是研究复杂射影平面中的代数曲线，最常见的是射影几何的方法（使用或不使用坐标）。 与此同时，与阿贝尔、雅可比、维尔斯特拉斯和黎曼一起发展了一个复变量及其积分的“代数函数”理论；这个理论和平面代数曲线几何之间的联系显然在他们的脑海中，并且知道当时如何“将数学分析应用于几何”；但用于研究代数函数的方法主要具有“先验”性质，甚至之前黎曼；$^{17}$在后者的工作中更加强调了这一特征，引入了“黎曼曲面”和在该曲面上定义的任意解析函数。 几乎在黎曼去世后之后，罗赫，尤其是克莱布施，认识到了从黎曼超越方法所获得的深刻结果中得出对曲线射影几何的大量而引人注目的应用的可能性，这自然会鼓励当代几何学家将这些结果赋予纯粹的“几何”证明；该计划由 Brill 和 M. 完备的，Clebsch 和 Gordan 并未完全遵循。 几年后[37]，通过研究给定曲线上变量点的系统以及通过系统或点的辅助曲线（“邻接”）。 但即使对于同时代人来说，黎曼的先验方法（尤其是他对拓扑概念和“狄利克雷原理”的使用）似乎也建立在不确定的基础上；即使虽然布里尔和诺特比大多数当代“综合”几何学家（见后面的p. 106）更加谨慎，他们的几何分析论点也不能免受所有指责。 本质上，正是在阶中，为平面代数曲线理论提供了坚实的基，戴德金和韦伯于1882年发表了关于这个主题的伟大的回忆录[80]：“在此发表的研究”，他们说，“以陈述一个变量的代数函数理论的基础，其中一个变量黎曼的主要创作，以一种简单、严格且完全通用的方式。 在后面的研究关于这个话题，

$^{17}$ 但必须指出的是，Weierstrass；在他关于阿贝尔的函数的研究（可追溯到 1857 年，但仅在大约 1865 年在他的讲座中提出，仅在他的全集（[329 a]，v. IV）中发表）中，与黎曼相反，给出了曲线亏格的纯代数定义作为最小整数 $p$，使得在给定点的情况下，极点位于任意 $p+1$ 的曲线上存在有理数函数。有趣的是点发现，在寻求获得元素来代替他在曲线上只有一个极点的函数时，Weierstrass，之前最终为此目的使用了先验的函数，正如Kronecker所见证的（[186a]，v.II， p. 197），鼓励后者将他当时刚刚获得的关于数域的结果进行扩展到一个变量的代数函数（“素理想因子”有效地发挥了魏尔斯特拉斯所期望的作用）。

人们经常对所考虑的函数奇点做出限制性假设，并且假定的例外情况要么在经过中被提及为极限情况，要么完全被忽略。以同样的方式，假设了关于连续性或分析性的某些基本定理，其“证据”依赖于不同性质的几何直觉”（[80]，p. 181）。 18 他们工作的基本思想是将一个变量的代数函数理论复制到戴德金刚刚发展的代数数理论上；要做到这一点，他们必须首先将自己置于“仿射”点的视野中（与他们同时代的人总是认为代数曲线嵌入在复杂的射影空间中）：因此，他们从域$\mathbf{C}(X)$的有限代数扩张$K$开始，有理分式，并从$K$中“代数积分函数”的环$A$，i。 e.从这个域的元素，其中整数超过多项式的环$\mathbf{C}[X]$；他们在不使用任何拓扑考虑的情况下获得的基本结果19是$A$是戴德金环，对其进行必要的修改（甚至，作为戴德金和韦伯注，而尚未清楚地看到原因（[79]，v.I，p. 268），以更简单的方式）所有结果“第 XI 补充”。完成后，他们证明了它们的定理实际上是双理性不变的（在其他字中，仅取决于域$K$），特别是不依赖于开始时创建的“无穷远线”的选择。毫无疑问，对我们来说更有趣的是，想要从“黎曼曲面”相应的到$K$的定义点（特别是“无穷远的点”，它不能对应到$A$的理想），他们被引导引入域$K$的“地方”的概念：他们发现自己面临着1940年Gelfand再次发现的情况，同时设定提出了规范化代数的理论，即元素的集合$K$，这些都没有提前给出函数，但人们仍然希望能够这样考虑；并且，在阶获得这些假设的函数的定义集合时，他们第一次有了与集合的点$x$联系起来的想法（盖尔范德将再次提出，并且由于在现代数学中的多次使用而变得乏味） $E$ 以及 $E$ 映射的集合 $\mathscr{F}$ 变为集合 $G$ 映射

18 众所周知，尽管戴德金、韦伯和克罗内克做出了努力，但构成正确证明的概念的放松，在1870-1880年的德国几何学学校中已经很明显，只是在法国几何学家，尤其是随后两代意大利几何学家的工作中变得越来越糟糕，他们追随德国几何学家，并在发展他们的几何学的过程中变得越来越糟糕。 方法，攻击代数曲面理论：代数学家多次（特别是从1920年开始）谴责这一“丑闻”，但这在一定程度上并不是没有被这些“不严谨”方法取得的辉煌成功所证明的，与此形成鲜明对比的是，直到1940年左右，戴德金的正统继承者都表现出他们无法以足够的灵活性进行公式化和幂代数概念可以让他们为这些结果给出正确的证明。 19 他们强调，由于这一事实，当所有代数数的替换域 $\mathbf{C}$ 和域时，所有这些结果仍然有效（[79]，v. I，p. 240）。

将$\mathscr{F}$的$f \mapsto f(x)$转化为$G$，在其他字来考虑，在表达式$f(x)$中，$f$作为变量而$x$作为固定的，与经典传统相反。最后，他们从位置的概念开始，毫无困难地定义了“正除子”（术语中的“多边形”），将$A$和对应理想的概念细化为布里尔和诺特的“点的系统”；但是，尽管他们将微分的主除子和除子写为正除子的“商”，但他们并没有给出除子的一般定义，直到1902年，亨塞尔和兰茨伯格才引入了与分数理想类似的概念，它将永远存在。让纯粹“几何”方法的持有者感到尴尬（尽管他们自己以“虚拟系统”的名义不得不向他们提供定义，但无法给予他们“具体”解释）。

同年 1882 年，人们等待了 20 多年的伟大的克罗内克回忆录也出现了（[186 a]，v. II，第 237-387 页）。 它比戴德金-韦伯的著作雄心勃勃得多，但不幸的是，它也更加模糊和晦涩。 他的中心主题是（用现代语言来说）研究多项式$\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$或$\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$的环之一的有限积分代数的理想； 克罗内克极限本人$a$先验于这些有限型的理想（事实上，它们都是这种类型，仅在几年后由希尔伯特在他对不变量的研究中证明（对于$\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$的理想）（[163a]，v. II，第 199-257 页））。 就$\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$或$\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$而言，人们很自然地会将其中一个环的每个理想与所有元素理想的公共零点的“代数簇”由……组成联系起来；十九世纪期间进行的 2 或 3 维数的几何研究将直观地得出这样的想法：每个变体都是“不可约”变体的并，在数中有限，其“维数”不一定相同。 看来这个事实的证明是克罗内克自己是设定的目标，尽管他没有在任何地方明确说明这一点，并且在他的回忆录中找不到任何“不可约多样性”的定义或“维数”。 事实上，他极限自己总结性地指出了消除$^{20}$的一般方法如何从所考虑的理想的生成元的系统开始给出有限的数代数簇，对于每个代数簇，在合适的系统坐标中，给出了特定的数

$^{20}$ 通过坐标的线性变换，可以假设理想的生成元 $F_i$ ($1 \leq r \leq r$) 是多项式，其中$X_1$ 中最高次数的项为形式 $c_i X_1^{m_i}$，其中$c_i$是常数$\neq 0$。 还可以假设$F_i$没有公共的因子。 那么，对于$2r$不定$u_i, v_i$ ($1 \leq i \leq r$)，多项式$\sum_{i=1}^r u_i F_i$和$\sum_{i=1}^r v_i F_I$视为$X_i$中的多项式；一个计算西尔维斯特结果，它是 $u_i$ 和 $v_i$ 中的多项式，系数为 $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$（分别为 $\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$）；消去这些系数，得到方程组的系统，其解、$(x_2, \ldots, x_n)$正好是方程组$F_i(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0$($1 \leq i \leq r$)的系统、解、$(x_1, \ldots, x_n)$的投影。 然后可以在$n$上继续应用方法到归纳。

坐标是任意的，其他坐标是“代数函数”。但是，如果克罗内克的目标确实是分解进入不可约簇，那么必须认识到，他只在主理想的基本情况下取得了成功，在这种情况下，他通过在$\mathbf{Z}[X]$上扩展高斯的经典引理（[124a]，v.I，p. 34），充分证明了环 $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$和$\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$是唯一的因式分解域；而且，在一般情况下，甚至可以问克罗内克当时是否拥有素理想的概念（他所谓的“Primmodulsystem”是一个不可分解为另外两个理想的乘积（[186 a]，v.II，p. 336）；当定义给出时，这更加令人惊讶自 1871 年以来戴德金 (Dedekind) 的观点非常普遍）。然而不久之后，克罗内克纠正了这一疏忽。

然而，必须指出的是，克罗内克的消元法方法如果应用得当，可以精确地将代数簇的分解引入其不可约分量：这就是 E 明确建立的。 拉斯克在 1905 年关于多项式理想的伟大著作《回忆录》的开头 [194]；他将不可约簇（在$\mathbf{C}^n$中）的定义正确地概念作为代数簇$V$，使得两个多项式的乘积不能在整个簇中零$V$除非其中一个是零，并且还有定义或维数与所选轴无关。 另一方面，拉斯克在这部作品中插入的有趣的历史考虑中指出，他不仅与克罗内克和戴德金的纯代数趋势联系起来，而且与克莱布什和 M 的学校的几何方法所提出的问题联系起来。 诺特，尤其是后者在 1873 年证明的著名的定理 [239]。 正如我们今天所说，它本质上包括确定那些$\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$多项式的理想$a$，这些多项式是$\mathbf{C}^n$中给定集合$M$的点上的零；最常见的是 $M$ 是零公共的到多项式 $f_i$ 的有限数的“代数簇”，并且很长一段时间以来，人们似乎认为（当然没有理由）至少对于 $n = 2$ 或 $n = 3$，理想的 $a$ 相当简单地由 $f_i$ 生成； M。 诺特已经证明，对于$n = 2$和两个多项式$f_1, f_2$，这通常是不精确的，并且他已经给出了足够的条件，以便由$f_1$和$f_2$生成$a$。 十年后，内托证明，在$f_1$和$f_2$上没有任何假设，$a$的幂无论如何都包含在$f_1$和$f_2$[231]、定理生成的理想中，希尔伯特在1893年在他的著名论文中概括了定理。 “零定理”（[163a]，v. II，第 287-344 页）。 毫无疑问，受到这一结果的启发，拉斯克在他的回忆录介绍中——

21 这是任意坐标的数，他称之为维数（“Stufe”）。 22 参见 M. Noether 在其回忆录 [239] 开头的注。有趣的是，注在这个点上，根据拉斯克的说法，凯莱在大约1860年推测，对于$\mathbf{C}^3$中的每条左代数曲线，存在有限的数多项式生成的，即$\mathbf{C}[X, Y, Z]$多项式的理想值，即曲线上的零（在其他字中，希尔伯特有限性定理的特殊情况（[163a]，v.II，第199-257页））。

推导环$\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$和$\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$中*初*理想$^{23}$的一般概念（之后已在这些素理想环定义中给出，通过抄写戴德金的定义），并证明$^{24}$的存在初等分解对于这些环中的每一个理想。$^{25}$他似乎并不关心这个分解的*唯一性*问题；稍后，麦考利[211]介绍了“沉浸式”和“非沉浸式”基本理想之间的区别，并表明后者以独特的方式决定，而不是早期的。最后必须指出的是，拉斯克在点的邻域也将他的结果扩展*整个级数收敛*到环，依赖于魏尔斯特拉斯的“准备定理”。他的回忆录中的部分无疑是第一个从纯粹代数的点角度考虑环的地方，而拉斯克为此目的而发展的方法对克鲁尔产生了强烈的影响，他在1938年创建了局部环的一般理论（cf.） [187 h]，第 204 页和*passim*）。

最终形成现代交换代数的思想运动在1910年左右开始形成。如果域的一般概念在二十世纪初就已经获得，那么另一方面，定义概念或环的一般概念的第一部著作无疑是Fraenkel在1914年的著作[113a]。那时，已经有了环的例，不仅有数理论和代数的积分环

戴德金在“阶”中遇到了不是素理想幂的初等理想的$^{23}$例，即代数数的环具有给定的数域作为分数的域 （[79]，诉。 III，p. 306）。 Kronecker also gives as an example of an ideal "indecomposable" into a product of two others which are non trivial, the ideal of $\mathbf{Z}[X]$ generated by $p^2$ and $X^2 + p$, where $p$ is a prime number (an ideal that is primary for the prime ideal generated by $X$ and $p$ ([186 a], v. II、p. 341))。 $^{24}$拉斯克在所考虑的理想$a$的零的簇$V$的不可约分量的最大维数$h$上前进归纳。 在现代项中，他首先考虑素理想$p_i$（$1 \leq i \leq r$）包含$a$，其中对应到$V$的最大维数$h$的不可约分量。 对于每个$p_i$，他将$a$相对于$p_i$的饱和$q_i$关联起来；然后他考虑$a$中$q_i$的诺特商$b_i = a : q_i$，将$\sum_i b_i$元素$c$而不是属于取入$p_i$中的任何一个，并一方面证明$a$是交 $q_i$和$a + (c) = a'$，另一方面，$a'$的零的变种$V'$只有维数$\leq h - 1$的不可约分量，这使得他能够通过归纳来结论。 $^{25}$有趣的是注，对于唯一的分解定理，Dedekind 的第二个证明首先建立唯一的简化初等分解的存在性；并且在第XIth 补充中未发表的部分中，Dedekind明确观察到证明的部分不仅对数域中所有整数的环$A$有效$K$，也适用于 $K$ 的所有“阶”（[79]，v. III，p. 303）。 直到后来，之后明确证明了$A$是“完全积分封闭的”（直到术语），他才利用这个事实表明，前面的分解的初理想实际上是素理想的幂（[79]，v.1）。 III，p. 307）。

几何，还有级数（形式或收敛）的环，最后代数（可交换或不可交换）超过基域。然而，对于环理论和域理论来说，催化作用似乎是由亨塞尔的$p$进数数理论发挥的，Fraenkel和Steinitz [294a]特别提到，作为他们研究出发的点。

Hensel 关于这个主题的第一篇出版物可以追溯到 1897 年。在其中，他从戴德金和韦伯在代数函数$K$的域黎曼曲面的点与数域$k$之间的类比开始；他提出将迁移转化为数理论“Puiseux展开”（自十九世纪中叶以来的经典），在$K$黎曼曲面的任意点的邻域中，允许我们表达每个元素$x \in K$正在考虑的“均匀化器”在点处的幂的收敛级数的形式（级数仅具有负指数的项的有限数）。 Hensel 以同样的方式证明，如果 $\mathfrak{p}$ 是数 $p$ 之上的 $k$ 的素理想，则可以将 $x \in k$ 与形式 $\sum_i \alpha_i p^i$ 的“$p$-adic 级数”（或 $\sum_i \alpha_i p^{i/e}$，当$\mathfrak{p}$是$p$之上的分支），$\alpha_i$取自理想$\mathfrak{p}$的商域的给定代表的系统；但他的伟大独创性在于，即使它们不对应到 $k$ 的任何元素，也考虑这样的“展开”，通过类比黎曼曲面上超越函数的整个级数中的展开 [157 a]。

在随后的整个职业生涯中，Hensel将致力于一点一滴地打磨和完善他的新演算；如果他的方法对我们来说显得犹豫或沉重，那么我们决不能忘记，至少在一开始，他仍然没有任何可用的当今数学的拓扑或代数工具来促进他的任务。 In his first publications he besides hardly ever speaks of topological notions, and to sum up, for him the ring of $p$-adic numbers ($\mathfrak{p}$ a prime ideal of the ring of integers $A$ of a number field $k$), is, in modern terms, the projective limit of the rings $A/p^n$ for $n$ tending to infinity, with a purely algebraic meaning; and to establish the properties of this ring and of its field of fractions, he must at each step use more or less painfully $ad\ hoc$ arguments (for example to prove that the $p$-adic numbers form an integral domain). 在 $p$-进数域中引入拓扑概念的想法几乎不会出现在 Hensel 之前 1905 [157 d] 中；直到 1907 年，之后完成了这本书，其中他按照自己的想法重述了代数理论数 [157 f]，才达到了定义和绝对$p$-adic 值 [157 e] 的基本性质，从这里开始，他将能够通过复制柯西的理论来发展完成“$p$-adic 数学分析”，他将知道如何在数理论中卓有成效地应用（特别是使用$p$-adic指数和对数），从那时起，其重要性就一直在增长。

亨塞尔从一开始就清楚地看到，他的理论通过允许“局部化”问题并在域中工作，给经典叙述带来了简化，在域中，不仅整除性的性质是微不足道的，而且由于他在1902年[157 c]就已经提出了基本的引理，对多项式的研究多项式“简化” mod $p$ 没有倍数根被简化为超过有限域的多项式的研究。 从 1897 年开始，他就对这些简化给出了惊人的例，特别是在涉及判别式的问题中（特别是几年前他给出的关于“非凡的除子”存在的标准的简短证明）。 但长期以来，$p$进数数似乎激起了对当代数学家的极大不信任；毫无疑问，人们对过于“抽象”的想法抱有一种态度，但其作者略显过分的热情（在数学新理论的狂热者中如此常见）在部分中并非没有道理。 Not content in fact with applying his theory fruitfully to algebraic numbers, Hensel, impressed like all his contemporaries by the proofs of transcendence of $e$ and $\pi$, and perhaps deluded by the qualification of "transcendent" applied at the same time to numbers and to functions, had reached the point of thinking that there existed a link between his $p$-adic numbers and real transcendent numbers, and he had believed for a moment that he could obtain thus a simple proof of the transcendence of $e$ and even of $e^e$ ([157 d], p. 556).26

很快，到了1910年之后，随着下一代的崛起，变换的情况，受到拓扑弗雷歇和F.里斯思想的影响，受到代数斯坦尼茨思想的影响，从一开始就被“抽象”所征服；它会知道如何吸收并取代亨塞尔的作品。从1913年开始，Kürschak [190] 定义以一般的概念估价方式，认识到阿基米德估价的重要性（其中$p$进数估价给出例），证明（通过在实数的情况下复制证明）完成的存在域关于估值，最重要的是，以一般方式证明给定域的代数扩张的估值扩张的可能性。但他没有看到估值的非阿基米德特征标已经隐藏在素数域中； 点是由 Ostrowski 建立的，他还确定了域 $\mathbf{Q}$ 的所有估值，以及表征域的基本定理配备了非阿基米德估值，如 $\mathbf{C}$ 的子域 [242]。从 1920 年到 1935 年，该理论将通过对不一定离散的估值进行更详细的研究来完善自己，其中包括对当人们进入代数或超越扩张时出现的不同情况的检查（Ostrowski、Deuring、F. K. Schmidt）；另一方面，1931年，克鲁尔介绍并研究了估价的一般概念

26 这个研究不惜一切代价实现$p$-adic 级数和泰勒级数之间的严格并行性也将Hensel推向集合，他自己也很奇怪问题：他证明了例，每个$p$-adic 整数都可以写成级数$\sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$的形式，其中$a_k$是有理数，选择的方式使得级数不仅收敛于$\mathbf{Q}_p$，而且收敛于$\mathbf{R}$（毫无疑问，通过记住泰勒级数收敛于几个点同时？）[157 e 和 f]。

[187 f] 这将在 Zariski 和他的代数几何学校之后的几年中得到广泛使用。27 我们还必须在这里提到，即使虽然它超出了我们的职权范围，对完全估价域和完全局部环的结构的更深入研究来自同一时期（Hasse-Schmidt，Witt，泰希米勒，I）。

上面提到的 Fraenkel 的工作 (p. 107) 仅涉及一种非常特殊的环（阿廷环只有一个素理想，也被假定为主理想）。如果排除斯坦尼茨在域[294a]上的工作，那么关于一般交换环研究的第一部重要著作是E.诺特关于理想理论的两部伟大的回忆录：1921年的著作[236a]，致力于初等分解，它再次占据了最一般的层面，并在许多点的结果上完成了拉斯克和麦考利；以及 1927 年的 Dedekind 环公理化特征 [236 b]。就像斯坦尼茨在域中展示的那样，在这些回忆录中可以看到一小部分数的抽象思想，例如不可约理想的概念，链条条件和整体封闭的环的思想（最后两个，正如我们所见，已经由戴德金提出）导致一般结果，在事先已知的情况下，这些结果似乎与纯计算结果有着千丝万缕的联系。

有了 E. Noether 的这些回忆录，再加上 Artin-van der Waerden 稍后关于除子理想的工作（[317 a]，v.II，第 105-109 页）以及 Krull 将这些理想与基本评估联系起来 [187 f]，就这样完成了对理想的分解的长期研究，开始了一个世纪之前，28与现代交换代数同时落成。

交换代数上无数后来的研究最容易按照一些主要的指导倾向进行分组：

A) 局部和拓扑环。尽管在数理论和代数几何的所有先前工作中都包含在胚胎中，但本地化的总体思想释放得非常缓慢。 环或分数的一般概念仅由E. Noether的学生H. Grell于1926年定义，并且仅针对整环 [137]；它的扩张到更一般的环只能在1944年由C给出。 Chevalley 的诺特环以及 1948 年 Uzkov 的一般情况。直到大约 1940 年，克鲁尔和他的学校实际上是唯一在一般论证中使用局部环 $A_p$ 或整环的人；

27 例高度 2 的估值已经由 H. Jung [175] 于 1925 年偶然引入。 28 继除子理想中的定义之后，一些相当多的研究（Prüfer、Krull、Lorenzen等）是在其他运算$a \mapsto a'$满足公理条件下稳定的理想上进行的，类似于运算的性质$a \mapsto A : (A : a)$ 产生除子理想；以这种方式获得的结果迄今为止尚未在代数几何或数理论中找到任何应​​用。

这些环直到 1940 年 Chevalley 和 Zariski 的工作才开始在代数几何中明确出现。$^{29}$

对局部环本身的一般研究始于 1938 年克鲁尔伟大的回忆录 [187 h]。 这项工作最重要的成果涉及维数理论和常规环，我们不应该在这里谈论；但也正是在那里，第一次出现了任意局部诺特环的完成，以及与局部环相关的分级环的仍然不完美的形式；$^{30}$仅在大约1948年由P. Samuel [270]和代数中的研究独立定义Leray 和 H. 的拓扑 嘉当。 Krull, in the previously quoted work, hardly uses topological language; but from 1928 [187 e], he had proved that, in a noetherian ring $A$, the intersection of powers of a single ideal $a$ is the set of $x \in A$ such that $x(1-a) = 0$ for an $a \in a$; it is easily deduced from that that for every ideal $m$ of $A$, the $m$-adic topology on $A$ induces on an ideal $a$ the $m$-adic topology of $a$; in his memoir of 1938, Krull completes this result by proving that in a local noetherian ring, every ideal is closed. 这些定理很快被Chevalley之后扩展到半本地诺特环，然后由Zariski扩展到以他的名字命名的环[340 b]；拓扑环中“线性紧性”的引入以及半局部完全环的结构的确定也可以追溯到Chevalley [62 c]。

B) 经过从局部到全局。自Weierstrass以来，习惯将一个变量（特别是代数函数）的解析函数与其定义的黎曼曲面的所有点处的“展开”的集合相关联。 In the introduction to his book on Number Theory ([157 f], p. V), Hensel associates in the same way with every element of an algebraic number field $k$ the set of elements which correspond to it in the completions of $k$ for all valuations$^{31}$ on $k$. 可以说，正是这个点的观点，在现代交换代数中，取代了分解公式作为素理想的乘积（在一定范围内延伸）

$^{29}$ 在亨塞尔和他的学生关于数理论的工作中，局部环 $A_p$ 因其完成而被系统地忽略，毫无疑问是因为应用亨塞尔的引理对后者的可能性。

$^{30}$ 如果 $m$ 是所考虑的局部诺特环 $A$ 的最大理想，$(\alpha_i)_{1 \leq i \leq r}$ 对于 $m$，Krull 定义对于所有 $x \neq 0$ 的最小系统生成元 $A$ $x$ 的“初始形式”，如下：如果 $j$ 是最大的整数，使得 $x \in m^j$，$x$ 的初始形式都是次数的齐次多项式$j$、$P(X_1, \ldots, X_r)$，系数为商域 $k = A/m$，使得 $x \equiv P(\alpha_1, \ldots, \alpha_r) \pmod{m^{j+1}}$。对于$A$的每个理想$a$，他将由$a$的所有元素的初始形式生成的$k[X_1, \ldots, X_r]$分级理想放入对应中（“Leitdeal”）；这两个概念代替了他相关分级的环。

$^{31}$ Hensel 将域 $K$ 的次数 $n$ 的非阿基米德估值超过$\mathbf{Q}$ 函数 $x \mapsto |x^{(i)}|$（其中$1 \leq i \leq n$ 的$x^{(i)}$ 为共轭 $x$) 自狄利克雷以来一直使用；稍后奥斯特洛夫斯基将证明，这些函数本质上是$K$唯一的非阿基米德估值。

感受 Kummer 视图的初始点）。 Hensel 约化的注隐式地将$k$嵌入到其所有完成的乘积中；这就是 Chevalley 在 1936 年用他的“idèles”理论明确完成的事情 [62 b]，该理论完善了普吕弗和冯·诺依曼之前的类似想法（后者极限本身将 $k$ 嵌入到其 $p$-adic 完成的乘积中）。$^{32}$ 虽然这有点超出我们的范围顺便说一下，这里值得一提的是，由于idèles的群上有适当的拓扑，所有局部紧凑群的技术（包括哈尔测度）都可以非常有效地应用于数理论。

在 Krull [187 f] 的更一般的设定、定理中，将整体封闭的环描述为评估环的交（这又回到了在评估环的乘积中考虑嵌入环）通常会简化对这些的研究环，尽管除了克鲁尔环的基本估值外，方法实际上并不容易管理。 例（相当基本）还经常在“经过从本地到全局”的方法的Krull [187 i]中找到，证明的由……组成，整环$A$的性质通过减少它来验证它的“本地化” $A$的$A_p$在其所有主要理想上；$^{33}$最近，Serre注意到这个方法对于任意交换环$A$都是有效的，它也适用于$A$-模块及其同态，并且经常“本地化”在最大理想上就足够了$A$：点的观点与“谱”和在这些谱上定义的滑轮的想法密切相关（见下文，p. 115）。

C) 整数和积分闭包。我们已经看到，代数整数的概念最初是为数域引入的，已经被 Kronecker 和 Dedekind 扩展到代数函数域，尽管在这种情况下它可能显得相当人为（不是相应的到射影概念）。 1927 年 E. Noether 的回忆录，以及 Krull 从 1931 年开始的工作，是为了表明这些概念为最一般的环提供的兴趣。$^{34}$ 特别是由于 Krull，我们欠了定理的提升

$^{32}$ 由于亨塞尔的注，人们习惯性地将$K$的非阿基米德估值称为数域$K$的“无穷大”，这与戴德金和韦伯定义的过程进行类比仿射曲线黎曼曲面的“无穷远点”(cf.p. 104)。 $^{33}$ 当人们谈到“从局部到全局的经过”时，通常会提到更困难的问题，这些问题与类域的理论相关，其中最著名的例是在Hasse [150 a和b]的回忆录中关于二次形式处理的问题代数数域 $k$；除其他外，他还表明，对于方程 $f(x_1, \ldots, x_n) = a$ 在 $k^n$ 中具有解（$f$ 二次方形式，$a \in k$），它在 $k$ 的每个完成中具有解是充分必要的。 根据 Hasse 的证言，型定理的想法是由他的老师 Hensel 提出的 [150 c]。 这个“Hasse 原理”到群除了正交群之外的扩张是代数群的“adélises”现代理论的目标之一。 $^{34}$ 克鲁尔和 E. Noether 极限自己到整环，但是方法的扩张到一般情况并不困难；在这种情况下，最有趣的回忆录是I。 Cohen 和 Seidenberg Krull 的扩展定理，通过准确指示其极限的有效性 [66]。 整个代数[187 g]中的素理想适合于注，以及Dedekind-Hilbert [187 f]的分解和惯性群理论的扩张。 至于E。 诺特归功于她，规范化引理$^{35}$的一般表述（其中包括希尔伯特的零定理）以及第一个一般标准（克罗内克和戴德金的经典论证的转录）允许肯定整环的积分闭包在环上是“有限”的。

最后，这里必须指出的是，全闭环的概念在现代具有重要意义的原因之一是源于Zariski对代数簇的研究；他实际上发现“正常”簇（即那些局部环是全封闭的）凭借特别令人愉快的特性而脱颖而出，特别是它们不具有“余维 1 的奇异性”这一事实；后来发现“解析空间”也发生了类似的现象。此外，“归一化”（也就是说，对于各种局部环来说，运算包括取它们的积分闭包）本身也成为现代代数几何武器库中的强大工具。

D) 研究模和同源代数的影响。 E. Noether 和 W. Krull 在代数中的工作的显着特征之一是“线性化”倾向，扩展了 Dedekind 和 Steinitz 在域理论中印记的类似方向；在其他字中，正如*模*一样，理想被视为高于一切，因此人们被引导将线性代数（商，乘积，以及最近的张量积并形成同态模）所得的的所有构造应用于它们一般在模不再是理想的。因此，很快就可以看出，在许多问题中（无论是交换性问题还是非交换环问题），研究环 $A$ 的理想并不符合我们对极限的兴趣，但它是必要的，相反，对于 $A$ 模而言，更一般地陈述定理（最终受制于某些有限性条件）。

同源代数的介入只会强化之前的趋势，因为代数的这个分支本质上涉及的是“线性”性质的问题。我们不应该在这里追溯它的历史；但有趣的是点指出，同源代数的几个基本概念（例如投射模和函子Tor的那些）是由于对模相对于戴德金环相对于张量积的行为进行仔细研究的结果而诞生的，这项研究由H. Cartan在2007年进行。 1948年。

相反，可以预见，同源代数以自然的方式引入模的新类作为函子Ext（投射模和单射模）和函子Tor（平模）的“通用湮没子”，将为交换代数。它

E. Noether 在她 1927 年的回忆录中明确提到了这种概括的可能性（[236 b]，p. 30）。 $^{35}$ 希尔伯特已于 1893 年陈述了一个特殊情况 ([163 a], v. II, p. 290)。

事实证明，特别是投射模，甚至更平坦的模已被证明是有用的：后者的重要性首先来自注，首先由Serre [283 b]提出，本地化和完成自然地引入平坦模，从而以更令人满意的方式“解释”这两个已知的运算的属性，并使它们的使用更加容易。值得一提的是，同调代数的应用远不止于此，它在代数几何中发挥着越来越深的作用。

E) 概念频谱。 交换代数的新概念的最后一个日期有着复杂的历史。希尔伯特谱定理引入了希尔伯特空间的正交投影算子的有序集，构成了“布尔代数”（或者更好的布尔格），双射对应中的$^{36}$和类布尔格可测量的子集（对于适当的测量）$\mathbf{R}$。毫无疑问，他早期关于希尔伯特空间算子的工作促使 M. H. Stone 在 1935 年左右以一般方式研究布尔格，特别是在一定条件下通过集合的子集（或子集的类）寻找其中的“表示”。 等价关系）。他观察到，当乘法由 $xy = \inf(x, y)$ 定义且加法由 $x + y = \sup(\inf(x, y'), \inf(x', y))$ 定义时，布尔格就变成交换环（此外还有一个非常特殊的型）。在离开有限集合 $X$ 的所有子集的布尔格 $\mathfrak{P}(X)$ 的特殊情况下，立即可见 $X$ 的元素处于自然双射对应中，最大理想为相应的“布尔” 环；并且斯通精确地获得了其在最大理想的集合上关于布尔格的定理关于表示的一般包含[301a]。

另一方面，众所周知，布尔格的经典例是集合或子集，它们在拓扑空间中都是开闭的。在第二项工作 [301 b] 中，斯通表明事实上每个布尔格也与此类布尔格同构。为此，自然有必要对“布尔”环的最大理想的集合进行定义拓扑；这是非常简单的，通过将最大理想包含 $a$ 的每个理想 $a$、集合视为闭合集合。

这里我们不应该谈论这些思想对泛函数学分析的影响，它们在I发展的范数代数理论的诞生中发挥了重要作用。格尔凡德和他的学校。但在 1945 年，雅各布森观察到[172 c]，斯通提出的定义拓扑的过程实际上可以应用于每个环$A$（可交换或不可交换），只要人们将理想的集合而不是最大理想的集合，而是两侧的集合 “原始”理想（即两侧理想 $b$ 使得 $A/b$ 为本原环）；对于交换环，当然获得了最大理想。从他的角度来看，Zariski 在 1944 年 [340 a] 使用了类似的

$^{36}$ 布尔格是有序格 $E$，至少具有元素 $\alpha$ 和最大元素 $\omega$，其中律 sup 和 inf 中的每一个相对于另一个是可分配的，并且对于每个 $a \in E$，存在且仅有一个这样的 $a' \in E$ $\inf(a, a') = \alpha$和$\sup(a, a') = \omega$。

方法 for defining 拓扑 on 集合 of places of an algebraic 函数域.然而，对于大多数代数学家来说，这些拓扑仍然是简单的好奇心，因为它们通常不是豪斯多夫，并且人们不愿意使用如此尴尬的对象，这是可以理解的。这种不信任直到 1952 年 A. Weil 证明每个代数簇都能以自然的方式由前面的型的拓扑提供，并且这个拓扑允许定义（与微分或解析簇的情况完美类比）的概念的纤维空间 [330 e]；很快，之后 Serre 就有了将相干滑轮理论扩展到这些簇的想法，因此，拓扑在“抽象”簇的情况下提供了与 C 中基域时通常的拓扑相同的服务，特别是在涉及代数方法的应用方面拓扑 [283 a 和 b]。

从那时起，在所有交换代数中使用这种几何语言就很自然了。人们很快发现，考虑极大理想通常不足以获得方便的叙述，$^{38}$，而足够的概念是环素理想的集合，以同样的方式拓扑。随着谱的概念的引入，现在我们可以使用一本字典，允许用非常接近Weil-Zariski时期代数几何的几何语言来表达交换代数的每个定理；此外，这立即导致了最后一个框架的相当大的扩展，以这种方式，从点的角度来看，交换代数现在几乎不比最基本的部分[138a]更多。

$^{37}$ 受限于“最大谱”的不便源于以下事实：如果$\phi : A \to B$是环的同态且$n$是$B$的极大理想，$\phi^{-1}(n)$不一定是$A$的极大理想，而对于每个素理想$B$的$p$，$\phi^{-1}(p)$是$A$的素理想。 Therefore it is not possible in general to associate with $\phi$ in a natural way a mapping of the set of maximal ideals of $B$ into the set of maximal ideals of $A$.

$^{38}$ 受限于“最大谱”的不便源于以下事实：如果$\phi : A \to B$是环的同态且$n$是$B$的极大理想，$\phi^{-1}(n)$不一定是$A$的极大理想，而对于每个素理想$B$的$p$，$\phi^{-1}(p)$是$A$的素理想。 Therefore it is not possible in general to associate with $\phi$ in a natural way a mapping of the set of maximal ideals of $B$ into the set of maximal ideals of $A$.