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8. 非交换代数。

我们已经在 Hamilton [145 a] 和 Grassmann ([134], v. I_2) 的著作中看到了 (p. 62) 第一个非交换代数如何在 1843-44 年出现。汉密尔顿在介绍四元数时，已经对有限秩的任意代数超过实数的域有一个非常清晰的概念（[145 a]，序言，第（26）-（31）页）。$^1$在发展他的理论时，稍后，他有了考虑他所谓的“双四元数”的想法，也就是说代数超过复数，具有与四元数的域相同的乘法表；他在这个场合观察到，这个扩张具有引发除子或零幻影的效果（[145a]，p. 650）。格拉斯曼的观点中的点有些不同，在很长一段时间内，他的“外部代数”将或多或少地与代数、$^2$的理论保持距离，但在他的语言中，其仍然缺乏精确性，第一个想法是由系统定义的代数（有限维或不是系统） 生成元和关系不能错过被认出的机会 ([134], v. II_1, pp. 199-217)。

代数的新例在1850-1860年以或多或少明确的方式引入：如果凯莱发展了矩阵的理论（[58]，v.II，第475-496页），尚未考虑方阵组成代数 （点的观点直到1870年左右皮尔士[248c]才会被清楚地表达出来），至少他已经注，此时，阶2的矩阵系统的存在，其中满足乘法表的存在四元数，注可以被视为 a 的第一个例

Hamilton没有提到$^1$两个代数的同构的概念；但从那时起，英国学校的数学家，尤其是摩根和凯莱的数学家，就清楚地知道基的变换并没有对正在研究的代数进行实质性修改（关于例，请参阅凯莱对秩2的代数的工作（[58]，v.1）。 I，第 128-130 页））。

$^2$ 也许其原因必须从以下事实中看出：除了“外部”乘法之外，格拉斯曼还在多向量之间引入了他所谓的“回归”和“内部”乘法（这在他看来取代了所有涉及二元性的东西）。 无论如何，在 1900 年左右，《百科全书的研究嘉当》（Study-Cartan of the Encyclopaedia）一文中（[52 a]，v. II_1，第107-246页），外部代数不属于联想性代数，而是单独处理，并且没有指出秩4的代数型（型VIII p. 180）是无之一维数 2 的代数以上空间以上除外。

代数.$^3$ 线性表示另一方面，在回忆录定义有限群的摘要概念中，他也给出了这样的群代数经过定义，除此之外没有得到任何东西其中定义（[58]，v.II，p. 129）。

点之前 1870 年没有其他显着进展；但此时研究在有限维（超过实数的域或复数）的代数一般结构开始。 B. Peirce 在这条道路上迈出了第一步。他引入了幂零元的概念，幂等的元素，证明了代数（有或没有恒等），其中至少一个元素不是幂等的包含是幂等的$\neq 0$，写下了著名的分解

（e 幂等，$x$任意元素），并且具有幂等的分解到对中正交的“原始”幂等和的想法（仍然有点不精确）[247]。同样，根据 Clifford ([65], p.274)，$^4$ 必须归功于 B. Peirce，这必须归因于两个代数中的张量积的概念，Clifford 本人隐式地应用于 Hamilton 的“双四元数”的推广 ([65]，第 181-200 页)，并明确地应用于该研究几年后，以他的名字命名的代数（[65]，第397-401和266-276页）。 B. Peirce 使用这些新的概念对代数、小维数（超过复数）、问题进行分类，在 1880 年左右，学校也受到英美其他数学家学校（以凯莱和西尔维斯特为首）的攻击。因此，可能的结构的多样性很快就变得显而易见，毫无疑问，这一事实将在接下来的时期内引导研究获得具有更特殊属性的代数类。

在思想演变相当不同的大陆上，这样的研究已经在1880年出现了之前。1878年，Frobenius证明四元数构成了交换域（有限维）的唯一例超过域的实数（[119]， v. I，第 343-405 页）——两年后由 C 独立发表的结果。 S.皮尔斯[248d]。从 1861 年开始，Weierstrass 在他的讲座中准确地阐述了高斯的注，

$^3$说实话，凯莱并没有证明这个存在，也没有明确地写下所讨论的矩阵，并且在那一刻似乎没有注意到某些必然是虚构的（在所有这些回忆录中，从来没有弄清楚矩阵中出现的“数量”是真实的还是复杂的；然而，复数是偶然出现的p. 494）。人们可能会认为，阶到认同汉密尔顿的“双四元数”以及阶2的复数矩阵只需要一步；事实上，这个结果直到 1870 年 Peirces 才被明确表述（[247]，p. 132）。 C介绍了代数的正则表示的总体思路。 S. Peirce 1879 年左右 [248 c]；拉盖尔 (Laguerre) 早在 1876 年就预见到了这一点 ([192], v. I, p. 235)。

$^4$ B. Peirce 于 1871 年在伦敦遇见了 Clifford，两人都多次提到他们的谈话，其中一次谈话无疑发生在伦敦数学会的会议上，皮尔斯在会上展示了他的结果。

将交换代数在$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$上没有幂零元$^5$的特征描述为直和或域（与$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$同构的）；戴德金在 1870 年左右根据他的交换域理论的“超复杂”概念得出了相同的结论；他们的证明于1884-85年出版（[329 a]，第II，第311-332页和[79]，第II，第1-19页）。也是在 1884 年，H. Poincaré 在一篇简短而神秘的注（[251 a]，v.V，第 77-79 页）中，提请人们注意考虑方程 $z_i = \phi_i(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)$ 的可能性，该方程表示代数中的乘法律 $(\sum_i x_i e_i)(\sum_i y_i e_i) = \sum_i z_i e_i$，定义（当然是本地的）李群。这个注似乎给李及其弟子（Study、Scheffers、F. Schur 以及稍后的 Molien 和 E. Cartan）留下了深刻的印象，他们此时正忙于发展“连续”理论群，尤其是分类的问题（特别参见[271]，p. 387）； 1885-1905年期间，它指导学校的数学家应用于代数方法的结构的研究，与他们在李群和李代数的研究中使用的方法相同。这些方法首先依赖于代数相对于其正则表示的元素特征多项式的考虑（前面引用的Weierstrass和Dedekind的工作中已经满足的多项式）以及将该多项式的分解转化为不可约的因子； 分解，正如 Frobenius 稍后会发现的那样，分解的正则表示反映为不可约分量。

在代数的谎言的研究到学校期间，该理论的“内在”概念逐渐显现。部首的概念出现在特殊情况下（部首的商是域的直接和），G. Scheffers在1891年[271]，更清楚的是Molien [224 a]和Cartan（[52 a]，v. II$_1$，第7-105页），他们研究一般情况（字“激进”本身来自 Frobenius（[119] v.III，第 284-329 页））。 Study 和 Scheffers [271] 将代数的概念与其他几个概念的直和一样突出（B. Peirce 已经预见到了（[247], p. 221））。最后，通过 Molien [224 a] 引入代数的商代数，概念本质上等价于双面理想（由 Cartan 首次定义（[52 a]，v. II$_1$，第 7-105 页））或同态（这个名称也应有的）弗罗贝尼乌斯）；与群的类比在这里非常尖锐，稍后在1904年，Epsteen和Wedderburn将合成序列视为双面理想，而扩展对他们来说是Jordan-Hölder定理。这一时期最重要的结果是T. Molien的结果[224 a]：在简单的群的概念的指导下，他定义单代数（超过$\mathbf{C}$）并证明这些是矩阵代数，然后证明任意代数的结构超过有限秩

$^5$ 事实上，Weierstrass 对他的代数施加了更严格的条件，即方程

C 约化基本上适用于根式的商为直和与域的情况（谢弗斯已研究过）。 这些结果很快之后再次被E发现并以更清晰、更严格的方式建立。 嘉当（[52a]，v. II₁，第 7-105 页），他在这次介绍了半单代数的概念，并提出了与域C上的任意代数相关的数值不变量（“嘉当整数”）——从而带来了这些理论代数到点，从那以后我们几乎没有取得任何进展；$^6$最后他将Molien和他自己的结果扩展提高到代数超过$\mathbf{R}$。

1900 年左右，一场思想运动兴起，导致在所有涉及线性代数的事物中放弃标量域上的所有限制；特别是要发挥美国人对E周围的学校研究有限域的旺盛推动力。 H. 摩尔和L。 E. 迪克森；这个研究最引人注目的结果是 Wedderburn 的定理 [328 a] 证明，即每个有限域都是可交换的。 1907 年，Wedderburn 再次采用嘉当的结果并将扩展变为任意基域 [328 b]；这样做，他完全放弃了他的祖先的方法（一旦基域不再代数封闭或完全有序，它就变得不适用），并通过完善它返回到B。 皮尔斯的幂等技术，使他能够将半单代数的结构放入确定的形式定理，其研究被简化为非交换域的研究。 进一步地，标量的域扩张问题在他采用的角度被自然地表述，他证明每个半单代数仍保留基域、$^7$的半单、之后可分扩张而成为矩阵中央代数的直和，如果这个扩张取得足够大（[328 b]，p. 102）。$^8$稍后，Dickson，对于$n = 3$ [88 a] 和 Wedderburn 本人对于任意 $n$ [328 c] 给出第一个例非交换域的

$^6$ 根本困难来自部首的研究，部首结构尚未找到满足分类原理。 $^7$ 在 Wedderburn 写作时，概念或可分扩张尚未定义；但他隐含地使用了假设，如果基域上的不可约多项式$f$在这个域的扩张中有根$x$，那么必然有$f'(x) \neq 0$（[328 b]，p. 103）。直到 1929 年，E. Noether 才指出了与标量的扩张和域不可分性相关的现象 [236 c]。 让我们在这里提到与可分离性问题相关的另一个结果（现在附加到同源代数），代数的分解作为其部首的直和（但不是直接乘积！）和半单代数。这个结果（当标量的域为 $\mathbf{C}$ 时已由 Molien 证明，而当代数大于 $\mathbf{R}$ 时已由嘉当证明）由 Wedderburn 在其一般形式中陈述，他实际上仅在代数与其根式的商很简单时证明了这一结果（[328 b]，第 144 页）。 105-109）除了使用与上述相同的假设不可约多项式。 $^8$ 群的线性表示的算术研究同时开始，也导致考虑表示的中和域的等价概念 [279 d]。

秩$n^2$超过了中心，$^9$，因此在特定情况下开创了“交叉乘积”和“因子集合”的理论，该理论后来由R. Brauer [34 a]和E. Noether [236 c]发展。最后，1921 年，Wedderburn 证明了交换定理 [328 d] 的特例。

从 1896 年到 1910 年，在 Frobenius、Burnside 和 I 的手中，它得到了发展。 Schur，与代数理论相邻的理论，线性表示或群的理论（最初仅限于表示或有限群）。它起源于戴德金的注：后者（甚至之前他在代数上的作品的出版）在1880年左右，在他的研究期间在伽罗瓦扩张的正常基上相遇，“群体决定因素”$\det(x_{st^{-1}})$，其中$(x_s)_{s \in G}$ 是序列的不定式，其中指标的集合是有限群 $G$（在其他字、范数中，群代数的泛型元素） $G$相对于其正则表示）；他观察到，当$G$是阿贝尔的时，这个多项式分解为线性因子（它推广了“循环”行列式的恒等式之前，即对应到循环群$G$）。戴德金在 1896 年与 Frobenius 进行非常有趣的对应 ([79], v. II, 第 414-442 页) 期间，提请他注意这个性质，它与阿贝尔的群的特征标理论的联系 [327 c] 和一些他在 1886 年获得的特定非交换性群的类似结果。几个月后，弗罗贝尼乌斯完全解决了“群行列式”的分解的问题。转化为不可约的因子（[119]，第III，第38-77页），这要归功于他对特征标的概念的出色概括（[119]，第III，第1-37页），我们在这里不应该谈论它。但必须指出的是，在这一理论后来的发展中，$^{10}$弗罗贝尼乌斯始终意识到其关系相对于代数的理论（戴德金在他的信件中也从未停止过坚持）；和之后引入了不可约表示和完全可还原的表示的群概念（[119]，v.III，第82-103页），并表明正则表示包含所有不可约表示，正是通过类似的方法，他于1903年提出再次采用莫连-嘉当理论（[119]，第III，第284-329页）。与 Burnside [44 a] 和 I。 Schur [279 c]，该理论的“超复杂”方面并没有明确出现；但正是通过它们，不可约表示、Schur 的引理和 Burnside 的定理的基本性质才得以显现。最后，为了我们的目的，必须指出的是，正是在这个理论中，首次出现了交换定理的两个特殊情况：在I的论文中。 Schur[279a]将线性群的表示和对称群的那些连接起来（正是通过张量空间自同态环中的交换），并且在他1905年的工作中[279] c]，他证明矩阵可以置换为

$^9$ 让我们以注为例，在《几何原理》中，希尔伯特在其中心上给出了无限秩的非交换域的例（[163 c]，第107-109页）。 Frobenius结果中的$^{10}$部分是由T. Molien于1897年独立获得的[224 b]。

域 $\mathbf{C}$ 上的所有不可约表示矩阵都是 $I$ 的标量倍数（这个结果也从 Burnside 的定理流出）。

仍然需要清楚地理清这些理论的公共的基础：这是德国人学校在1921-1933年间围绕E. Noether和E. Artin所做的工作，见证了现代代数的创建。早在 1903 年，H. Poincaré 在回忆录关于线性微分方程的代数积分（[251 a]，v.III，第 140-149 页）中就已经在代数中定义了左理想和右理想以及概念的最小理想；他还指出，在半单代数中，每个左理想都是其简单组件的交的直和，而在阶$n$的矩阵的代数中，最小理想是维数 $n$；但他的工作仍未引起代数学家的注意。$^{11}$ 1907 年，Wedderburn 定义重新提出了代数的左理想和右理想，并证明了一些性质（值得注意的是，根式是最大的幂零左理想（[328 b]，第 113-114 页））。但我们必须等到 1927 年，这些概念才能在代数理论中得到本质的应用。$^{12}$ 将证明的一般形式程序放入之前到处出现的$^{13}$ W. Krull 在 1925 年 [187 a] 和 E. Noether 在 1926 年[236 b]系统地介绍和使用最大和最小条件；第一个用于使用运算符将扩展到阿贝尔的群（这次是定义）Remak 将有限群的分解上的定理转换为不可分解的群的直接乘积，而第二个带来这些条件融入了戴德金环的表征。 1927年，E. Artin [7 c]，应用与非交换环相同的想法，展示了如何通过对最小理想的系统研究，Wedderburn的定理可以扩展到所有环，其左理想满足既最大又最小条件。$^{14}$

另一方面，Krull 在 1926 年 [187 b] 将阿贝尔的群的概念与运算符联系起来，以及线性表示与群之间的联系； 点的观点概括为代数，并由 E. Noether 在 1929 年的基础著作 [236 c] 中详细发展，由于所引入的思想的重要性和阐述的清晰度，值得保留

$^{11}$ 让我们也注，在这个回忆录中，庞加莱观察到集合个算子，在群代数中，消灭了线性表示空间的向量，群，形式左翼理想；他点指出这个注可以应用于线性表示的理论（[251a]，v. III，p. 149），但从未发展过这个想法。

$^{12}$ 有趣的是注，在区间中，左理想或右理想的概念出现，不是在代数的研究中，而是在E. Noether和W. Schmeidler [238]的著作中，专门研究微分算子的环。

$^{13}$ 最大条件（在“上升链条件”的形式中）可以追溯到戴德金，他在代数数域的理想研究中明确引入了它（[79]，v.III，p. 90）；使用“下降链”的论证的第一个例无疑是在1907年韦德伯恩的回忆录（[328 b]，p. 90）中关于双面理想的。

$^{14}$ 1929 年，E. Noether 证明，对于没有根式的环，这些定理仅适用于假设最小条件成立 ([236 c], p. 663)； C。霍普金斯在 1939 年证明，仅这个条件就迫使激进式幂幂为零 [167]。

与 Steinitz 的回忆录交换域一起成为现代线性代数的支柱之一。$^{15}$

最后，在 1927 年开始的作品级数 ([237], [34 a], [236 d]) 中，E. 诺特和 R. 布劳尔（A. Brauer 于 1929-31 年加入） 阿尔伯特和 H. Hasse）在 Wedderburn 和 Dickson 留下的点处再次开始对左域的研究。 如果他们的结果中最重要的部分在于对布劳尔群的深入研究（特别是对代数数的域），因此超出了注的框架，那么无论如何让我们点指出，正是在这项工作的过程中，交换定理被精确地表述为以及域的概念中和单代数及其关系与极大交换子域；最后，在 1927 年，Skolem 描述了简单环 [286 b] 的自同构，几年后 E 再次发现了定理。 诺特 [236 b] 和 R. 布劳尔[34a]。

因此，到了1934年，简单和半单环的基本理论才刚刚达到最后的阶段（现阶段理论状态的揭示，参见[87]）；从那时起，它一直在向两个不同的方向发展，我们极限自己简要提及。一方面，R. Brauer和E. Noether的“因子集合”理论最近受到新的推动，将其纳入现代同调代数.$^{16}$ 另一方面，人们对扩展（至少在部分）进行了许多尝试，或多或少地成功了，将经典理论的结果推向没有最小条件$^{17}$的环或没有恒等式的环。但迄今为止，这些扩张几乎没有对数学的其他分支产生任何影响；有关这项工作的更多详细信息，请参阅 N. Jacobson 最近的报道 [172 b]。

$^{15}$ 正是在那里，首次在群的同态的形式概念与运算符、逆环、双模，以及著名的“同构定理”（已经出现在交换律中）中被发现。 [236 b] 中的群）。众所周知，后者的特殊情况或推论已经出现了很长的之前，对于例（对于第二个同构定理），霍尔德与有限群[165]有关，与戴德金有关阿贝尔的群（[79]，v. III，第 76-77 页），与 Wedderburn 讨论双面理想（[328 b]，第 82-83 页）；至于第一个同构定理，则是de Ségurier在1904年明确指出的例（[86]，p. 65）。

$^{16}$ 我们不应该在这里做这个理论及其关系和群扩张概念和另一个的历史；但对于注来说，第一个“因子集合”的出现正是与群扩张的问题相关，在1904年的回忆录，其中I。 Schur创立了群的“射影表示”理论[279 b]。

$^{17}$ 从 1928 年起，克鲁尔将有限长度的半单模上的一般定理扩展到任意半单模（[187 c]，第 63-66 页）。