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9. 二次形式；基本几何。

二次形式的理论，从其现代角度来看，很难追溯到十八世纪下半叶的之前，而且，正如我们将看到的，它的发展主要是为了满足算术、数学分析和力学的需要。 但这个理论的基础概念实际上是从“欧氏”几何学开始就出现的，它们构成了几何学的框架。 因此，回顾它的历史，就不能不讲（至少以概括的方式）自古以来“初等几何”的发展。 Of course, we will only be able to link up with the evolution of a few general ideas, and the reader must not expect to find here precise information on the history of such or such a particular theorem, about which it will suffice to refer back to specialised historical or didactic works.$^1$ It goes without saying also, when we speak below of various possible interpretations of the same theorem in various algebraic or geometric languages, that we do not intend at all to say that these “translations” have at all times been as familiar as they are today; quite on the contrary, it is the principal goal of this Note to show how, very gradually, mathematicians have become conscious of these relationships between questions often of very different aspect; we will also have to show how, doing this, they have been led to put some coherence in the mass of theorems from geometry bequeathed by the ancients, and finally to try to delimit exactly what should be understood by “geometry”.

如果我们不考虑巴比伦人发现的第二个次数方程的公式对解的发现（[232]，第183-189页），那么在它们的几何伪装下，二次形式理论的主要概念的诞生就必须被注意到。这些首先出现为距离的平方（在平面上或三个维数的空间），并且通过直角引入“正交性”的相应的概念，由欧几里得定义为直角的一半（*元素*，BookI，Def.10）；距离的概念和直角由毕达哥拉斯的定理连接起来，欧氏大厦的基石。$^2$角度的概念似乎很早就在希腊数学中被引入（毫无疑问，希腊数学已经接受了它）

$^1$ 参见（[311]，第 IV 至 VI），以及 [185] 和 [106]，第 III。 $^2$ 大多数古代文明（埃及、巴比伦、印度、中国）似乎已经独立地达到了叙述，涵盖了“毕达哥拉斯的定理”的某些特定情况，印度教徒甚至有这个定理的证明的原理的想法，与欧几里得中发现的（欧几里得给出了两个其中证明，来自巴比伦人，他们凭借长期的天文经验而开始使用角度）。众所周知，古典时期只定义了小于2个直角的角（欧几里得的“定义”与他给出的直线和平面一样模糊且无法使用）；方向的概念没有被提出，尽管欧几里得使用了（没有公理或定义）一条直线除将平面分成两个区域的事实，他在必要时仔细区分了这两个区域。$^3$在这个阶段，平面旋转的群的想法仅以非常不完美的方式通过加法显现出来（欧几里得也引入了，但没有解释）半线的非有向角，仅在原理中定义，当和至多等于两个直角时。$^4$至于三角学，它被几何学家鄙视，被测量学家和天文学家抛弃；正是后者（阿里斯塔克斯、喜帕恰斯、托勒密，尤其是[255]）建立了直角三角形（平面或球面）的边和角之间的基本关系，并绘制了第一个表（它们由表组成，给出了在半径为半径的圆上以角度$\theta < \pi$切出的圆弧的弦） $r$，其他字数$2r \sin \frac{\theta}{2}$；正弦的引入，更容易处理，是中世纪印度数学家的贡献）；在计算这些表时，加法弧的公式目前未知，被托勒密的定理的等效使用所取代（也许可以追溯到喜帕恰斯）

有向角的$^3$概念及其各种变体（线间角、半线间角）直到晚期才出现。在解析几何中，欧拉 ([108 a], (1), v. IX, 第 217-239 页和 305-307) 引入了极坐标，以及采用任意值（正或负）的现代角度概念（以弧度测量）。 L。卡诺[51]开创了在整个十九世纪将“综合”几何与解析几何对立的趋势。为了尽可能独立地发展第一个概念，他在阶避免了古代几何学家的“图形情况”，系统地引入了有向量、长度和角度；不幸的是，他的作品相当复杂，因为他对使用否定的数（他认为这是矛盾的！）和替换使用不同的数字之间难以管理的“对应符号”的系统抱有偏见。我们必须等待莫比乌斯（[223]，v.II，第 1-54 页）将有向角的概念引入合成几何的论证中；然而，就像他的继任者直到最近一样，他只知道如何通过直接诉诸空间直觉来引入方向（所谓的“安培人”规则）；只有随着$n$维几何和代数拓扑的发展，才最终达到“可定向空间”的严格定义。

$^4$ 尽管如此，人们在欧几里得中至少有两段谈到“和”可能超过2个直角的角度，即三面体的面所满足的不等式（元素，书XI，第20和21条）（更不用说关于角度“测量”的“论证”，这无疑是一种插值(cf.p. 164));因此，在这两段话中，欧几里得似乎被直觉所束缚，超出了他自己的定义的授权范围。他的继承者们仍然不那么谨慎，普罗克卢斯（Proclus）对于例（五世纪之后J.C）毫不犹豫地陈述了一个通用的“定理”，给出了凸多边形角度的和（[153e]，v.I，p. 322）。

在圆内接的四边形上。还必须注意的是，Euclid 和 Hero 给出的命题相当于公式

任意平面三角形的边和角之间；但人们几乎看不到双线性形式与形式相关的概念的第一次出现，因为缺乏向量演算的概念，而向量演算只会出现在19世纪。

欧几里得知道位移（或运动，两者概念之间的区别在古代并不明确，甚至更晚）。但是，由于我们不知道的原因，他似乎对使用它感到明显的反感（对于“三角形等式的情况”中的例，给人的印象是他只使用了概念位移，因为他无法制定适当的公理（[153 e]，v.I，第225-227页）和249））；然而，正是对于位移（绕轴旋转）的概念，他才可以求助于旋转锥体和球体的定义（元素，书XI，定义14和18），以及阿基米德的旋转二次曲线。但是，应用于整个空间的变换的一般思想，对十八世纪末的数学思想之前来说或多或少是陌生的；十七世纪的$^5$和之前，无论是概念还是合成的运动，也没有发现$a fortiori$的痕迹。 合成位移。当然，这并不意味着希腊人没有特别意识到图形的“规则性”和“对称性”，我们现在将其附加到位移的概念或群：他们的正多边形理论，甚至更多的正多面体理论（他们所有数学中最引人注目的章之一）都证明了相反的观点。$^6$

最后，在我们关心的领域，希腊数学的最后一个重要贡献是二次曲线理论（就二次曲线而言，希腊人只知道某些旋转二次曲线，除了球面之外，对它们的研究并不深入）。这里注有趣的是，尽管希腊人从来没有解析几何的基本原理的想法（本质上是因为缺乏可管理的代数），

$^5$ 除了制图师和绘图员的“投影”之外，很难将概念称为例；立体投影为托勒密所熟知（在十六世纪，人们知道它可以保持角度），而中央投影在笛沙格的作品中发挥着主要作用[84]；但这是整个空间（或一个表面）与平面之间存在对应的问题。 反转的性质之一，我们今天用说表示圆的变换是圆或直线，Viète 基本上知道这一点，并且由他在关于圆的构造的问题中使用；但无论是他，还是将扩展构造引入球面的费马，都没有引入反转作为平面或空间变换的想法。

$^6$ 参见[291]，其中还可以发现有趣的注关于位移理论群与古代和中世纪文明所提出的不同装饰物型之间的联系。

为了研究特定的“图形”，他们通常使用相对于平面中两个（甚至两个以上）轴的“坐标”（与图形密切相关，这是基本的点之一，其中它们的方法与费马和笛卡尔的不同，后者的轴独立于所考虑的图形而固定）。 特别是，与立方体复制的问题相关的第一个圆锥曲线（除了圆）例，是由方程$y^2 = ax, y = bx^2, xy = c$（Menechme，Eudoxus的学生，四世纪中叶）给出的曲线；$^7$，它是二次曲线方程（通常参考由直径和切线组成的两个斜轴）与曲线接触的点之一）最常用于研究问题相对于这些曲线的情况（而“焦点”属性只起到非常淡化的作用，这与仅追溯到十九世纪的学术传统让我们相信的相反）。 从这个庞大的理论中，我们首先必须记住共轭直径的概念（阿基米德已经知道），以及性质，今天充当点极线的定义，由阿波罗尼乌斯[153 b]给出，当点在圆锥曲线外部时（因此对他来说极线是连接的直线）由此点发出的切线的接触点)；从我们的点的角度来看，这是关于二次形式的“正交性”的两个例，与度量形式不同，但众所周知，这些概念与经典的垂线概念之间的联系在当时是不可能被想象出来的。

点之前笛卡尔和费马几乎没有任何其他进展；但从解析几何的开端，二次形式的代数理论开始从其几何外壳中出现：费马知道平面中第二个次数的方程代表圆锥曲线（[109]，v.I，第100-102页；法语翻译，v.III，第84-101页）并概述了有关二次曲面的类似想法（[109]，v. I，第 111-117 页；法语翻译，v. III，第 102-108 页）。十八世纪期间，随着解析几何在 2 和 3 维数的发展，该理论的两个核心问题出现了（特别是与二次曲线和二次曲线相关）：将平方的二次形式简化为和，并寻找其相对于度量的“轴” 形式。对于二次曲线来说，这两个问题太初等，无法产生重要的代数进展；对于任意数变量，第一个问题由拉格朗日于 1759 年解决，与多个变量的函数最大值相关（[191]，v. I，第 3-20 页）。但这个问题几乎立刻就被寻找轴的过程所掩盖，甚至秩的之前不变性已经被表述出来；$^8$至于律惯性，

$^7$ 看来，根据前面的方程（cf. [153 b]，第 XVII-XXX），将这些曲线视为具有圆形基（也归因于 Menechme）的圆锥平面截面的想法晚于它们的定义。

$^8$ 由于问题的性质，将问题独立于坐标轴选择，拉格朗日不可能错过注意到，因为他的程序包含很多任意的内容，但他仍然缺少概念，这使他能够声明它是雅可比在1850年左右才发现的（[171]，第III，第177页）。 593-598），他用与现在相同的论点证明了这一点，而西尔维斯特（[304]，v.I，第378-381页）极限自己将其陈述为准显而易见的。$^9$

将二次曲线简化为其轴的问题已经呈现出比二次曲线的类似问题大得多的代数困难；第一个解决这个问题的欧拉无法证明特征值的真实特征标，他承认之后是在没有信念的情况下试图证明其合理性（[108a]，（1），v.IX，第379-392页）。$^{10}$考虑到这个点大约在 1800 年正确成立[140]，我们必须在变量的任意数 $n$ 中等待柯西求出相应的定理的证明形式 ([56 a], (2), v. IX, pp. 174-195）。柯西大约在同一时间证明了给出特征值的特征方程在所有正交变换轴下是不变的 ([56 a], (2), v. V, p. 252);$^{11}$，但对于 $n = 2$ 或 $n = 3$，这种不变性为由于特征值通过相应的圆锥曲线或二次曲线的轴进行几何解释，因此直观上“显而易见”。此外，在研究关于这个主题的课程中，特征值的初等对称函数也自然出现（具有各种几何解释，特别是与阿波罗尼乌斯在共轭直径上的定理有关），特别是判别式（长期以来与$n = 2$有关的理论）第二个次数) 的方程首次出现于 $n = 3$ 与 Euler ([108 a], (1), v. IX, p. 382)；后者在二次曲面的分类中满足了它（在表达条件时，二次曲面在无穷远处不具有点），并且没有提到它相对于正交轴变换的不变性。但稍后，随着具有积分系数的二次形式算术理论的开始，拉格朗日注（对于$n = 2$）是线性但非正交变量变换下判别式不变性的特殊情况（[191]，

正是这个想法：“至于其余的”，他说，“为了不误解这些研究，必须注意的是，变换后的量[转换为平方的和]很可能与我们给出的不同的形式；但是，在更仔细地研究这个问题时，人们总是会发现，无论它们是什么，它们总是可以简化为这些，或者至少包含在其中[？]”（前述，p. 8）。

$^9$高斯在他的部分上达到了这个结果，并在他的讲座中通过至少平方的方法证明了这一点，正如黎曼在1846-47年跟随他的讲座所见证的那样（[259 b]，p. 59）。

$^{10}$ 他在确定固体的惯性主轴方面比较幸运：将问题简化为第三个次数的方程，他观察到这样的方程至少有一个实数根，因此至少有一个惯性轴；以此轴为坐标轴，然后在平面上将其简化为问题，并使用简单的解 ([108 a], (2), v. III, pp. 200-202)。

$^{11}$ 必须注意的是，直到大约 1930 年，“二次形式”的含义始终只是第二个次数相对于给定集合轴的坐标的齐次多项式。看来，只有希尔伯特空间的理论才导致了二次形式的“内在”概念，甚至在有限维的空间中也是如此。

v. III，p. 699），高斯为 $n = 3$ 建立了所有线性变换的判别式的“协方差”（[124 a]，v. I，第 301-302 页）。一旦柯西和比奈证明行列式乘法的一般公式，高​​斯的公式对任意变量数的扩张为直接的；正是这一点，在 1845 年左右，第一次推动了不变量的一般理论。

在希腊人中，取代位移理论（运动理论和图形“对称”理论）的两个概念，在十七世纪和十八世纪刚刚添加了第三个问题，即矩形轴变化的问题，它基本上等同于该理论。 欧拉针对这个问题投入了多项工作，首先重视获得参数表示，这些参数对于公式来说是可以管理的，以改变轴。 众所周知，力学将如何利用他为此目的引入的 $n = .3$ ([108 a], (1), v. IX，第 371-378 页）。 但他自己并没有极限这一点，在1770年考虑了任意$n$、注的正交变换的一般问题，通过引入$n(n-1)/2$角度作为参数就达到了目标，最后，对于$n = 3$和$n = 4$，给出了旋转有理数表示（如函数，分别是4个齐次参数和由关系连接的8个齐次参数），它们正是后来通过四元数理论获得的参数，并且他没有指出其来源（[108a]，（1），v. VI，第 287-315 页）。

另一方面，欧拉还指出了如何分析地翻译对平面图形“对称性”的探索，正是为了这个目的，他才实质上证明了平面位移是旋转，或者是平移，或者是平移后的对称性（[108a]，（1），v.IX，第197-199页）。此时力学的兴起除了对位移的一般研究之外，还导致了对位移的一般研究：但首先，这只是一个与连续运动相切的“无限小”位移的问题：它们显然是托里切利、罗贝瓦尔和笛卡尔的研究中唯一出现的位移合成运动和平面运动的瞬时旋转中心（cf.） p. 177）。约翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 对后者进行了一般性定义；达朗贝尔于 1749 年提出，欧拉于次年提出，扩展概念和证明运动的瞬时旋转轴的存在，而点是固定的。直到 1775 年，欧拉 [108 b] 才在回忆录中描述了有限位移的类似定理，他在其中发现了

12 也与此研究相关，高斯定义了二次方形式的逆（[124a]，v.I，p. 301），并获得条件的正性，因为形式引入了判别式主次式的序列（同上，第 305-307 页）。 13 此外，欧拉没有给出通过这些参数表示的合成旋转的公式；对于$n = 3$，没有找到高斯的之前注（在他的一生中未发表（[124a]，v.VIII，第357-362页））和奥林德·罗德里格斯（Olinde Rodrigues）1840年的工作，他发现了欧拉的参数表示，或多或少落入了当时的困境。

9. QUADRATIC FORMS; ELEMENTARY GEOMETRY.

同时旋转的行列式等于1；第二年，他证明了平面相似性的固定点的存在（[108a]，（1），v.XXVI，第276-285页）。但必须等待 Chasles 的工作，从 1830 年开始[60 a]，在阶最终获得有限和无限小位移的连贯理论。

因此，我们到达了所谓的几何学黄金时代，它被插入到 Monge (1795) [225] 的《几何描述》的出版日期和 F. Klein (1872) 的“埃尔兰根纲领” ([182], v. I, pp. 460-497) 的出版日期之间。我们对几何学的这种粗暴更新所取得的重要进展如下：

A) 无穷远处元素的概念（点，直线或平面），由笛沙格在十七世纪引入[84]，但在十八世纪除了滥用语言之外几乎没有表达，被Poncelet [252]恢复并系统地使用，从而使射影空间成为所有几何现象的一般框架。

B）同时，蒙日，尤其是庞塞莱，实现了复杂射影几何的转变。虚数点的概念在 18 世纪偶尔使用，在这里被利用（与无穷远的点的点的叙述独立于实仿射几何的“图形情况”）。如果一开始为支持这些创新而引入的理由仍然非常尴尬（特别是那些来自“合成”几何学学校成员的理由，其中坐标的使用最终被视为一种耻辱），那么不能会错过的是在那里认识到，在蒙日的“偶然关系”的原理，或在蒙日的“原理连续性”的名义下Poncelet，现代代数几何“专业化”理念的第一个萌芽。14

这些概念的第一个结果是注，在复射影空间中，所有非简并的二次曲线（分别是二次曲线）都是同一类；这使 Poncelet 发现了“各向同性”元素：“任意放置在平面上的圆”，他说，“因此它们之间并不完全独立，正如乍一看可能认为的那样，理想情况下它们在无穷远的公共的中有两个假想的点”（[252]，v.I，p. 48）。后来，他以同样的方式向所有球体引入了“脐带”，即无穷远公共的处的假想圆锥曲线 ([252], v. I, p. 370)；如果他没有特别谈到球体的各向同性生成元，至少他明确强调了对于所有二次曲面，实部或虚部直线生成元的存在（同上，p. 371）；15概念他的追随者（特别是

14 这些“原理”当然是通过代数恒等式的原理或扩张的应用来证明的（正如柯西已经评论过的），因为“综合”几何只考虑通过分析转化为这种性质的恒等式的性质。 15 第一次提到二次曲线的直线生成元似乎是由于 Wren (1669)，他注可以通过

普吕克（Plücker）和查斯勒（Chasles），甚至比他更充分利用这一点，特别是在二次曲线和二次曲线的“焦点”性质的研究中。

C）点变换的概念和合成变换也作为证明的手段以一般方式表述并系统介绍。除了位移和投影之外，直到点只知道某些特定的变换：La Hire和牛顿使用的型$x' = a/x, y' = y/x$的某些平面射影变换，Clairaut和Euler的“亲和力”$x' = ax, y' = by$（[108a]，（1），v.IX，第1章）。 XVIII），最后是一些特殊的二次变换，再次是牛顿、麦克劳林和布雷肯里奇。蒙日在他的《几何描述》中展示了平面投影在 3 维几何中的所有用途。对于 Poncelet，用于证明的系统程序之一，用于过度，包括将二次曲线的投影属性减少到圆的属性（方法已经被笛卡尔和帕斯卡使用过）；在阶中，为了从二次曲面到球面，他发明了空间的射影变换的第一个例，即“同调”（[252]，v.I，p. 357）；最后，他还引入了曲线自身的第一个例双有理变换。 1827 年，Möbius ([223], v. I, p. 217)（以及 1830 年独立的 Chasles ([60 b], p. 695)）、定义最一般的线性射影变换；与此同时，出现了反演和二次变换的其他型，它们的研究将为双有理变换理论奠定基础，该理论将在十九世纪下半叶得到发展。

D）二元性的概念完全公开地出现，并且被发现有意识地与双线性形式理论联系在一起。关于二次曲线的极点和极地理论，自阿波罗尼乌斯以来，仅在笛沙格和拉海尔的帮助下取得了一些进展，蒙日将其扩展到二次曲线，蒙日和他的学生都看到了通过这种方法将已知的定理转化为新结果的可能性。$^{16}$但是，再次归功于Poncelet，将这些注建立成一个通用的数学模型再次得到了赞誉。 方法在“互极”变换理论中，并使其成为一种特别有效的发现工具。稍后，特别是在 Gergonne、Plücker、Möbius 和 Chasles 的帮助下，二元性的一般概念摆脱了与二次形式的联系，与 Poncelet 仍然太接近。特别是，莫比乌斯在检查 3 维数（由双线性形式定义）的空间对偶性的各种可能性时，于 1833 年发现了关于交错的双线性形式的对偶性（[223]，v. I，第 123 页）。 489-515），$^{17}$在十九世纪根据“线性复合体”理论的形式进行了特别研究，并在关系发展到

rotation of a straight line about an axis not in the same plane; but their study was only developed by Monge and his school. $^{16}$ The best known is the theorem of Brianchon (1810), a transform of Pascal's theorem by duality. $^{17}$ In 1828, Giorgini had already met polarity with respect to an alternating form, in connection with a problem of statics [128].

1860 年左右，凯莱 (Cayley)、格拉斯曼 (Grassmann) 和普吕克 (Plücker) 提出了“直线几何”和“普吕克坐标”。

E) 从射影几何诞生之初，对经典几何性质与射影空间关系的深入研究，迅速将它们分为“射影性质”和“度量性质”；毫无疑问，这次分离是后来成为现代的概念与结构最清晰的表现之一。但是Poncelet是第一个引入这种区别和这个术语的人，他已经意识到是什么将这两个型属性联系起来；并且，在 Traité 问题中处理关于角度的问题，其属性“似乎不是那些我们称之为射影的部分 ...，尽管如此，它们仍然以如此简单的方式遵循”，他说，“从原理到形式基 [这项工作] ...，I 不相信任何其他几何理论可以以一种更直接和更简单的方式得出它，如果人们认为图形的投影属性必然是那些可以属于的属性中最普遍的，那么它们必须作为简单的推论包含所有其他属性或特定的关系区域”（[252]，第 I， p. 248）。说实话，在之后这个声明中，看到他以一种非常迂回的方式解决角度问题，将角度与二次曲线的焦点性质联系起来，而不是直接引入循环点，有点令人惊讶；事实上，仅仅30年后，拉盖尔（仍然是巴黎综合理工学院的学生）就通过这些直线与同源各向同性直线的交比给出了直角的表达式（[192]，v.II，p. 13）。最后，凯利（[58]，v.II，第 561-592 页）清楚地表达了平面图形的“度量”属性正是由循环点扩展的图形的“投影”属性这一基本思想——这是通往“埃尔兰根纲领”的决定性中转站。

F) 非欧几里得双曲几何将在 1830 年左右出现，它最初与我们正在追踪的主要特征的运动还有一点距离。出于对触及古典几何基础的本质上逻辑阶的关注，这种新几何由其发明者$^{18}$以与欧几里得几何相同的公理和“综合”形式提出，并且与射影几何没有任何联系（其遵循经典模型的介绍似乎甚至被先验地排除，因为唯一平行线的概念在此消失了）几何）；毫无疑问，正因为如此，在很长一段时间内，它几乎没有引起法国、德国或英国射影几何学校的任何兴趣。此外，当凯利在先前引用的基本回忆录中时（[58]，第II，第561页-

$^{18}$ 众所周知，高斯从 1816 年起就确信证明欧几里得公设是不可能的，并且相信发展出一种该公设无效的几何学在逻辑上是可能的。但他没有发表关于此事的结果，这些结果分别由 Lobatschevsky 于 1829 年和 Bolyai 于 1832 年再次独立发现。更多详细信息，请参见[105 a 和 b]。

592）通过任意二次曲线（他称之为“绝对”）具有替换循环点（被认为是“切向简并”二次曲线）的想法，他根本没有考虑将这个想法与Lobatschevsky-Bolyai的几何联系起来，甚至虽然他指出他的概念如何导致两个之间“距离”的新表达点，并且他提到了它与球面几何的联系。 1870年左右的情况变换，随着洛巴切夫斯基著作的传播、高斯著作的出版​​和黎曼的就职演讲，非欧几里得几何成为数学新闻的焦点。沿着黎曼追踪的路径，贝尔特拉米在不知道凯莱工作的情况下，在 1868 年再次找到了后者给出的距离表达式，但在相当另一个的背景下，通过将圆的内部视为具有恒定曲率的表面的像，其中测地线由直线表示[18a]；两年后，克莱因（独立于贝尔特拉米）对这些不同的点视图进行了综合，并通过发现椭圆非欧几里得空间而完成了这一综合（[182]，v.I，第254-305页）19

G) 在我们在这里考虑的时期的后半段，插入了一段批判性反思的时期，在此期间，“综合”几何的支持者并不满足于将坐标从证明中消除，甚至在他们的几何公理中也假装没有实数。这个学校的主要代表是冯·施陶特（von Staudt），他基本上成功地实现了这一杰作[325]，在他的时代乃至二十世纪都受到高度赞赏；如果今天这个阶的思想没有得到同样的重视，其富有成果的应用可能性相当薄弱，但我们仍然必须认识到，冯·施陶特和他的弟子们的努力有助于澄清实数或复数“标量”在经典几何中的作用，并以这种方式引入了任意基域上的现代几何概念。

1860 年左右，“合成”几何学达到了顶峰，但其统治的终结正在迅速临近。 Having remained heavy and ungracious during the whole of the XVIIIth century, analytic geometry, in the hands of Lamé, Bobillier, Cauchy, Plücker and Möbius, acquires at last the elegance and conciseness that will allow it to fight on equal terms with its rival. Especially, after about 1850, the ideas of group and invariant, formulated at last in a precise way, invade little by little the scene, and it is seen that the theorems of classical geometry are none other than the expression of identical relations between invariants or covariants of the group of similarities,20 in the same way that those of projective geometry express the identities (or

19 球面几何的例一段时间以来导致人们相信，在具有恒定正曲率的空间中，总是存在对或点多个测地线穿过其中。 20 对于例，三角形三个高度方程的第一个成员是三角形三个角的协变体，其相似度为群，并且定理确认这三个高度具有公共的点相当于说，即所讨论的三个协变是线性相关的。

“syzygies”）射影群的协变体之间。 F.克莱因在著名的《埃尔兰根纲领》（[182]，v.I，第460-497页）中权威地阐述了这一论点，他主张放弃“综合”倾向和“分析”倾向之间毫无结果的争论；他说，如果对后者给予任意系统轴特权作用的指控“最常被证明是关于先前使用坐标方法的有缺陷的方式，那么当它是合理应用此方法的情况时，它就会失败......空间直觉的领域并没有被分析方法所禁止......”，并且他强调“我们不能低估一种适应良好的形式主义给随后的研究带来的优势，因为它可以说是思想的提前”（loc.cit.，第488-490页）。

因此，一个结论根据它们产生的群对“几何”的定理进行理性和“结构”分类：射影几何的线性群，度量问题的正交群，“线性复数”几何的辛群。但在这种无情的清晰之下，经典几何——除了代数几何和微分几何之外，$^{21}$从此被构成自主科学——突然闪耀并失去了所有的亮度。基于变换的使用的方法的泛化已经使新的定理的发展有些机械化：“今天，”查斯1837年在他的《Aperçu historique》中说道，“每个人都可以提出自己，采取任意已知的真理，并将其提交给各种一般变换原理；他将得出其他真理，不同的或更普遍的；并且这些真理很容易受到类似的影响。 运算；这样人们就能够将数从第一个推导出来的新真理增加到几乎无穷大……因此，在目前的科学水平下，任何人都可以在几何中进行概括和创造；在阶中为结构添加一块石头不再是必不可少的”（[60 b]，第268-269页）。但随着不变量理论的进步，情况变得更加清晰，它最终成功地（至少对于“经典”群）制定了一般方法，允许在原理中以纯粹自动的方式写下所有代数协变式及其所有“syzygies”；这一胜利同时也标志着经典不变量理论本身以及“初等”几何理论的死亡，就像研究的域一样，$^{22}$在实践中已成为它的简单字典。毫无疑问，没什么

$^{21}$ 我们不应该在这里写这两个学科的历史，也不应该详细考察“埃尔兰根纲领”对其后来发展的影响。我们只提一下，代数几何，之后比研究早了100多年，研究比以往任何时候都更加活跃；至于微分几何，之后在李、达布及其弟子的带领下蓬勃发展，它似乎也受到了与初等古典几何相同的瘫痪的威胁，而当代关于纤维空间和“全局”问题的研究（首先其起源于E·嘉当的思想）开始赋予它活力。

$^{22}$ 这里的字是在克莱因意义上取的，精确到p. 135；某些数学家赋予它更广泛的含义，包括所有可以关于三个维数的平面或空间提出的数学问题，包括困难的先验$a$，在可以随意推出的无限“定理”中，至于那些叙述，在适当的几何语言中，将具有与那些叙述相媲美的简单性和优雅性经典结果的一部分，并且仍然存在一个受限制的领域，许多业余爱好者继续愉快地工作（三角形、四面体、代数曲线和低次数曲面的几何形状等）。但对于专业数学家来说，这个地雷已经解决了，因为不再有任何结构性的问题，容易对数学的其他部分产生影响；并且群理论和不变量的这个章可以被认为是封闭的，直到另行通知。$^{23}$

因此，之后埃尔兰根纲领、欧氏和非欧几里得几何，从纯粹代数点的角度来看，或多或少方便地成为简单的语言，用于表达双线性形式理论的结果，而双线性形式理论的进展与不变量理论的进展同步。$^{24}$所有这些都与概念有关Frobenius 的著作明确阐明了双线性形式的 秩 以及这些形式与线性变换之间的关系 ([119], v. I, pp. 343-405)。也正是由于 Frobenius，我们才在自由的 $\mathbf{Z}$ 模块上有了交错的形式的规范表达式 ([119], v. I, pp. 482-544)；然而，在本世纪初，左对称行列式已经随普法夫一起出现，与将微分形式简化为正常的形式相关；雅可比在 1827 年再次讨论了这个问题（[171]，v.IV，第 17-29 页），他知道奇数阶的左对称行列式为空，并且他就是构造普法夫式的表达式，并表明它是左的因子偶数阶的对称行列式；但他没有意识到后者是普法夫的平方，而这个点是凯莱在1849年才建立的（[58]，v.I，第410-413页）。与二次形式相关的对称双线性形式的概念是“极化”过程的最基本情况，是不变量理论的基本工具之一。在“标量乘积”的名义下，这个概念将经历巨大的繁荣，首先是“向量演算”的庸俗化者，然后，从二十世纪开始，得益于希尔伯特空间理论（参见p. 212）带来的毫无疑问的概括。也正是后一个理论将揭示算子的伴随性的概念（之前除了线性微分理论之外几乎没有出现）

问题涉及凸集合理论、拓扑和测度论。当然，这里不存在这些问题的问题。

$^{23}$ 当然，几何学的这种不可避免的衰落（欧氏或射影）虽然在我们看来是显而易见的，但在很长一段时间内都没有被同时代人看到，直到 1900 年左右，这门学科仍然是数学的一个重要分支，正如例在《Enzyklopädie》中所占据的位置所证明的那样；直到最近几年，它仍然在大学教学中占有一席之地。

$^{24}$ 特别是，人们对非欧几里得几何的兴趣并非来自于平庸的代数方面，而是来自于它与微分几何和复变数函数理论的关系。

方程，以及在张量演算中，在度量张量的指挥棒下，协变和逆变指标跳华尔兹）；它最终将给出厄米特形式的所有特征标到概念，由 Hermite 在 1853 年首次引入，与他的算术研究 ([159], v. I, p. 237) 相关，但直到 1925 年左右，它仍然处于伟大数学流的边缘，复希尔伯特空间在量子理论中的应用。

对相似性的正交群和群的研究——自十九世纪中叶以来就被明确地构思和处理，并已成为二次形式理论的核心，以及其他“经典”群（线性群、辛群和酉）理论的核心群），另一方面，它的重要性也越来越大。这里我们只能提到这些群一方面在李群和微分几何理论中发挥的重要作用，另一方面在二次形式的算术理论中（参见例[285]和[100]）；25正是针对这种情况，以及对偶性概念的扩张最多样化的问题是因为几乎没有任何现代数学理论中双线性形式不会突然出现在某些形式或其他中。无论如何，我们必须注，正是对旋转群（三个维数）的研究导致汉密尔顿发现了四元数[145a]； W. Clifford 推广了这一发现，他于 1876 年引入了以他的名字命名的代数，并证明它们是四元数代数的张量积，或四元数代数和二次方扩张（[65]，第 266-276 页）。四年后，Lipschitz 再次发现了这一点 [205 b]，他使用它们给出了 $n$ 变量中正交变换的参数表示（概括了 Cayley 为 $n = 3$ ([58], v. I, 第 123-126 页）和 $n = 4$ (v. II，第 202-215 页）（根据四元数理论），这些代数，以及源自它们的“旋量”概念（[52 b] 和 [62 a]），也因其在量子理论中的应用而在现代大受欢迎。

It remains for us finally to say a word about the evolution of ideas which led to the almost total abandonment of all restrictions on the ring of scalars in the theory of sesquilinear forms — a common tendency in all modern algebra, but which has perhaps manifested itself here earlier than elsewhere. 我们已经指出，几何学的引入在域复数上取得了丰硕的成果（此外，在整个十九世纪，这种几何学与真正的几何学之间也不可避免地存在着有时危险的混淆）；这里的清晰度尤其来自十九世纪末在几何基础上的公理化研究[163 c]。 在这个研究的过程中，希尔伯特和他的模拟器，特别​​是在检查各种公理之间的关系时，得到了构造适当的反例，其中“基域”（com-

25 更不用说量子理论，其中正交或酉群的线性表示被大量使用，也不是相对论，它将引起人们对“洛伦兹群”的关注（签名 (3,1) 的形式的正交群）。

突变与否）或多或少具有病态性质，因此它们使数学家习惯了全新的型的“几何学”。从分析点的角度来看，伽罗瓦已经考虑了线性变换，其中系数和变量在有限素数域中取值（[123]，p. 145）；在发展这些想法的过程中，乔丹[174a]以自然的方式考虑经典的群而不是这些域，群，它们的干预体现在不同的数学领域。 Dickson，大约在1900年，Jordan的扩展研究到所有有限域，最近，很明显，Jordan-Dickson理论的一大部分可以扩展到绝对任意的“基域”；这主要是由于各向同性向量和维特定理的一般性质，在经典情况下微不足道，仅在1936年针对任意基域建立[337 a].26

但是，在将倍半线性形式的研究推向总是更大的“抽象”的过程中，事实证明，保持术语原样是极具启发性的，在空间为2或3维数的情况下，它来自经典几何，而扩展则为$n$维情况，甚至无限维空间。古典几何作为一门独立的、有生命的科学，因此被转变为当代数学的通用语言，具有无与伦比的灵活性和实用性。

26 有关这些问题的更多详细信息，请参阅[90 b]。