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10. 拓扑空间。
极限的概念和连续性可以追溯到古代；如果不从这个点的观点进行系统的研究，不仅是数学家，而且还有希腊哲学家，特别是亚里士多德，也不可能不跟踪这些思想在文艺复兴时期数学中的演变以及微分和积分演算的开端，就不可能写出一部完整的历史。进行这样的研究肯定会非常有趣，它将远远超出本注的框架。
黎曼必须被视为拓扑的创造者，就像现代数学的许多其他分支一样：事实上，正是他首先试图将概念与拓扑空间分离，构思了这些空间的自治理论的想法，定义了将发挥作用的不变量（“Betti 数”） 最大的在拓扑的后期发展中发挥了作用，并首次应用于数学分析（阿贝尔的积分的周期）。但是，如果没有以多种方式为黎曼铺平道路，十九世纪上半叶的思想运动就不会发生。事实上，将数学解决在一个固定的基上的愿望，这是整个十九世纪直至今天如此重要的研究的原因，导致了收敛级数的概念的正确定义和数的序列倾向于极限（柯西，阿贝尔）和连续的函数（博尔扎诺，柯西）。另一方面，复数的几何表示（通过平面中的点），或者，正如那时所说，“想象的数”（在十八世纪，有时也被限定为“不可能”数），表示，因为阿尔甘和高斯（见p. 161），已经为大多数数学家所熟悉：它构成了与我们今天在希尔伯特空间研究中采用几何语言相同的阶的进步，并且在胚胎中包含了每个易于连续变化的物体的几何表示的可能性；无论如何，高斯在几何、非欧几里得几何和曲面的基础上自然地被他的研究引出了这样的概念，他似乎已经考虑到了这种可能性，因为他使用字“尺寸两倍扩展”来定义（独立于阿尔冈和法国数学家）虚数数的几何表示 （[124a]，第 II，第 101-103 页和第 175-178 页）。
一方面是他对代数函数及其积分的研究，另一方面是他对几何基础的思想（很大程度上受到他对高斯著作的研究的启发），导致黎曼制定了一个与现代拓扑完全相同的研究计划，并为该计划的实现奠定了基础。这里对于例是他在阿贝尔的函数理论 ([259 a], p. 91) 中的表达方式：
“在通过精确微分积分获得的函数的研究中，数学分析位置的一些定理几乎是不可缺少的。在莱布尼茨使用的这个名称下，尽管可能具有某种不同的含义，它在阶中包括了研究这些量的连续量理论的部分，而不是独立于它们的位置并且可以通过以下方式测量这些量：其他人，但在抽象测量的每一个想法并仅研究它们的位置和包含关系时，I保留稍后以完全独立于所有测量的方式处理该对象的权利......”。
在他著名的就职演讲“关于形式几何基础的假设”中（[259a]，p. 272）：
“......数量的一般概念数倍扩展，其中包含作为特殊情况的空间数量，仍然完全未被探索......（p. 272）”。
“……数量的概念以元素为不同决定的前提。根据是否可以通过连续转换从一个决定到另一个，这些决定组成了连续的重数（其中它们将被称为点）或离散的重数（p. 273）”。
“……测量由要比较的数量的叠加组成；为了测量，必须有一种方法将一个量带入另一个。如果没有这种方法，就不可能比较两个量，除非一个量是另一个量的部分……然后可以对这个主题进行的研究构成量论的部分，与测量无关，并且这些量不被认为具有独立于其位置的存在，也不被认为是独立于其位置的存在。可以通过测量的单位来表达，但作为部分或重数。这样的研究已成为许多部分数学的必要条件，特别是对于解析多形式函数...（p. 274）的理论”。
“......给定重数中位置的确定因此被减少，每次可能时，都减少到有限的数数值确定 -
黎曼的意思是，如下所示，拓扑空间的部分与维数的任意数。
国家。确实，存在一些多重性，其中位置的确定需要的不是有限的数，而是无限的序列或连续的重数数量的确定。 例的这种多重性由给定域中函数的可能确定、空间中图形的位置等来弥补”（p. 276）。
在这最后一句话中，我们将注意到泛函空间研究的第一个想法；此外，黎曼的论文中已经发现了同样的想法，“这些函数的集合”，他说与狄利克雷的原理名称下已知的最小问题有关，“构成一个连通域，其自身封闭”（[259a]，p. 30），即，在一个不完美的情况下形式，尽管如此，希尔伯特后来给出的狄利克雷原理的证明的雏形，甚至是泛函空间到演算变体的大多数应用。
正如我们所说，黎曼通过定义“Betti 数”，首先定义一个曲面（[259 a]，第 92-93 页），然后（同上，第 479-482 页；cf. 也[259 c]）定义任意数的重数，从而开始了这一宏伟计划的实施。 维数，以及应用中的定义积分理论；这些结果开创了代数拓扑这一数学分支，自二十世纪初以来其发展一直在加速，不应该在这里追溯。
至于拓扑空间的一般理论，正如黎曼所预见的那样，它需要在阶中得到发展，实数、集合、数、集合、点在直线、平面上和空间的理论，首先应该是比黎曼时代的情况进行了更系统的研究：另一方面，这项研究与关于无理数数本质的研究（波尔扎诺的半哲学，戴德金的本质数学）以及实变量函数理论的进展（黎曼本人通过他的定义对此做出了重要贡献）相关积分和他的三角理论级数，这是 du Bois-Reymond、Dini、Weierstrass 等人的工作的对象；这是十九世纪下半叶的工作，尤其是康托尔，他是第一个达到定义（首先是直线，然后是维数的欧氏空间）概念积累点，封闭且完美的集合，并获得了这些集合在直线上的结构的基本结果（cf.p. 155）：对此，人们不仅应该参考Cantor的著作[47]，而且还应该参考他非常有趣的对应和Dedekind [48]，其中会发现清楚地表达了维数的数的想法作为拓扑不变量。
Schoenflies [275a]一书中的半历史、半系统的形式阐述了例理论的进一步进展：迄今为止最重要的是Borel-Lebesgue定理（Borel首先证明了直线上的闭区间和覆盖它的可数开区间族）。
康托尔的想法首先遭到了相当激烈的反对（cf.p. 28）。 至少他的点在直线和平面上的集合论很快就被法国和德国的函数理论的学校使用并广泛传播（Jordan、Poincaré、Klein、Mittag-Leffler，然后是Hadamard、Borel、Baire、Lebesgue等）：Borel集的第一卷，特别是每一卷包含该理论的基本叙述（参见例 [32 a]）。 随着这些想法的传播，人们开始以不同的方式思考它们对集合的可能应用，不再是点，而是曲线或函数：一个关于例的想法已经在1884年在Ascoli的回忆录的标题“论曲线族的极限曲线”中被看到了曙光[10]，这在哈达玛 1896 年苏黎世数学家大会上的通讯中得到了体现[141]；它也与 Volterra 在 1887 年引入“线函数”以及“泛函演算”的创建紧密相关，或函数理论，其参数为函数（关于这一点，可以参考 Volterra 关于泛函数学分析 [322 b] 的工作）。 另一方面，在著名的回忆录 ([163 a], v. III，第 10-37 页）希尔伯特再次继承了黎曼的点思想，证明了狄利克雷原理中最小值的存在性，并开创了演算变体的“直接方法”，人们清楚地看到了考虑集合的兴趣函数，其中 Bolzano-Weierstrass 原理有效，也就是说每序列包含一个收敛子序列；这样的集合很快就会发挥重要作用，不仅在变分的演算中，而且在实变量（Ascoli、Arzelà）的函数理论和复变量（Vitali、Carathéodory、Montel）的函数理论中。 最后，对函数方程的研究，尤其是 Fredhom 对以他的名字命名的方程的型的解的研究[116]，使我们熟悉了将函数作为参数的考虑，以及将函数的集合作为集合和点的类似物，与此相关，使用几何语言就像使用几何语言一样自然对于点的欧氏空间的 维数（空间，也逃脱了“直觉”，因此，长期以来一直是许多数学家不信任的对象）。 特别是，希尔伯特关于积分方程的令人难忘的著作[163 b]以定义结束，而Erhard Schmidt [274 b]对希尔伯特空间的几何研究则与欧氏几何完全类比（参见p. 212）。
与此同时，公理化理论的概念变得越来越重要，这首先要归功于几何基础上的大量著作，其中希尔伯特[163c]的著作发挥了特别决定性的影响；在这项工作中，希尔伯特从 1902 年（[163 c]，p. 180）准确地陈述了黎曼意义上的“重数两次扩展”的第一个公理定义，定义，他说，它构成了“数学分析位置的严格公理处理的基础”，并且已经使用邻域（其含义受到问题的紧急情况的限制，希尔伯特当时将自己限制在这种情况下）。
Fréchet [115 a] 和 F. Riesz [260 b] 首次尝试将公共的中的内容引入点和函数的集合属性（没有“距离”概念的干预）；但第一个，从可数极限的概念开始，对于不可度量的空间，没有成功构建一个方便且富有成果的公理系统；至少他认识到Bolzano-Weierstrass原理和Borel-Lebesgue定理之间的关系；正是在这一点上，他引入了“紧凑”的字，甚至是虽然，其含义与今天所赋予的含义有些不同。至于从点积累的概念（或者更确切地说，“衍生”集合）开始的F.里斯，他的理论仍然不完整，而且还只是一个草图。
从今天所理解的 Hausdorff（[152 a]，第 7-8-9 章）开始，一般拓扑就开始了。再次拿起邻域的概念，他知道如何在邻域平面上的希尔伯特的公理中进行选择，那些可以同时赋予他的理论所需的所有精确性和普遍性的东西。他发展了推论的章仍然是公理理论的模型，抽象但从一开始就适应了应用。这是很自然的，点出发前往随后的研究一般拓扑，主要是莫斯科的学校的工作，针对更大的部分走向问题的转移（cf.p. 166）：我们必须记住这一点，尤其是在这里定义，由 Alexandroff 和 Urysohn 提出，紧致空间（名称为“双紧致空间”），然后由证明由 Tychonoff [313] 提出，关于紧致空间的乘积紧致性。最后，H. Cartan [53] 引入了过滤器，虽然它为各种应用提供了非常有价值的工具（它是“Moore-Smith 收敛”[227] 的概念的有利替代品），但由于超滤器上的定理，实现了理论的澄清和简化。