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11. 制服空间。

与均匀空间相关的主要概念和命题是从实变量理论中逐渐提出来的，直到最近才成为系统研究的对象。 柯西在集合严格的级数理论（cf.p. 153）的基础上，将点原理作为出发点点原理，他似乎认为这是显而易见的，根据条件收敛序列$(a_n)$的必要且充分的条件是：当 $n$ 为足够大时，$|a_{n+p} - a_n|$ 应任意小（参见例 ([56 a], (2), v. VII，p. 267））。 与博尔扎诺[27c]一起，他无疑是第一个明确指出这个原理，并认识到其重要性的人之一：从而将“柯西序列”这个名字赋予了实数的序列，即满足条件，并通过扩张空间度量中的点的序列$(x_n)$，使得当$n$为足够大时，$x_{n+p}$和$x_n$之间的距离任意小；从那时起，“柯西滤波器”的名称最终被赋予了均匀空间的柯西序列的泛化。

后来当实数的直觉概念不再令人满意，而在阶寻求为数学分析打下坚实的基础，到从理性数出发的定义实数时，正是柯西原理提供了其中最有成果的。 定义于十九世纪下半叶提出；它是康托尔的定义（[47]，第93-96页）（除其他外，还根据海涅[154 b]的康托尔思想以及Méray的独立发展），根据该理论，可以将实数对应转化为每个柯西序列（“基本序列”）在康托尔的术语）有理数数；如果$|a_n - b_n|$趋于零，则相同的实数将对应变为有理数$(a_n)$和$(b_n)$的两个柯西序列，并且仅在这种情况下。这里的基本思想是，从某个点来看，有理数的集合$\mathbf{Q}$是“不完整”的，而实数的集合是$\mathbf{Q}$“完备的”推导出来的“完整”集合。

另一方面，海涅在工作中主要受到 Weierstrass 和 Cantor 思想的启发，首先对一个或多个实变量的数值函数提出定义一致连续性[154a]，并证明每个数值函数，在闭有界区间$\mathbf{R}$上连续，在那里是一致连续的[154b]：它是“海涅的” 定理”。这个结果与$\mathbf{R}$（“Borel-Lebesgue 定理”，cf.p. 141）中闭有界区间的紧致性相关，并且海涅给出的定理给出的证明也可以使用，经过一些修改，来证明Borel-Lebesgue定理（这似乎一些作者有充分的理由将这个定理命名为“Heine-Borel 定理”）。

这些想法中的扩张更普遍的空间是在首先研究一些特殊情况，然后一般地度量空间时提出的，其中给出了距离（点的对的数字函数，满足某些公理），同时给出了定义拓扑和制服结构。 Fréchet 是第一个提出这些空间的一般定义的人，认识到柯西原理 [115 a] 的重要性，并且还为所有度量空间、预紧致（或“完全有界”[115 a 和 b]）空间引入了概念。豪斯多夫在他的“Mengenlehre”[152 a和b]中发展了许多度量空间的理论，特别认识到人们可以将上面考虑的康托构造应用于这些空间，并因此推断出，对于每个非“完整”度量空间（也就是说，柯西原理无效），“完整”指标空间。

度量空间是特定类型的“统一空间”； uniform 空间最近才被 A. Weil [330 b] 以一般方式定义。在此之前，人们只知道在处理度量空间时如何使用概念和涉及“统一结构”的结果：这解释了在距离没有任何实际用途的问题中，度量或可度量的空间（特别是紧凑可度量的空间）在许多现代关于拓扑的工作中所发挥的重要作用。一旦规定了均匀空间的定义，就可以毫无困难地扩展到这些空间几乎所有度量空间的理论（特别是当过滤器的概念也可用时），正如Hausdorff对例的规定（以及以同样的方式对扩展进行规定，对于例，对于所有紧凑的空间，Alexandroff-Hopf [4]的拓扑中的紧凑度量空间的结果集合出。特别是，均匀空间的完成定理无非是康托尔的构造对实数的转置，没有任何本质的修改。