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12. 实数。

每个尺寸测量都意味着概念实数。从点数学的角度来看，实数理论的起源必须追溯到巴比伦科学中系统的渐进形成，系统能够（在原理中）表示值尽可能接近每个实数的要求[232]。事实上，对这样的系统的拥有，以及由此而得出的对数值计算的信心，不可避免地终止于实数的“天真”概念，这与今天在基础教学或物理学家和工程师中再次发现的（与数字的小数系统相关）几乎没有什么不同；这个概念不允许自己被精确地定义，但可以用说来表示，数被认为是通过获得近似值并将其引入计算中的可能性来定义的：此外，这必然意味着经验给出的尺寸测量之间存在一定的次数混淆，经验给出的尺寸测量自然不易受到不定近似的影响，并且这样的“数”为$\sqrt{2}$（假设存在一个算法来无限逼近这个数）。

因此，类似的“实用主义”观点点再次出现在所有学校数学中，其中计算技能取代了对严谨性和理论关注的渴望。相反，正是后者主导了希腊数学：所以我们归功于它第一个严格而连贯的数量比理论，也就是说，本质上是实数；它是关于比率，特别是不可通约比率的发现级数的最终结果，其在希腊思想史上的重要性很难夸大，但由于缺乏精确的文本，我们只能辨别其中的主要线索。希腊数学最初与关于比例、相似性和比率的推测密不可分，部分是科学的，部分是哲学和神秘的，特别是“简单比率”（用小分子和分母的分数表示）；毕达哥拉斯学派学校的特征倾向之一是声称用整数和整数的比率来解释一切。但准确地说，是毕达哥拉斯的学校发现了平方的边与其对角线的不可通约性（$\sqrt{2}$的无理性）：毫无疑问，第一个例是数学中不可能的证明；仅陈述这个问题这一事实就意味着比率与其近似值值之间存在明显区别，并且足以表明希腊数学家与其前辈之间的巨大差距。$^1$

我们对伴随这一重要发现并随之而来的思想运动知之甚少。$^2$我们将极限自己概括地指出数量比理论中基的主要思想，该理论由伟大的数学家欧多克索斯（柏拉图的同代人和柏拉图的朋友）编纂而成，最终被古典希腊数学所采用，并通过元素为我们所知。 Euclid [107]，其中给出了精彩的阐述（在这些 V 元素书中）：

1) 字和数的概念严格保留给整数 > 1（1 是单子，严格来说不是数），不仅排除我们的无理数数，甚至排除那些我们称之为有理数数，对于古典时代的希腊数学家来说，这些比率是数。对于希腊人（以及直到最近的现代人）来说，不仅仅是一个简单的术语、字数问题与系统和双律或合成（加法和乘法）的想法相关联： 整数的比率被古典希腊数学家视为运算符，定义在整数的集合或集合的部分上（p 与 q 的比率是运算符，它与 N 形成对应，如果 N 是 q 的倍数， 整数 p.(N/q))，并用合成的双律弥补乘法群，但不是系统。在这一点上，希腊数学家自愿将自己与“逻辑学家”或专业计算器分开，后者像他们的埃及和巴比伦前辈一样，毫无顾忌地将数分数或和视为整数和分数。除此之外，他们似乎出于比数学更哲学的动机而将这个限制强加在数的想法上，并且继承了第一批希腊思想家关于单位和倍数的思想，单位不能细分（在这个系统的思想中）而不被同样的损失。 作用其单位的特征标。$^3$

$^1$ $\sqrt{2}$非理性的发现被一些人认为是毕达哥拉斯本人发现的，但似乎没有足够的权威；被其他人传给五世纪的毕达哥拉斯主义者；根据柏拉图在 Theetete 中的证词，将 $\sqrt{3}, \sqrt{5}$ 的非理性归因于昔兰尼的 Theodorus 证明，“如此直到 $\sqrt{17}$”，之后 Theetete 要么获得 $\sqrt{N}$ 的一般证明（$N =$ 整数不是一个完美的平方），或者在任何情况下（如果可能的话，狄奥多鲁斯的证明在其原理中是一般的）已经着手对某些无理数型进行分类。目前尚不清楚这些第一个证明的非理性是通过算术路径还是几何路径进行的：请参阅[148]，第 1 章。 IV； cf. 还 [153 a]、[321] 和 [151]。 $^2$ 在此特别参考[153 a]、[309 b 和c]，并进一步参考前面注中引用的著作以及[317 c]。 $^3$柏拉图（[250]，第VII书，第525页）嘲笑计算器“谁变换单位小变换”并告诉我们，这些除，学术倍增：这意味着，对于例，对于数学家来说，两个比率$a/b$和$c/d$的等式是通过将$a$除以$b$和$c$除以$d$来实现的，这通常会导致

2）数量理论是基于公理化的，同时适用于所有类型的数量（可以找到对先前理论的暗示，从目前的情况来看，这些理论分别处理长度、面积、体积、时间等）。一种量的特征在于它们能够进行比较（也就是说，等式的定义，正确地说是等价，并且假定关系、$>$和$<$），能够进行加和减（定义了$A + B$，并且如果定义了$A - B$） $A > B$），以及所谓的“阿基米德”公理满足；从一开始，这就被明确地视为大厦的基石（事实上，它对于实数的所有公理特征描述都是不可或缺的）；它被命名为阿基米德纯粹是偶然，而阿基米德在他的“抛物线求积”（[5 b]，v.II，p. 265）的介绍中坚持认为，这一公理已被他的前辈使用，它在欧多克索斯的工作中起着至关重要的作用，并且其推论的确定性不亚于确定没有它的帮助下所产生的面积和体积。$^4$

不难看出，从这个公理基础出发，必然遵循实数理论。 必须注意的是，对于 Eudoxus，给定类型形式系统的数量，其中 一个 内部律为合成 (加法)，但是此系统具有合成的*外部* 律，并且作为运算符的*比率为数量*，这些被认为形成阿贝尔的 乘法群。 $A$ 和 $A'$ 是同类数量，同样，$B$ 和 $B'$，$A$ 和 $A'$ 以及 $B$ 和 $B'$ 的*比率*被*定义*为相等，如果整数 $m$ 和$m'$、$mA < m'A'$ 力$mB < m'B'$ 和$mA > m'A'$ 力$mB > m'B'$；比率之间的不平等以类似的方式定义。 对于每种数量，这些比率形式 运算符域 等价于存在第四比例的公理（未明确表示，但经常在欧几里得的起草中使用）：给定比率 $A/A'$ 和给定 $B'$ ，存在与 $B'$ 相同类型的 $B$，使得 $B/B' = A/A'$。 Thus the highly original idea of Eudoxus allowed identification between the domains of operators defined for all kinds of quantities;$^5$ in an analogous manner, the set of integers (see above) can be identified with a subset of the set of ratios of quantities, namely with the set of rational ratios (ratios of commensurable quantities); however, because of

演算分数（因此埃及人和巴比伦人也会操作），但在检查$a.d = b.c$时；以及其他类似的事实。

$^4$ 对尚未为我们保留的争论的明显暗示：可以相信这是对策梅洛公理的现代表述。

$^5$ 因此，一旦证明了所有有理比，就可以严格地完成希腊数学家目前正在做的事情，他们考虑在比例上证明定理。似乎之前欧多克索斯试图构建一个能够达到相同目标的理论，他通过用现代语言中我们所说的表达它的连续分数的项来定义两个量的比率$A/A'$；关于这些尝试，用于搜索公共的测量$A$和$A'$（如果存在）（或用于确定G.C.D.）的所谓“欧几里德”算法自然领先，cf.[17a]。

事实上，这些比率，尽管它们是整数上的算子，（通常）仅针对子集或集合或整数定义，仍然有必要单独发展他们的理论（欧几里得的书VII）。

因此，对于希腊数学家来说，如此构建的通用运算符的域相当于我们的集合或实数；除此之外，很明显，凭借加法的数量和乘法的数量比率，他们拥有相当于我们的域或实数的东西，甚至虽然在一个不太方便的形式。$^6$另一方面，我们可以问自己是否已经构想了这些集合（给定种类数量的集合，或数量比率的集合）在我们的意义上是完整的；否则，很难看出为什么他们会假设（甚至没有感觉到有必要将其变成公理）第四个比例的存在；此外，某些文本似乎提到了此类想法；最后，他们当然明显地假设，能够通过连续运动来描述的曲线，不能在不切割直线的情况下从直线的一侧传递到另一侧，原理，他们在立方体复制的研究中用于例（$\sqrt{2}$的构造乘以交曲线），这本质上相当于性质正在考虑中；然而，我们所掌握的文本并不能让我们完全准确地了解他们对此点的想法。

这就是希腊数学古典时代实数理论的状态。 尽管欧多克索斯的构造令人钦佩，并且在连贯性和严谨性方面与点相比没有任何不足，但必须承认它缺乏灵活性，并且不利于数值计算，特别是代数计算的发展。 What is more, its logical necessity could only be appreciated by minds taken with rigour and exercised in abstraction; it is therefore natural that with the decline of Greek mathematics, one sees reappearing little by little the "naive" point of view which had been kept by means of the tradition of the logicians; it is that which dominates for example with Diophantus [91 a], a true follower of this tradition rather than official Greek science; this latter, while reproducing for form's sake the Euclidean definition of number, understands really by the word "number", the unknown of the algebraic problems whose solution is, either an integer, or a fractional number, or even an irrational.$^7$ Although this change in attitude, about the subject of number, was linked to one of the most important ad-

$^6$ 如此不方便，以至于希腊数学家在将巴比伦人的代数科学翻译成他们的语言时，发现有必要系统地使用相当另一个阶的方法，即两个长度之间的对应以及以这两个长度为边构建的矩形的面积：这是不正确的说法合成的律，并且不允许方便地写出比第二高的次数的代数关系。

$^7$“发现‘数’不是理性的”，丢番图，书IV，问题IX。在此回归到数、cf. 的天真的概念，还有 Eutocius，在他的《阿基米德评论》中（[5 b]，第 III，第 120-126 页）。

数学史上的进步，即代数的发展（参见p. 48），如果很好理解的话，它本身并不构成进步，而是倒退。

我们不可能在这里通过印度教、阿拉伯和西方数学直到中世纪末为止追踪数观念的所有变迁：占主导地位的是数的“朴素”概念；而且，即使欧几里得的虽然元素在这一时期被用作基用于数学教学，很可能欧多克索斯的学说仍然普遍不被理解，因为它的必要性不再出现。欧几里得的“比率”最常被限定为“数”；将整数的计算规则应用于它们，从而获得准确的结果，而没有寻求深入分析这些方法成功的原因。

然而，我们已经看到 R. Bombelli 在十六世纪中叶就这个主题撰写了文章，在他的代数 [28 b],$^8$ 点中，我们认为（关于条件，我们假设获得了欧几里得书V 的结果）本质上是正确的；认识到一旦选择了长度的单位，长度和数量之比之间就有一个双射对应，他定义在长度上的各种代数运算（当然假设单位固定），并且代表数通过长度，获得实数的域的几何定义（点的观点最常归功于笛卡尔），并因此给他的代数一个坚实的几何基.$^9$

但是邦贝利的代数，即使是虽然在他的时代中取得了非凡的进步，也没有超出根式的提取和解通过第二、第三和第四个次数方程的根式提取；当然，他没有讨论就假设了部首提取的可能性。 Simon Stévin [295]也对数的主题采取了类似的点观点，对他来说，这标志着数量的度量，并且他认为本质上是“连续的”（没有明确他赋予这个字的含义）；如果他区分“几何数”和“算术数”，那只是由于它们模数定义的偶然，对他来说并不存在种类上的区别；此外，这里还有他关于这个主题的最后字：“因此，我们结论，不存在荒谬的、非理性的、不规则的、莫名其妙的或聋哑的数；但它们是如此卓越和一致，以至于我们日夜冥想的主题都令人钦佩的完美”（[295]，p. 10）。另一方面，第一个将十进制工具分数变成

$^8$ 这是代数的IV书的问题，至今仍未出版；对于下面叙述的目的来说，邦贝利关于这个主题的思想是否为他的同时代人所知并不重要。 $^9$ 我们不会在这里进入负数数的使用历史，这是代数的省份。让我们注，然而，邦贝利在同一个地方，完美清晰地给出了定义，纯粹形式化（例如可以在现代代数中找到），不仅是负数，而且还有复数。

方法的计算，并为它们提出记号已经接近我们的，他清楚地设想这些分数为每个实数提供了一个不定近似算法，正如他在1594年的附录代数中提出的“包含所有方程的一般规则”（一本小册子，其中唯一已知的例于 1914 年在鲁汶被烧毁；但参见 [295], p. 88)。将这样的方程代入形式$P(x) = Q(x)$（其中$P$是次数大于多项式$Q$和$P(0) < Q(0)$的多项式），我们代入$x$数10, 100, 1000, ...直到我们发现$P(x) > Q(x)$，他说，确定数是根的数字；然后（如果发现例根有两位数）我们代入 10, 20, ... 其中确定十位数；然后对于后面的数字也是如此，然后对于连续的十进制数字：“并且如此无限地进行”，他说，“一个人无限接近所要求的”（[295]，p. 88）。可以看出，Stévin（毫无疑问是第一个）对博尔扎诺的定理有一个清晰的认识，并认识到这个定理是系统化数值方程解的基本工具；同时，人们认识到了数字连续体的直观概念，该概念非常清晰，以至于几乎没有什么可以使其绝对精确。

然而，在接下来的两个世纪里，正确的方法的最终确立因两种理论的发展而被两次放慢，我们不必在此介绍其历史：无穷小演算和级数理论。在他们提出的讨论中，我们认识到，就像在数学史上的所有时期一样，在追求进步的探索者之间存在着永久的平衡，他们以一些不安全感为代价，相信以后总会有时间来巩固被征服的领土，而批判精神则认为他们在精确表达和严格论证上投入一些努力（在直觉能力和创造性才能方面不一定让步于第一）不相信他们在浪费精力。他们的概念。在十七世纪，争论的主要对象是无限小的概念，它通过它允许我们达到的结果证明了后验的合理性，似乎公开反对阿基米德公理；我们看到，当时最开放的精神最终采用了与邦贝利的观点略有不同的点，其区别主要在于更加注重古人严谨的方法；艾萨克·巴罗（牛顿的大师，他本人在无穷小演算的创造中扮演了重要的部分）在他于1664年65月66日在剑桥讲授的数学课程中对此进行了精彩的阐述[16 a和b]；在阶中认识到有必要为数的主题重新找到众所周知的“几何确定性”，回到欧多克索斯的理论，他在长度中非常公正地提出了对后者的辩护（正如他所见证的，他的许多同时代人似乎可以理解）反对那些以晦涩甚至荒谬的方式对待他的人。另一方面，将数定义为表示数量之比的符号，并且易于通过算术的运算组合在一起，他获得了实数的域，在项中，牛顿在他的算术中再次采用了之后，而他的后继者直到戴德金和康托都不会这样做变换任何东西。

但大约在这个时候，级数中的展开的方法被引入，很快，在不知悔改的代数学家手中，它呈现出完全形式化的特征标，并将数学家的注意力从级数在实数领域中合理使用所引发的收敛性问题转移开。牛顿，这个方法的主要创造者，仍然意识到考虑这些问题的必要性：而且，如果他没有充分阐明这些问题，他至少认识到他所引入的幂级数至少在“大多数时候”是收敛的，以及几何级数（其收敛性为古人已经知道）对于较小的值变量（[233 a]，v.I，第 3-26 页）；大约在同一时间，莱布尼茨观察到交错的级数，与项递减的绝对值趋于0，是收敛的；在接下来的一个世纪，达朗贝尔于 1768 年对非收敛级数的使用表示怀疑。但伯努利，尤其是欧拉的权威意味着这种怀疑在此时是罕见的。

显然，那些在数值计算中习惯使用级数的数学家绝不会忽视概念的收敛性；在这个领域和许多其他领域一样，第一个带来正确方法回归的人是一位数学家，他从青年时期就热爱数字计算：C，这绝非偶然。 F.高斯在很小的时候就使用了算术几何平均数的算法，$^{10}$不可避免地对极限形成了清晰的概念；我们在 1800 年的片段中看到了他（但仅在我们这个时代出版）（[124 a]，v X$_1$，p. 390），一方面精确地定义了上界和下界，另一方面定义了上极限和下极限序列共实数；第一个（对于有界的序列）的存在似乎被认为是显而易见的，而后者已被正确定义为极限，对于$n$趋于$+\infty$，$\sup_{p \geq 0} u_{n+p}, \inf_{p \geq 0} u_{n+p}$。高斯也在他 1812 年关于超几何级数 ([124 a], v. III, p. 139) 的回忆录中给出了关于收敛性的第一个讨论模型，正如他所说，“在所有严格的条件下，对那些偏好严格的满足的人进行了讨论”。古代几何学家的方法”：确实，这个讨论在回忆录中形成了次要的点，并没有回到级数理论中的第一个原理；柯西在 1821 年的《分析教程》([56 a], (2), v. III) 中首先以完全正确的点方式建立了这些准则，从明确规定的柯西准则开始，并假定是显而易见的；因为，对于数的定义，他保留了巴罗和牛顿观点的点，因此可以说，对于他来说

给定$^{10}$$x_0, y_0$和$> 0$，令$x_{n+1} = (x_n + y_n)/2, y_{n+1} = \sqrt{x_n y_n}$；对于$n$趋向于$+\infty$，$x_n$和$y_n$（非常快）趋向于公共的极限，称为$x_0$和$y_0$的算术几何平均值；这个函数与椭圆函数密切相关，并形成了高斯在这个主题上的重要工作的出发点点。

实数由数量公理和柯西准则定义：这确实足以定义它们。

同时，另一个实数理论的重要方面也得到了明确的澄清。正如我们所说，从几何上看，两条连续曲线在不相交的情况下不可能叉积，这一直被认为是显而易见的； 原理（适当精确）也相当于直线的性质是完整的空间。这个原理仍然是达朗贝尔的定理的“严格”证明的基的部分，根据它，每个具有实数系数的多项式都承认实数或复数根（[124a]，v. III, p. 1);相同的定理的证明，由高斯在1815年给出（[124a]，v.III，p. 31），以与拉格朗日之前的尝试相同的方式依赖于原理，类似但更简单，根据该多项式不能变换签名而不成为零（原理我们已经看到Stévin使用过）。 1817 年，博尔扎诺从柯西准则开始，给出了后者原理的完整证明，他将其作为关于数值变量的连续数值函数的类似定理的特例获得 [27 c]。他清楚地陈述了（之前柯西）“柯西准则”，并试图通过一个论点来证明它的合理性，即在没有实数的所有算术定义的情况下，它只是而且只能是一个恶性循环；但是，一旦这个点被承认，他的工作就完全正确并且相当了不起，因为包含，不仅是连续函数的现代定义（这里第一次给出），还有多项式连续性的证明，甚至还有任意多项式的下界存在性的证明实数的集合为界（他没有提到集合，而是说实数的性质）。另一方面，柯西在他的 Cours d'Analyse ([56 a], (2), v. III) 中，定义了一个或多个数值变量的连续函数，同样证明了一个变量的连续函数不能在不变成零的情况下进行变换符号，这与 Simon 的论点相同Stévin，一旦定义了连续性，只要使用柯西准则（或者一旦假设所谓的“嵌套区间”的等价原理，正如柯西在这个点所做的那样，其中不定小数的收敛性分数当然只是一个特殊情况）。

一旦达到这个点，数学家只需通过纠正一些错误和填补一些空白来精确和发展所获得的结果。对于例，柯西一度相信收敛的级数，其项是变量的连续函数，具有像和一样连续的函数：阿贝尔在他关于级数的重要工作期间对此点进行了修正（[1]，诉I，p. 219；cf.也诉II，p. 257和passim），最后以Weierstrass在他的讲座（未发表，但有相当大的影响）中对一致收敛性的概念的阐明而结束（参见p. 205）。另一方面，柯西在没有充分理由的情况下，假设在他给出的多项式根存在性的证明中存在连续函数的最小值；又是

Weierstrass 在他的讲座中通过证明阐明了此类问题，指出存在着函数数值变量的最小值，并在闭有界区间上定义；正是在他对函数（其中“狄利克雷原理”是最著名的例）不合理应用定理到集合的批评之后，思想运动开始了，并以紧凑的一般定义结束（见p. 143） 空间和现代的叙述定理。

与此同时，维尔斯特拉斯在他的讲座中认识到将实数的概念与数量论完全分离的逻辑兴趣：实际上，使用约化来公理地定义直线的集合或点（因此最终确定为实数的集合），并且假设存在这样的集合；尽管这种做事方式本质上是正确的，但显然最好只从有理数开始，并通过完成从那里推导出实数。$^{11}$这就是Weierstrass、Dedekind、Méray和Cantor由不同的方法所做的事情，并且彼此独立； Dedekind ([79], v. II, pp. 315-334) 提出的所谓“削减”程序更接近 Eudoxus 的定义，而其他提出的方法则更接近自 Hausdorff 以来用于完成度量空间的方法。也正是在此时，康托尔开始发展实数的集合论，戴德金对此有第一个想法[48]，从而得到直线拓扑、开集合的结构、闭集合的概念的主要初等结果集合，完美完全不连续集合，等等。

对于康托尔来说，除了少数例外，实数的理论最终确定了形式；让我们简要说明它是以何种方式得到扩展的。除了一般的拓扑（参见p. 143）和积分应用（参见p. 221）之外，主要是结构上的研究以及直线上点的集合分类和实变量的数值函数分类；它们起源于 Borel [32 a] 的著作，主要针对测度论，但最终在“Borel 集合”的定义中结束：这些是集合属于到最小的子集的$\mathbf{R}$、包含区间，并且对于并和可数交和运算 C 是封闭的。与这些集合密切相关的是所谓的“Baire”函数，也就是说，可以从连续函数开始到极限的运算，重复“反式”获得那些集合。

$^{11}$ 事实上，存在的问题，也就是说，在现代语言中，实数理论的一致性，因此被简化为理性数的类似问题，在条件上，然而抽象集合的理论被假定为已知（因为完成性预设了泛型子集的概念） 无限集合）；在其他字中，一切都归结为后一种理论，因为我们可以从中推导出有理数的理论。相反，如果假设集合论不可用，则约化就不可能保证实数的理论与算术理论的一致性，又需要给它一个独立的公理化表征。

有限”；它们是由贝尔在重要工作过程中定义的，他完全放弃了阶中的观点测量点，以系统地解决这些问题的定性和“拓扑”方面[11a]：正是在这个场合，他定义首次半连续研究函数，并着眼于表征极限连续的函数的函数，他引入了薄的集合的重要概念（Baire的术语中的“第一类”集合）（参见p. 165）。至于继贝尔之后的众多作品，主要归功于俄罗斯人，尤其是波兰人的学校，我们只能在这里提请注意它们的存在（见p. 166）。