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13. 指数和对数。

实数$> 0$的乘法群$\mathbf{R}_+^*$的历史与概念、幂、数$> 0$以及用来表示它们的记号的发展历史密切相关。 由连续的幂和相同的数组成的“几何级数”的概念可以追溯到埃及人和巴比伦人；它对希腊数学家来说很熟悉，人们已经在欧几里得（*元素*，书IX，第 11 条）中发现了一个通用的叙述，相当于整数指数$> 0$的规则$a^m a^n = a^{m+n}$。 中世纪，法国数学家 N. Oresme（十四世纪）再次发现了这条规则；也正是在他那里，第一次出现了小数指数$> 0$的概念，记号已经接近我们的指数以及一些与它们相关的计算规则（一般为形式）（对于例，我们现在写出$(ab)^{1/n} = a^{1/n} b^{1/n}$，$(a^m)^{p/q} = (a^{mp})^{1/q}$的两个规则[74]。 But the ideas of Oresme were too much in advance of the Mathematics of his time to exercise an influence on his contemporaries and his treatise sunk rapidly into forgetfulness. 一个世纪后，N. Chuquet再次陈述了欧几里得的规则；他还在方程中引入了未知数幂的指数记号，并且毫不犹豫地使用了指数0和整数指数$< 0$.$^1$这一次（尽管Chuquet的作品仍然是手稿并且似乎没有被广泛传播），同构的想法在“算术”之间指数级数”和幂的“几何级数”将不再被忽视；由 Stifel 扩展到负指数和分数指数（[298]，第 35 和 249-250），最终得到对数的定义和第一个表的构造，由 Scot J. 纳皮尔 (Napier)，1614-1620 年，瑞士人 J. Bürgi（他的作品直到 1620 年才出现，尽管他的构想可以追溯到 17 世纪初期）。 对于 Bürgi，在 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{R}_+^*$ 之间建立的同构的连续性通过在处理表时使用插值隐含地假定；相反，它在定义中明确表述

$^1$ Chuquet 为例 $12^1, 12^2, 12^3$ 等书写，为$12x, 12x^2, 12x^3$ 等书写，为$12^0$ 为数 12 书写，为$12^{2m}$ 为$12x^{-2}$ 书写（[64]，第737-738 页）。

纳皮尔（至少在当时相当模糊的连续性概念所允许的范围内明确）。$^2$

我们不需要在这里详细讨论数字演算中对数提供的服务；从理论上的点来看，它们的重要性尤其可以追溯到无穷小演算的开始，随着$\log(1 + x)$和$e^x$的级数展开的发现，以及这些函数的微分性质（见第172页及以下）。就指数和对数的定义而言，直到十九世纪中叶，直观地假设通过连续性扩展到为所有有理数$x$定义的实数函数$a^x$的集合的可能性都将受到限制；只有当实数的概念被明确地精确化并从有理数的概念推导出来时，才会想到对这个扩张给出严格的证明。

$^2$ Napier 考虑两个点 $M, N$同时在两条直线上移动，$M$的运动是均匀的，$N$的运动使得$N$的速度与其横坐标成正比； $M$ 的横坐标乘以定义 $N$ ([230 a], p. 3) 的对数。