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14. N 维空间。

我们已经有机会了解说平面解析几何和空间的发展如何引导数学家引入$n$维空间的概念，这为他们提供了一种非常方便以简洁的方式表达的几何语言定理关于代数的任意方程变量的数，特别是线性代数的所有一般结果（参见p. 61）。但是，如果到十九世纪中叶，这种语言在众多几何学家中流行起来，它仍然纯粹是传统的，并且缺乏超过三个维数的“直觉”表示或空间似乎禁止在这些后面的论证中“通过连续性”，而在平面或空间中允许完全基于“直觉”。黎曼是第一个，在他的研究在数学分析的基础上，在几何的基础上，大胆地以三维空间的情况进行类比论证（参见p. 176）；$^1$追随他，无数的数学家集合使用了这个论证，并取得了巨大的成功。性质，特别是在几个复变量的代数函数理论中。但当时对空间直觉的控制非常有限，人们有充分的理由对证明中这些考虑的价值持怀疑态度，并且只允许它们纯粹启发式地进行，因为它们使某些定理的准确性变得非常可信。因此，H. Poincaré 在 1887 年关于两个复变量的函数的双的剩余类积分的回忆录中，尽可能避免了对四维空间的直觉的依赖：“因为这种超几何语言仍然令许多好心人感到反感”，他说， “I只会很少使用它”；他为此使用的“技巧”使他能够回到三维空间的拓扑论证，然后他不再犹豫诉诸直觉（[251a]，v.III，第443页及以下）。

在其他地方，康托尔的发现，特别是著名的定理确立$\mathbf{R}$和$\mathbf{R}^n$是等价的（这似乎对维数的概念提出了质疑）$^2$表明，在阶中为几何和基的论证提供坚实的基是必不可少的。 拓扑，自由

$^1$ 另请参阅L 的作品。 Schläfli ([273], v. I, pp. 169-387)，可追溯到同一时期，但仅在二十世纪出版。 $^2$ 注有趣的是，戴德金一得知这个结果，就明白了其出现如此矛盾的原因，并完全依靠直觉告知了他们。我们已经说过（cf.p. 139），这种需要是现代一般概念拓扑的起源；但即使之前创建了后者，拓扑、数空间以及方法的最直接的概括（“n维变体”）也开始了严格的研究，主要源于拓扑的分支，称为“组合拓扑”或更好“代数拓扑”，我们在这里不能讲。

康托尔认为，对于$m \neq n$，应该可以证明$\mathbf{R}^m$和$\mathbf{R}^n$之间的双射且双连续对应是不可能的（[48]，第37-38页）。