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15. 复数；角度测量。

我们不会在这里再次完整地揭示复数或四元数理论的历史发展，这些理论本质上属于代数的领域（见第72和62页）；但我们会说一些关于虚数数的几何表示的字，它在许多方面构成了数学史上的决定性进步。

到C。 F.高斯毫无争议地首次明确提出了平面复数和点之间的双射对应，$^1$，尤其是第一个知道如何将这个想法应用于复数理论的优点，并清楚地预见了十九世纪的分析家将利用它的优势。在十七世纪和十八世纪的过程中，数学家们逐渐相信虚数数允许第二个次数的方程的解，也允许任意次数的代数方程解。在 18 世纪期间，发表了许多关于定理的证明的尝试；但是，即使不提那些仅仅依靠恶性循环的人，也没有一个不受到严重反对的。高斯，之后对这些尝试的详细检查和对差距的严格批评，在他的就职论文（写于1797年，发表于1799年）中提出，最终给出严格的证明；采用 d’Alembert 在经过中提出的想法（后者在 1746 年出版的证明中，$^2$ 注平面的点 $(a, b)$ 使得 $a + ib$ 是多项式的根） $P(x + iy) = X(x, y) + iY(x, y)$，是曲线 $X = 0$ 和 $Y = 0$ 的交；通过对这些曲线的定性研究，他表明其中一条曲线的连续弧连接由另一条曲线界定的两个不同区域的点，由此得出结论

$^1$ 第一个提出对应想法的无疑是沃利斯，他在1685年发表的关于代数的论文中；但他对这个点的想法仍然很混乱，并没有对他的同时代人产生任何影响。

$^2$这个证明（其中达朗贝尔没有考虑注，而注充当前往高斯的点）是迄今为止第一个不约化笨拙地诉诸原理的约化。高斯精确地批评了弱的点，但他并没有忽视达朗贝尔的基本思想中的值：“证明的真正神经”，他说，“在我看来，似乎不受所有这些反对意见的影响”（[124a]，v.III，p. 11）；稍后，他勾勒出方法，使达朗贝尔的论证变得严谨；就所有意图和目的而言，它已经接近柯西在其同一个定理的证明之一中的论点。

曲线相交 ([124 a], v. III, p. 3；另见[124 b]): 证明，由于其清晰性和独创性，它比以前的尝试构成了相当大的进步，并且毫无疑问是从纯拓扑应用于问题的第一个例论证之一代数.$^3$

In his Dissertation, Gauss does not define explicitly the correspondence between points of the plane and imaginary numbers; as far as these latter are concerned, and the questions about “existence” that they raised during two centuries, he even adopts a fairly reserved position, intentionally presenting all his arguments in a form in which only real numbers occur. 但是，如果他的证明中的思想进程没有预先假定对平面的点和复数有充分的意识识别，那么它们的思想进展将是完全不可理解的；而他同时代的基于数理论的研究和椭圆函数（也出现复数）只会强化这个假设。 点虚数数的几何概念对他来说是熟悉的，以及它在他手中会导致什么结果，这在注（仅在当今出版）中清楚地显示出来，他将初等几何的复数应用于问题的解（[124a]，v.1）。 IV、p. 396 和 v。 VIII，p. 307）。 更明确的是 1811 年写给贝塞尔的信 ([124 a], v. VIII，第 90-91 页），其中他概述了复变量函数积分理论的要点：*以同样的方式*，他说，*“人们可以通过不定直线来表示实数的整个域，因此人们可以通过一条不定直线来描绘（“sinnlich machen”）所有量、实数和虚数的完整域。不定平面，其中每个点由其横坐标$a$和纵坐标$b$确定，同时代表数量$a + ib$。 推论中值从$x$到另一个的连续移动是沿着一条线进行的，因此可以通过无数种方式来完成......”*

但直到 1831 年，高斯（在引入“高斯整数”$a + ib$，其中$a$和$b$是整数）才以如此清晰的方式公开展示了他对这个点的想法（[124a]，v.II，*Theoria） Residuorum Biquadraticorum，Commentatio secunda*，第 38 条，p. 109，和 Anzeige，第 174 页 ff.）。在此期间，虚数数的几何表示的想法再次被两位谦虚的探索者独立发现，他们都是业余数学家，或多或少是自学成才的，对他们来说，这是对科学的唯一贡献，两人也与当时的科学环境没有太多接触。正因为如此，他们的工作面临着被完全忽视的严重风险。这正是丹麦人C第一次发生的事情。韦塞尔（Wessel）的小册子于 1798 年出版，构思和起草非常清晰，一个世纪后才走出困境；同样的不幸也几乎发生在第二个瑞士人 J. Argand 身上，他只是在 1813 年偶然看到了他的遗骸被挖掘出来。

$^3$高斯发表在“达朗贝尔高斯的定理”的所有四个证明中；最后一个是第一个的变体，并且像第一个一样，诉诸于平面的直观拓扑属性；但第二个和第三个基于完全不同的原理（参见p. 91）。

这部作品是他七年前出版的。$^4$ 这部作品在《杰尔戈讷年鉴》中引起了热烈的讨论，并且该问题成为 1820 年至 1830 年间法国和英国几本出版物（由于作者相当默默无闻）的主题；但它缺乏大人物的权威来结束这些争议并团结数学家接受新的点观点；直到本世纪中叶之前，虚数数的几何表示终于被普遍采用，继德国高斯（上面引用）的发表、英国汉密尔顿和凯莱关于超复数系统的工作，以及最后在法国柯西的坚持，$^5$仅几年之前黎曼通过辉煌的扩张，也扩大了几何在解析理论中的作用函数，同时创造了拓扑。

通过在圆上切出的弧来测量角度，它与角度本身的概念一样古老，并且已经为巴比伦人所知，我们从他们那里保留了单位角度，次数；此外，对他们来说，这只是测量 0 和 $360^\circ$ 之间的角度，这对他们来说就足够了，因为他们的角度主要用于在其视轨迹的预定点处确定天体对象的位置认同，并绘制表用于科学和占星学情况。

对于古典时代的希腊几何学家来说，角度的定义 (Eucl. El., I, def. 8 和 9) 仍然受到更多限制，因为它仅适用于小于两个直角的角度；另一方面，由于他们的比率和测量理论依赖于任意大的测量量倍数的比较，因此角度对他们来说不可能是可测量的量，尽管人们自然地发现它们具有相等角度的概念，大于或小于另一个角度的角度，以及当这个和不超过两个直角时两个角度的和。与加法或分数一样，角度的测量在他们眼中一定是一种经验程序，没有科学的值。阿基米德关于螺旋线的令人钦佩的回忆录很好地说明了这种点视图（[5 b]，v.II，第1-12页），其中，默认情况下无法通过半径向量与角度的比例来定义这些，他给出了它们的电影描述

$^4$ 与高斯相反，Wessel 和 Argand 更专注于“证明”复数的计算，而不是使他们提出的几何表示可用于新的研究；韦塞尔没有给出任何应用说明，而阿尔冈给出的唯一一个是达朗贝尔-高斯的定理的证明，这正是达朗贝尔的证明的变体，并且受到同样的反对。 $^5$ 在他关于复变数函数积分的第一部著作中（1814年至1826年间），柯西将复数视为“符号”表达式，并且不将认同与平面的点进行计算；但这并不妨碍他不断地与数$x + iy$点$(x, y)$联系起来，并为此自由地使用几何语言。

（def 1, p. 44；参见第 12 条的叙述，p. 46），正如他的其余作品所表明的那样，他设法从中得出了如果有的话，角度测量的一般概念将给予他的一切。至于希腊天文学家，在这个点和许多其他问题上，他们似乎满足于追随他们的巴比伦前辈。

在这里，正如实数（cf.p. 150）概念的演变一样，在希腊科学衰落期间，严谨精神的松动带来了“天真的”点观点的回归，在某些方面，它比严格的欧氏概念更接近我们自己的观点。 因此，一个不明智的插值器在欧几里得中插入了著名的命题（Eucl. El., VI, 33)：“角度与它们在圆上切出的弧成正比”，$^6$，一位匿名学者评论了这个命题的“证明”，毫不犹豫地引入了，当然没有任何理由，弧等于任意大的圆周倍数，角度相应的到这些弧（[107]，v. V，p. 357）。 但 Vietus 甚至在十六世纪，当他发现方程 $\sin nx = \sin \alpha$ 有几个根时，他似乎触及了我们现代的角度概念，但对于小于 2 个直角的角度仅获得根和对应（[319]，第 305-313 页）。 It is only in the XVIIth century that this point of view is overtaken in a definitive manner; and, after the discovery by Newton of the expansions in series of $\sin x$ and $\cos x$ had supplied expressions for these functions, valid for all values of the variables, one finds with Euler, in connection with logarithms of “imaginary” numbers, the precise conception of the notion of the measurement of an arbitrary angle ([108 a], (1), v. XVII，p. 220）。

当然，经典的用圆弧长度测量角度的定义不仅直观，而且本质上是正确的；然而，要使阶变得严格，它需要曲线的长度的概念，即演算的积分。从结构的发挥作用来看，点是一个非常迂回的过程，除了拓扑群之外，不可能使用其他方法；因此，实指数和复指数看起来是同源的，定理表征“群具有一个参数”。

$^6$ 它确实是一个插值，这是由证明的荒谬性令人信服地证明的，它笨拙地从Eudoxus的方法的经典范式中复制而来；此外，很明显，这个结果与第VI的结尾无关。具有讽刺意味的是，在我们这个时代的第四世纪，看到席恩天真地声称自己在这种插值法上嫁接了另一个，他假装证明“圆的扇形面积与其在中心处的角度成正比”（[107]，第V，p. 24），并且六个世纪之后阿基米德对螺旋扇形面积的测定。