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16. 公制空间。
正如我们所说（参见p. 146），度量空间的概念是由M于1906年引入的。 Fréchet，几年后由 F. 豪斯多夫在他的《Mengenlehre》中。 它在之后 1920 年获得了极大的重要性，一方面是继 S. Banach 和他的学校关于范数空间及其在泛函数学分析的应用（参见第216页），另一方面是由于算术和代数几何中的概念评估引起了兴趣（特别是评估的完成表明其成果非常丰富）。
从 1920 年到 1930 年期间，莫斯科学校对度量空间的拓扑的性质进行了整个级数的研究，这些工作特别旨在获得给定拓扑可度量的必要且充分的条件。正是这种思想运动引起了人们对正常空间的概念的兴趣，该正常空间由Tietze于1923年定义，但其重要作用直到Urysohn [314]对连续数值函数的扩张的工作后才被认识到。除了实数变量函数的简单情况外，H. Lebesgue [196 d] 首次处理了在闭集合上定义的连续数值函数的扩张的问题到整个空间的情况（对于平面的情况）； 之前 Urysohn 的最终结果，已由 H. Tietze [307] 求解度量空间。 问题的扩张到任意拓扑空间中函数与值的情况在最近几年在代数拓扑中获得了相当大的重要性。最近的工作也公开表明，在这个型问题中，正常空间的概念很难处理，因为它仍然提供了太多“病态”的可能性；大多数时候，有必要用 J. Dieudonné 于 1944 年提出的准紧致空间的限制性更强的概念来替代 [90 a]；在这个理论中，最显着的结果是 A. H. Stone [300] 提出的定理，根据该结果，每个可度量的空间都是仿紧的。
This theorem has allowed the provision of a more satisfying solution to the problem of metrization than the criteria obtained around 1930 by the Russo-Polish school ("Nagata-Smirnov criterion"). 但必须指出的是，到目前为止，这些判据几乎没有任何应用；正如数学史上经常发生的那样，计量化的问题因其解的重要性似乎不如它所带来的新概念的重要性。
我们已经将注意力集中在（参见p. 155）十九世纪末和二十世纪初的重要著作（E. Borel、Baire、Lebesgue、Osgood、W. H. Young）上的集合、点在空间的分类以及数值的分类和表征上。迭代得到函数，从连续的函数开始，经过到极限的过程（对于函数的序列）。人们很快就发现，公制空间为此类研究提供了一个自然的框架，其1910年的发展之后主要归功于俄罗斯和波兰的学校。正是这些学校在现代数学分析中揭示了薄集合的概念和定理在完整度量空间中处处稠密的开集合的可数交上所发挥的基本作用，首先（独立）证明Osgood [240] 表示数值直线，Baire [11 b] 表示空间 。
另一方面，1917年，Souslin[289]纠正了Lebesgue的错误，表明Borel集合的连续像不一定是Borel，这导致他得出定义并研究更大的范畴集合，因为被称为“解析”或“Souslin”； 之后 Souslin 的早逝 这项研究主要由 N. Lusin（他的思想启发了 Souslin 的工作）和波兰数学家进行（参见[209]和[189 b]）。这些集合的实际重要性主要取决于它们在积分理论中的应用（其中，由于它们的特殊性质，它们允许构造，这在任意可测量的集合上是不可能的），而在现代势论中，G. Choquet最近证明的关于Souslin 集合容量的基本定理，最近由G. Choquet [63]证明，已经表现出丰富的变化应用程序。