§ 18. 渐近展开。 · 数学史原理

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18. 渐近展开。

各种阶的“无限小”（或“无限大”）之间的区别，隐含地出现在关于微分演算的第一部著作中，以及费马关于例的著作中；它随着牛顿和莱布尼茨的“更高阶的差异”理论而变得完全意识；并且在注意到中，在最简单的情况下，形式 $f(x)/g(x)$ 的表达式的极限（或“真值”）在点（其中 $f$ 和 $g$ 都趋于 0）由泰勒展开给出函数位于点的邻域中（“l'Hôpital 规则”，可能源自 Johann Bernoulli）。

除了这个基本情况之外，早在十七世纪末就出现在数学家面前的“渐近展开”的主要问题是当 $n$ 非常大时，形式 $\sum_{k=1}^n f(k)$ 的和的精确或近似计算；这种计算实际上对于插值和级数的和的数值评估是必要的，就像在概率演算中一样，其中“ $n!$ 或 $\binom{a}{n}$ ”等“大数的函数”发挥着主导作用。牛顿已经在阶中，当 $n$ 很大时，获得 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a+k}$ 的近似值，指示方法，约化（在这种特殊情况下）计算欧拉-麦克劳林公式的第一个项（[262]，v. II，第 309-310 页）。到本世纪末，雅各布·伯努利 (Jakob Bernoulli) 在其关于概率演算的研究的过程中，提出确定和 $S_k(n) = \sum_{p=1}^n p^k$ ， $n$ 中的多项式 $^1$ ，他发现了一般形式律（没有给出证明它），因此首次在这些多项式的系数表达式中引入以他的名字命名的数，以及能够进行计算的递归关系（[19 b]，p. 97）。 1730年，斯特林通过递归计算系数的过程，获得了 $\sum_{k=1}^n \log(x + ka)$ 、 $n$ 无限增长的渐近展开。

1730 年至 1745 年是欧拉关于级数及相关问题的决定性工作。设定 $S(n) = \sum_{k=1}^n f(k)$ ，他将泰勒的公式应用到函数 $S(n)$ ，这给了他

f(n) = S(n) - S(n-1) = \frac{dS}{dn} - \frac{1}{2!} \frac{d^2 S}{dn^2} + \frac{1}{3!} \frac{d^3 S}{dn^3} - \ldots,

$^1$ 它们是“伯努利多项式” $B_k(x)$ 的原语。

他通过不定系数的方法“反转”的方程，同时寻找形式的解

S(n) = \alpha \int f(n) dn + \beta f(n) + \gamma \frac{df}{dn} + \delta \frac{d^2 f}{dn^2} + \ldots;

他就这样一步步获得

S(n) = \int f(n) dn + \frac{f(n)}{2} + \frac{1}{12} \frac{df}{dn} - \frac{1}{720} \frac{d^3 f}{dn^3} + \frac{1}{30,240} \frac{d^5 f}{dn^5} - \cdots

首先无法确定形成系数律（[108a]，（1），v.XIV，第42-72页和108-123页）。但到了 1735 年左右，通过将多项式的分解类比为次数的因子，他毫不犹豫地写成了公式

1 - \frac{\sin s}{\sin \alpha} = \left(1 - \frac{s}{\alpha}\right) \left(1 - \frac{s}{\pi - \alpha}\right) \left(1 - \frac{s}{-\pi - \alpha}\right) \left(1 - \frac{s}{2\pi + \alpha}\right) \left(1 - \frac{s}{-2\pi + \alpha}\right) \cdots

并且在将整个级数的两个成员的展开的系数设置为相等时，他特别通过 $\pi$ 的幂 $^2$ 获得了（对于 $\alpha = \frac{\pi}{2}$ ）著名的级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}}$ 表达式（loc.cit.，第73-86页）。几年后，他终于意识到 $\pi$ 的这些幂的系数是由与他的求和公式相同的方程给出的，并认识到它们与伯努利引入的数的联系，以及与 $z/(e^z - 1)$ 的级数中的展开的系数的联系（loc.1）。前引，第 407-462 页）。

独立于欧拉，麦克劳林大约在同一时间以同样的求和公式，通过一条不太危险的路径，接近今天所遵循的路径：他实际上迭代了“泰勒”公式，它通过他通过“反转”泰勒展开获得的差异 $f^{(2k+1)}(x+1) - f^{(2k+1)}(x)$ ，公式来表达 $f(x)$ 通过方法不确定系数来计算这些差异（[214]，v. II，第 672-675 页）；除了欧拉发现的系数形式律之外，他没有注意到。

但是麦克劳林，像欧拉和他那个时代的所有数学家一样，将他所有的公式表示为*级数*中的展开，其收敛性甚至没有被研究过。此时并不是完全忽略了收敛的级数的概念：从雅各布·伯努利那里知道调和级数是发散的，而欧拉自己在通过求和来评估这个级数的第一个 $n$ 项的和时记录了这个结果公式 ([108a], (1), v. XIV,

$^2$ 1743年，欧拉在阶回应同时代人的各种批评，给出了三角函数函数的“欧拉展开”稍微可信一些的推导；对于例，展开作为 $\sin x$ 的无限乘积取自表达式 $\sin x = \frac{1}{2i}(e^{ix} - e^{-ix})$ ，并且根据 $e^{ix}$ 是多项式 $(1 + \frac{ix}{n})^n$ 的极限这一事实（前述，第138-155页）。

第87-100页和108-123页）；也是欧拉注认为两个连续的伯努利数之比无限增长，因此以这些数为系数的整个级数无法收敛（*loc.cit.*，p. 357）。 $^3$ 但形式计算的倾向更强，欧拉本人非凡的直觉确实如此当他为例 $0 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^n$ （*loc.cit.*，p. 362）写作时，这并不能阻止他陷入有时的荒谬。 $^4$

我们已经在别处说过（参见p. 153），十九世纪初的数学家们厌倦了这种没有约束且没有基的形式主义，如何将数学分析带回到严格的道路上。一旦收敛级数的概念变得精确，则通过与已知积分或级数比较，需要简单的判据提供积分收敛的证明和级数；柯西在他的*分析代数* ([56 a], (2), v. III) 中给出了判据的某个数，而阿贝尔在死后的回忆录 ([1], v. II, pp. 197-205) 中获得了对数判据收敛。另一方面，柯西 ([56 a], (1), v. VIII，第 18-25 页）阐明了级数的悖论，例如通过应用欧拉-麦克劳林公式获得的斯特林级数（通常称为“半收敛”）级数")：他表明，如果（由于伯努利数上欧拉的注）这样的级数的一般项 $u_k(n)$ ，对于 $n$ 的*固定*值，随着 $k$ 无限增长，尽管如此，对于 $k$ 的*固定*值，部分和 $s_k(n) = \sum_{h=1}^k u_h(n)$ 给出了由级数“表示”的渐近展开（对于 $n$ 趋于 $+\infty$ ）函数，更加准确因为 $k$ 更大。

在经典数学分析的大多数计算中，可以获得函数的渐近展开的一般形式律，具有项的*任意大*数；这一事实导致了级数和渐近展开之间的持久混淆（至少在语言上）；如此之多以至于 H. 庞加莱，1886 年，当他遇到麻烦时（[251 a]，v. I，第290-296页），编纂渐近展开的基本规则（遵循 $1/x$ 在 $+\infty$ 的邻域中的积分幂），仍然使用级数理论的词汇。直到数的解析理论中出现了渐近展开，渐近展开的概念和级数的操作才有了明显的区别，因为在这个理论处理的大部分问题中，只有很小的数可以显式获得所寻找的展开中的项（通常只有一个）。

$^3$ 由于欧拉在点考虑的级数是与数值计算有关的，他只取项中的和即递减，从指标开始，项开始增长，他将替换与剩余部分他没有指出来源（欧拉-麦克劳林公式在其一般形式中的其余部分不会出现之前柯西）。

$^4$ It is ironic that this formula should follow, at a distance of a page, a passage where Euler warns against the unconsidered use of divergent series!

这些问题也使数学家熟悉了除了变量（实数或积分）的幂之外的比较尺度的使用。这个扩张可以追溯到P. du Bois-Reymond的工作[94 a和b]，他首先系统地解决了问题比较点的邻域中的函数，并且在非常原创的作品中，认识到比较尺度的“非阿基米德”特征标，同时他研究了一般方式比较关系的整合和微分，并从中得出有趣的推论的大数[94 b]。然而他的证明缺乏清晰度和严谨性，对于G来说就是这样。 H. Hardy [147] 正确表述了 du Bois-Reymond 的结果：他的主要贡献在于认识到“基本函数”的集合和证明的存在，函数 $(H)$ ，其中通常的运算数学分析（特别是微分）适用于比较关系。