Bourbaki

习题 9, § 3

标签 09HT，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 09HT]。

积分, VII, p. 93

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设(e1,e2,e3)(e_1, e_2, e_3)为R3\mathbf{R}^3的典范基。每个矩阵 σ∈SO(3,R)\sigma \in SO(3, \mathbf{R}) 使得 σ(e3)≠e3\sigma(e_3) \neq e_3 和 σ(e3)≠−e3\sigma(e_3) \neq -e_3 可以用独特的方式写成

σ(φ,ψ,θ)=(cos⁡φcos⁡ψ−sin⁡φsin⁡ψcos⁡θ−cos⁡φsin⁡ψ−sin⁡φcos⁡ψcos⁡θsin⁡φsin⁡θsin⁡φcos⁡ψ+cos⁡φsin⁡ψcos⁡θ−sin⁡φsin⁡ψ+cos⁡φcos⁡ψcos⁡θ−cos⁡φsin⁡θsin⁡ψsin⁡θcos⁡ψsin⁡θcos⁡θ), \sigma(\varphi, \psi, \theta) = \begin{pmatrix} \cos \varphi \cos \psi - \sin \varphi \sin \psi \cos \theta & -\cos \varphi \sin \psi - \sin \varphi \cos \psi \cos \theta & \sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \cos \psi + \cos \varphi \sin \psi \cos \theta & -\sin \varphi \sin \psi + \cos \varphi \cos \psi \cos \theta & -\cos \varphi \sin \theta \\ \sin \psi \sin \theta & \cos \psi \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix},

其中 0<θ<π0 < \theta < \pi、0≤φ<2π0 \leq \varphi < 2\pi、0≤ψ<2π0 \leq \psi < 2\pi（欧拉角）。证明sin⁡θ dθ dφ dψ\sin \theta \, d\theta \, d\varphi \, d\psi是SO(3,R)SO(3, \mathbf{R})的哈尔测度。 （认同同质空间SO(3,R)/SO(2,R)SO(3, \mathbf{R})/SO(2, \mathbf{R})与S2S_2，使用Exer.8和§2的Th.3。）

解答

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