(i) G 在 End(E) 中相对紧凑； (ii) G 在 Aut(E) 中相对紧凑； (iii) G 在 E 上留下不变的非简并$^1$正厄米特形式。

(iii) $\Rightarrow$ (i)：假设 $G$ 留下不变的非简并正值厄米特形式 $\Psi$。令 $(e_1, \ldots, e_n)$ 为 $\Psi$ 的标准正交基（*Alg.*，Ch.IX, § 6, No. 1，Th.1 的 Cor.1）。对于每个$u \in G$，令$(u_{ij})$为其相对于$(e_i)$的矩阵。对于任何$j$，我们有$\sum_{i=1}^n |u_{ij}|^2 = 1$，因此对于所有$i$和$j$都有$|u_{ij}| \leq 1$，这证明了(i)。

(i) $\Rightarrow$ (ii)：这源自 GT，X, § 3, No. 5，Cor。的 Th。 4、考虑到$\mathrm{End}(E)$的拓扑是紧收敛的。

(ii) $\Rightarrow$ (iii)：假设$\mathrm{Aut}(E)$中$G$的闭包$\overline{G}$是紧的。令 $\Phi$ 为 $E$ 上的非简并正厄米特形式。如果标量的域是$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$，则给出$\Phi$使得$E$成为有限维希尔伯特空间，并且条件(iii)将由以下引理产生：

$^1$ 非退化；在 EVT 中，项被 séparante 取代，随后翻译为“分离”（TVS，V, § 1, No. 1）。

对于所有$s \in K, x \in F, y \in F$，并且由$\varphi$（TVS，V, §1, No. 3）定义的F的拓扑向量空间结构与F的原始结构相同。

令 $\alpha$ 为 K 上的 Haar 测度。对于 F 中的任何 $x, y$，映射 $s \mapsto (U(s)x|U(s)y)$ 是连续的。 集合

$\varphi(x, y)$是F上的倍半线性形式，直接的。由于自同态$U(s)$的集合在$\mathscr{L}_s(F; F)$中是紧的，因此存在一个常数M，使得对于所有$s \in K$都有$\|U(s)\| \leq M$。因此，对于每个 $x \in F$，我们有

从而不平等

这表明$\varphi$是正的且非简并的，并且范数$\varphi(x, x)^{1/2}$等价于范数$\|x\|$。最后，对于所有$t \in K$，

当标量的域为 $\mathbf{H}$ 时，人们认为在函数 $s \mapsto (U(s)x|U(s)y)$ 处由函数 $s \mapsto \Phi(sx, sy)$ 在 G 上定义，与替换上的之前完全相同，值在 $\mathbf{H}$ 中。这样就完成了命题的证明。

一个约化立即对应到 $n = 1$ 的情况。由于加法群$\mathbf{R}$与乘法群$\mathbf{R}_+^*$同构的，命题则为§2, No. 4第7条命题的直接的推论。

a) 存在X到V的连续映射 f，使得对于所有$x \in X$和$v \in V$都有$f(xv) = f(x) + v$。

b) 如果 f 是 a) 的映射满足条件，则映射 $x \mapsto (\pi(x), f(x))$ 是 X 到 $B \times V$ 的同胚。

断言 a) 由命题2得出，其中g被取为V的恒等映射。令 f 为 a) 的映射满足条件。 X到X的映射$x \mapsto x \cdot (-f(x))$是连续的，并且在每个轨道上是恒定的，因此是形式$\varphi \circ \pi$，其中$\varphi$是B到X的连续映射；对于每个$b \in B$，$\pi(\varphi(b)) = b$。 X的映射$x \mapsto (\pi(x), f(x))$进入$B \times V$和$B \times V$的$(b, v) \mapsto \varphi(b) \cdot v$进入X是互逆的，因为$\varphi(\pi(x)) \cdot f(x) = x \cdot (-f(x)) \cdot (f(x)) = x$，$\pi(\varphi(b) \cdot v) = \pi(\varphi(b)) = b$，并且，如果$b = \pi(y)$，则

由于这些映射是连续的，因此它们是同胚。

在$G$下不变。

对于每 $t \in G$，

a) 存在$G$的闭子群$L$，使得$G$是$L$和$H$的拓扑半直接乘积。

b) 如果$M$是$G$的紧子群，则存在元素$x \in H$使得$x^{-1}Mx \subset L$。

c) $G$的每个紧凑子群都包含在最大紧凑子群中。

d) 最大紧凑$G$的子群是子群，即$L$的变换乘以$G$的内自同构。

设$\pi$是$G$到$K = G/H$的典范同态。通过商，$G \times H$的映射$(s, h) \mapsto shs^{-1}$进入$H$定义，将$K \times H$的连续映射$(\sigma, h) \mapsto \sigma \cdot h$进入$H$，从而得到$shs^{-1} = \pi(s) \cdot h$。我们将认同 $H$ 与 $\mathbf{R}^n$ （因此，视情况而定，对 $H$ 中的群运算使用乘法或加法记号）。由科。根据命题2，存在$G$到$H$的连续映射$f$，使得$f(xh) = f(x) + h$对应$x \in G, h \in H$。对于每个$x \in G$，设$p(x) = x \cdot (-f(x))$，它仅取决于$x$相对于$H$的陪集。 集合

我们看到*如果* $F(x, y) = 0$ 对于所有 $x, y$ 在 $G$，则$p(G) = L$是$G$的子群，与$H$的每个陪集相交于一个且唯一的一个点。由于$p$是连续的，因此$G$是$L$和$H$的拓扑半直接乘积（GT，III, §2, No. 10）。

现在，对于任意 $h, h' \in H$，

因此，$F$定义，通过商，将$K \times K$的连续映射$\varphi$转化为$H$。

另一方面，对于$G$中的所有$x, y, z$，我们有

因此，对于$K$中的所有$x', y', z'$，

让我们通过 $K$ 的归一化哈尔测度 $\alpha$ 对 $z'$ 进行积分。 设定$\psi(x') = \int \varphi(z', x')\, d\alpha(z')$，$\psi$是K上的连续函数，并且（在注意到上$\mathbf{R}^n$中K的运算尊重$\mathbf{R}^n$的向量空间结构由GT，VII, §2, No. 1，Prop. 1)、得到

另外字、设定$k - \psi \circ \pi$，是G上连续的函数，

(2)

比较 (1) 和 (2)，我们可以看到，如果 $f$ 被连续的函数 $f + k$ 替换（这留下了已验证的性质 $f(xh) = f(x) + h$），F 被 0 替换，正如我们之前看到的，这完成了 a) 的证明。

对于每个$g \in G$，令$l_g$（或$h_g$）为L（或H）的唯一元素，使得$g = h_g l_g$。如果$h_1 \in H$和$g \in G$，那么

因而$h_g h_1 = h_g + l_g h_1 l_g^{-1}$。对于每个 $g \in G$，令 $\psi_g$ 为 H 的映射定义为

可以看出，$G \times H$到H中的映射$(g, h_1) \mapsto \psi_g(h_1)$是连续的，并且使H成为G的齐次空间，其中原点的稳定子是L。此外，我们观察到，当 H 等同于 $\mathbf{R}^n$ 时，$\psi_g$ 是 H 自身的“仿射”映射。也就是说，设 M 是 G 的紧子群；到引理 2，存在$x \in H$，使得$\psi_m(x) = x$代表*所有* $m \in M$。对于$y \in H$，$\psi_y$是与向量$y$的翻译；由此可见，对于每一个 $m \in M$，$\psi_{x^{-1}} \circ \psi_m \circ \psi_x$ 变换 H 的原点都是自身，因而$x^{-1}mx \in L$。这就证明了$x^{-1}Mx \subset L$，从而b)。

令 $L'$ 为 G 包含于 L 的闭子群。那么$L'$就是L和$L' \cap H$的拓扑半直接乘积。如果 $L'$ 是紧致的，则 $L' \cap H$ 是紧致的，因此约化到点（GT，IV, §2, No. 2，Th. 2 的 Cor. 1），因而 $L' = L$。这证明L是G的最大紧致子群；因而，子群也是如此，即L的变换乘以G的内自同构。第3条命题的断言c)和d)则为b)的直接的推论。

设 $L = G \times \mathbf{R}$ 并令 M 为 $(\xi, -u(\xi))$ 的集合，其中 $\xi$ 越过 H。很明显，M 是 L 的闭法线子群。令 $L' = L/M$ 且令 $\pi$ 为 L 的典范映射到$L'$。 M 和 R 生成 L 的子群是 H × R，因此是闭集；因而 π(R) 是 L' 的闭子群 N。 π 到 R 的限制 ρ 是 R 到 N 上的双射连续表示。附录 1 的引理 2 证明 ρ 是双连续的。此外，L'/N 与 L/(H × R) = G/H 同构的，因此是紧的。根据命题3，并考虑到N在L'的中心中，L'是N的乘积和另一个子群。因而，N 上存在L' 的连续表示，N 到恒等映射上存在约化。因而，在 R 上存在 L 的连续表示 v，在 M 上是微不足道的，并且在 R 上存在约化到恒等映射。对于 ψ ∈ H，有 v((ψ, 0)) = v((ψ, −u(ψ))(e, u(ψ))) = u(ψ)，从而完成证明。

令C为紧集，使得G = CH。如有必要，放大 C，我们可以假设 C 生成 G 并且 G = ĈH。那么 C^2 是紧致的，并且被开路的 Ĉs (s ∈ H) 覆盖。因而，H 中存在 s_1, ..., s_n 使得 C^2 ⊂ Ĉs_1 ∪ ... ∪ Ĉs_n。令 Γ 为 s_i 生成的 H 的子群。然后C^2⊂CΓ。根据归纳，对于每个 n 都有C^n ⊂ CΓ，因而 G = CΓ。 H 的每个元素都可以放入形式 ab 中，其中 a ε C、b ε Γ、从而 a ε H、从而 a ε C ∩ H。 因而 H 由 C ∩ H 和 s_i 生成，即到紧集。

例如，设 d ∈ D。在连续映射 x ↦ xdx^{-1} 下，G 的像是 D 的连通子集，因此约化到 {d}，这证明对于所有 x ∈ G，xd = dx。

群 G 与 K 局部同构（GT，III, §2, No. 6，命题 19），因此是局部紧的；因为它是连通的，所以它是由 e 的紧邻域生成的。通过引理 3 和 4，D 是有限生成的阿贝尔的群，因此与群 $\mathbf{Z}^r \times D_1$ 同构的，其中 D_1 有限（A，VII, §4, No. 7，Th.3）。假设 r > 0。则在 $\mathbf{Z}$ 上存在 D 的表示 f。根据命题 4，f 可以扩展到 R 中 G 的连续表示 g。通过商，g 定义 $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ 中$K$ 的连续表示 $g'$；由于$\mathbf{R}/\mathbf{Z}$是阿贝尔的，$g'$包含换位子子群的核是$K$，因而$g'$是平凡的；其他字、$g(G) \subset \mathbf{Z}$。由于$G$是连通的，因此得出$g(G) = \{0\}$，从$f(D) = \mathbf{Z}$开始这是荒谬的。因而 $r = 0$ 和 $D$ 是有限的。因而 $G$ 是紧致的（GT，III, §4, No. 1，Prop.2 的 Cor.2）。

这样的映射显然是$\mathbf{C}^*$中$\mathbf{GL}(n, K)$的连续表示。相反，假设$\psi$是$\mathbf{GL}(n, K)$在$\mathbf{C}^*$中的连续表示。 $x \in K^*$、集合

和$\chi(x) = \psi(\widetilde{x})$。那么，对于每个矩阵$X \in \mathbf{GL}(n, K)$，我们有$(\det X^{-1}) \sim \cdot X \in \mathbf{SL}(n, K)$。由于$\mathbf{SL}(n, K)$是$\mathbf{GL}(n, K)$的换位子子群（A，III, §8, No. 9，第17号提案的Cor.），$\psi((\det X^{-1}) \sim \cdot X) = 1$，从而

一个约化立即到$L$是整数区间的情况，然后从A，III, §8, No. 6，公式（31）得出引理。

如果$Z \in T_J$，则可以看到存在$Z' \in T_J$，使得$Z'Z = I_n$、从而$Z' = Z^{-1}$。因此，$T_J$是$\mathbf{GL}(n, K)$的闭子群。另一方面，§1, No. 10第15号提案表明该措施

是 $T_J$ 上的左哈尔测度。通过计算$ZZ'$，我们可以以同样的方式看到该测度是$T_J$ 上的正确哈尔测度。

如果在$T_J$的定义中，行和列的角色互换，也会得到类似的结果。

当$J$是对$(i, j)$的集合时，$i < j$、群$T_J$称为阶$n$的*上严格三角形群* $K$，记作$T_1(n, K)$。它的转置称为*下严格三角形群*。