a) 对于 H 属于至 $\mathscr{K}(H)$ 上的每个 $x \in X$、函数 $\xi \mapsto f(x\xi)$；一个集合

b) 函数 $f^\chi$是连续的，零在SH之外，并且满足$f^\chi(x\xi) = \chi(\xi)f^\chi(x)$。

c) 如果g是X上的连续实值函数并且满足$g(x\xi) = \chi(\xi)g(x)$，则$(fg)^\chi = f^1g$（$f^1$由公式（1）给出，其中$\chi$替换为H中的表示$\xi \mapsto 1$） $\mathbf{R}_+^*$).

d) 如果$\eta \in \mathbf{H}$，*则*$(\delta(\eta)f)^{\chi} = \chi(\eta)\Delta_{\mathbf{H}}(\eta)^{-1}f^{\chi}$。

令$x_0 \in X$和$V$是$x_0$在$X$的紧邻域。 $\xi \in \mathbf{H}$的集合使得$V\xi$与$S$相交，也是$\xi \in \mathbf{H}$的集合使得$V\xi$与$S \cap VH$相交，因此在$\mathbf{H}$中是紧的，因为$S \cap VH$是紧的并且$\mathbf{H}$在$X$（GT、III, §4, No. 5、Th.1）下正常运行；那么§1, No. 1的引理1证明了a)和$f^{\chi}$的连续性。 b) 的其余部分是显而易见的。最后，c) 和 d) 由以下计算得出：

线性度为直接的。显然，$f^{\chi} \geqslant 0$ 对应$f \geqslant 0$。然后应用以下引理就足够了：

令 I 为 $\mathscr{K}^{\chi}(X)$ 上的相对有界线性形式 (Ch. II, §2, No. 2)。 Then $f \mapsto I(f^{\chi})$ is a relatively bounded 线性形式 on $\mathscr{K}(X)$, that is, a measure $\mu_{I}$ on $X$. 映射 $I \mapsto \mu_{I}$ is injective by Prop. 2. The measures $\mu_{I}$ on $X$ so obtained may be characterized as follows:

a) 在$\mathscr{K}^\chi(X)$上存在相对有界的线性形式I，使得$I(f^\chi) = \mu(f)$对于所有$f \in \mathscr{K}(X)$。 b) $\delta(\xi)\mu = \chi(\xi)^{-1} \Delta_H(\xi)\mu$ 对于所有 $\xi \in H$。 c) 对于$\mathscr{K}(X)$中的所有$f, g$，

(2)

d) If $f \in \mathscr{K}(X)$ is such that $f^\chi = 0$, then $\mu(f) = 0$.

a) $\Rightarrow$ b): 如果 $\mu(f) = I(f^\chi)$ 那么，考虑到提案 1 d)，

从而$\delta(\xi)\mu = \chi(\xi)^{-1} \Delta_H(\xi)\mu$。

b) $\Rightarrow$ c)：假设满足假设 b)。 注 that 函数 $(x, \xi) \mapsto f(x)g(x\xi)$ and $(x, \xi) \mapsto f(x\xi)g(x)$ on $X \times H$ are continuous with compact support (because $H$ operates properly in $X$);这成立了，Th。第 2 章。 III, §4, No. 1 允许我们写：

这就证明了c）。

c) $\Rightarrow$ d)：如果 c) 被验证，并且如果 $f^\chi = 0$，则$\mu(f \cdot g^1) = 0$ 对于所有 $g \in \mathscr{K}(X)$，因此选择 $g \in \mathscr{K}(X)$ 时$\mu(f) = 0$，使得 $g^1 = 1$ $\mathrm{Supp}\, f$（这可以通过与 $\chi = 1$ 一起应用的第 2 条提案实现）。

d) $\Rightarrow$ a)：如果满足条件 d)，则在$\mathscr{K}^\chi(X)$上存在线性形式I，使得$\mu(f) = I(f^\chi)$对于$f \in \mathscr{K}(X)$，并且根据命题2，这个形式是相对有界的。

b) 相反，令 $\mu$ 为 $X$ 的度量，使得 $\delta(\xi)\mu = \Delta_H(\xi)\mu$ 对于所有 $\xi \in H$。 $X/H$ 上存在且仅有一个测度 $\lambda$ 使得$\mu = \lambda^\#$。

这是命题 3 No. 1 的特例。

a) 如果 f 是数值函数 $\geq 0$ 那么，对于 $x \in X$，

b) 要使 f $\beta_{\dot{x}}$ 可测，H 上的函数 $\xi \mapsto f(x\xi)$ $\beta$ 可测是充分必要的。

c) 假设f是X上的函数，值在Banach空间或$\overline{\mathbf{R}}$中；那么，要使 f $\beta_{\dot{x}}$ 可积（或本质上 $\beta_{\dot{x}}$ 可积），H 上的函数 $\xi \mapsto f(x\xi)$ 是 $\beta$ 可积（或本质上 $\beta$ 可积），在这种情况下 $\int_X f(y)\, d\beta_{\dot{x}}(y) = \int_H f(x\xi)\, d\beta(\xi)$.

这是从第 1 章得出的。 V, §4、提案 2、提案 3 和 Th。 2.

由于 $f^\flat \in \mathscr{K}(X/H)$ 对于 $f \in \mathscr{K}(X)$，公式 (8) 证明了 $X/H$ 到 $\mathscr{M}(X)$ 的映射 $u \mapsto \beta_u$ 是模糊连续的，因此对于任何正测度，族 $(\beta_u)$ 是 $\lambda$-充分的$^1$ $\lambda$ 于 $X/H$，然后

这为$\lambda^\#$提供了新的解释。

$^1$ 在第 1 章第一版的意义上。 V，因此在第二个意义上是*更不必说*（cf.第VI, §1, No. 1章例的脚注）。

a) 令$f$为$X$上的$\lambda^\#$可测函数，其中值位于拓扑空间中，在$\lambda^\#$可积集合的可数并之外。然后，$\dot{x} \in X/H$的集合使得函数$\xi \mapsto f(x\xi)$不是$\beta$可测量，在本地$\lambda$可以忽略不计。

b) 设$f$是$X$、零上的$\lambda^\#$可测函数$\geq 0$，位于$\lambda^\#$可积集合的可数并之外。那么，$X/H$上的函数$\dot{x} \mapsto \int^* f(x\xi) d\beta(\xi)$是$\lambda$可测的，并且

c) 令$f$为$X$上的$\lambda^\#$可积函数，其中值位于Banach空间或$\overline{\mathbf{R}}$中。那么，$\dot{x} \in X/H$的集合使得$\xi \mapsto f(x\xi)$不是$\beta$可积，$\lambda$可以忽略不计； $X/H$ 上的函数 $f^b$ 几乎到处都由公式定义

是$\lambda$可积，并且

和

d) 设$f$是$X$上的$\lambda^\#$可测函数，其中值位于Banach空间或$\overline{\mathbf{R}}$中，且零位于可数并之外$\lambda^\#$-可积集合。那么，对于 $f$ $\lambda^\#$ 可积，有必要且充分

考虑到引理 2，断言 a)、b) 和 c) 可从第 1 章得出。 V, §3、提案 4、提案 5 和 Th。 1（除了（13），它是从（12）得出的，因为很明显$|f^b| \leq |f|^b$）； d) 由 b) 得出。

a) 设 $N$ 为 $X/H$ 中的子集。为了使$N$局部$\lambda$可忽略不计，$\pi^{-1}(N)$局部$\lambda^\#$可忽略不计是充分必要的。

b) 令g为X/H上的函数，其中值处于拓扑空间中。为了使 g $\lambda$ 可测，$g \circ \pi$ $\lambda^\#$ 可测是充分必要的。

c) 令h为X/H上的函数，其中值位于Banach空间或$\overline{\mathbf{R}}$中。为了使 h 局部 $\lambda$ 可积，$h \circ \pi$ 局部 $\lambda^\#$ 可积是必要且充分的，在这种情况下为 $(h \cdot \lambda)^\# = (h \circ \pi) \cdot \lambda^\#$。

假设 $h \circ \pi$ 是局部 $\lambda^\#$ 可积的。对于每个 $f \in \mathscr{K}(X)$，$f \cdot (h \circ \pi)$ 是 $\lambda^\#$ 可积，因此（命题 5）函数 $(f \cdot (h \circ \pi))^b = f^b \cdot h$ 是 $\lambda$ 可积，并且

由于$f \mapsto f^b$是$\mathscr{K}(X)$到$\mathscr{K}(X/H)$的满射映射，这表明h是局部$\lambda$可积的，并且

特别是，如果$\pi^{-1}(N)$局部$\lambda^\#$可忽略，则$\varphi_N \circ \pi$局部$\lambda^\#$可忽略，因而$(\varphi_N \cdot \lambda)^\# = (\varphi_N \circ \pi) \cdot \lambda^\# = 0$，因而$\varphi_N \cdot \lambda = 0$和N局部$\lambda$可忽略。现在假设 $g \circ \pi$ 是 $\lambda^\#$ 可测的。令 K' 为 X/H 的紧凑子集。令 $f \in \mathscr{K}_+(X)$ 使得 $f^b = 1$ 在 K' 上（No. 1，命题 2），并令 $K = \operatorname{Supp} f$；一个有$\pi(K) \supset K'$。存在由 $\lambda^\#$ 可忽略不计的集合 M 和紧集的序列 $(K_n)$ 组成的 K 的划分，使得 $(g \circ \pi)|K_n$ 对于每个 n 都是连续的。那么$g|_{\pi(K_n)}$是连续的。设P为K'的点集合而不是属于到$\pi(K_1) \cup \pi(K_2) \cup \ldots$；则$\pi^{-1}(P) \cap K$包含在M中，因而$\lambda^\#$可忽略不计；因而$f \cdot \varphi_{\pi^{-1}(P)}$是$\lambda^\#$-可以忽略不计；由此可见（命题 5）：

因而 P $\lambda$ 可忽略不计，g $\lambda$ 可测量。

如果 N 局部 $\lambda$ 可以忽略不计，则 $\pi^{-1}(N)$ 局部 $\lambda^\#$ 可以忽略不计（第 V, §6, No. 6 章，第 10 条命题第 1 条）。如果 g 是 $\lambda$ 可测的，则 $g \circ \pi$ 是 $\lambda^\#$ 可测的（*同上。*）。最后，假设 h 是局部 $\lambda$ 可积的。那么我们已经知道$h \circ \pi$是$\lambda^\#$可测的。对于每个 $f \in \mathscr{K}_+(X)$，根据第 5 条命题，

因而$h \circ \pi$是局部$\lambda^\#$可积的。

第一个断言由命题 6、a) 和 c) 得出。第二个是从第一个开始的。

替换$f$乘以$f/(1+|f|)$，对于$f$有界的情况，一个约化，因此局部$\lambda^\#$可积。让$\mu = f \cdot \lambda^\#$。 $f$上的假设意味着$\delta(\xi)\mu = f \cdot \delta(\xi)\lambda^\# = \Delta_H(\xi)\mu$适用于所有$\xi \in H$。那么存在（命题 4）对 $X/H$ 的测度 $\lambda'$ 使得 $\mu = {\lambda'}^\#$。由科. 1，在$X/H$上存在局部$\lambda$可积函数$g$使得$\lambda' = g \cdot \lambda$。根据第 6 号提案，$f \cdot \lambda^\# = {\lambda'}^\# = (g \circ \pi) \cdot \lambda^\#$、从而 $f = g \circ \pi$ 局部地$\lambda^\#$ - 几乎无处不在。

c) 令$\lambda$为$X/H$的复测度。然后$|\lambda|^\# = |\lambda^\#|$。

假设家庭 $(\lambda_\iota)$ 在上面有界，并设 $\mu = \sup \lambda_\iota$。由于 $\lambda \geq 0$ 蕴含 $\lambda^\# \geq 0$，因此对于所有 $\iota$，我们都有 $\mu^\# \geq \lambda_\iota^\#$，这表明族 $(\lambda_\iota^\#)$ 是有界的，并且

相反，假设族 $(\lambda_\iota^\#)$ 在上面有界，并设 $\nu = \sup(\lambda_\iota^\#)$。由于$\delta(\xi)\lambda_\iota^\# = \Delta_H(\xi)\lambda_\iota^\#$对于所有$\xi \in H$，显然是$\delta(\xi)\nu = \Delta_H(\xi)\nu$，因此存在一个测度$\mu' \in \mathscr{M}(X/H)$使得$\nu = {\mu'}^\#$。由于$\lambda^\# \geq 0$蕴含$\lambda \geq 0$，因此对于所有$\iota$，我们有$\mu' \geq \lambda_\iota$，这表明族$(\lambda_\iota)$在上面有界，并且$\nu = {\mu'}^\# \geq (\sup \lambda_\iota)^\#$，从而

从而完成 a) 的证明。 断言 b) 则立即跟随，因为对于例，$\lambda^+$ 正是$\sup(\lambda, 0)$。 为了证明 c)，只要注 $|\lambda| = \sup \mathscr{R}(\alpha \lambda)$ 超过绝对值 1 的复数 $\alpha$，另一方面，对于每个 $\mu \in \mathscr{M}(X/H)$ $\mathscr{R}(\mu^\#) = (\mathscr{R}\mu)^\#$ 就足够了。

a) 在$X$上存在连续的函数$r$，其中值$> 0$，使得$r(x\xi) = \chi(\xi)r(x)$对于所有$x \in X$和$\xi \in H$。