这个引理不是别人，正是Cor。至 Th。 GT 1，X, §3, No. 3。人们可能会发现，它也从引理 1 得出，并且$\mathscr{K}(Y)$ 上一致收敛的拓扑比子空间 $\mathscr{K}(Y, \overline{U}_n)$ 拓扑的直极限拓扑更粗糙。

因为，引理 1 应用于 $\mathscr{K}(X)$，表明映射 $t \mapsto \lambda_t$ 是模糊地 $\mu$ 可测量的（$§ 1$、No. 5，命题 13）。

a) $\| \lambda_b \| = 1$ 对于所有 $b \in p(T)$；

b) 对于所有 $b \in B$，$\lambda_b$ 集中在集合 $\overline{p}^{-1}(b)$（第 V, §5, No. 7，定义 4）；特别是，$\lambda_b = 0$代表$b \notin p(T)$；

c) $\mu = \int \lambda_b d\nu(b)$。

此外，如果 $b \mapsto \lambda'_b$ ($b \in B$) 是 T 上具有属性 b) 和 c) 的第二个 $\nu$ 充分正测度族，则对于测度 $\nu$，$\lambda'_b = \lambda_b$ 几乎在 B 中随处可见。

1) 唯一性. 对于每个函数 $f \in \mathscr{K}(B)$，$f \circ p$ 是 $\mu$ 可积的，因为 p 是 $\mu$-固有的（Ch. V, §6, No. 2，Th. 1）；因而，对于每个函数 $g \in \mathscr{K}(T)$，函数 $t \mapsto g(t)f(p(t))$ 是 $\mu$ 可积的。由此得出结论（第 V, §3, No. 3，第 1 章），对于几乎每个 $b \in B$，函数 $t \mapsto g(t)f(p(t))$ 都是 $\lambda_b$ 可积的，并且

但由于 $\lambda_b$ 集中在 $\overline{p}^{-1}(b)$ 上，对于每个 $b \in B$，对于 $\lambda_b$ 几乎到处都有 $f(p(t)) = f(b)$，因而 (1) 的第二个成员等于 $\int f(b)\langle g, \lambda_b \rangle d\nu(b)$。类似的公式对于 $\lambda'_b$ 也成立；因而 $\int f(b)\langle g, \lambda_b \rangle d\nu(b) = \int f(b)\langle g, \lambda'_b \rangle d\nu(b)$ 对于所有 $f \in \mathscr{K}(B)$ 和 $g \in \mathscr{K}(T)$。在其他字中，B到$\mathscr{M}(T)$的两个映射、$b \mapsto \lambda_b$和$b \mapsto \lambda'_b$对于$\nu$几乎处处都局部标量相等，因此对于$\nu$几乎处处相等（引理1和§1, No. 1， 注2)。

2) 家庭临时定义$b \mapsto \lambda_b$。对于每个函数 $f \in \mathscr{L}^1(\nu)$，$f \circ p$ 是 $\mu$ 可积（Ch. V, §6, No. 2，Th. 1），因而 $(f \circ p) \cdot \mu$ 是 T 上的有界测度，并且

（第 IV, §4, No. 7 章，第 12 条提案；第 V, §5, No. 3 章，第 1 章和 §6, No. 2，第 1 章）。由此可见，$(f \circ p) \cdot \mu$仅依赖于$L^1(\nu)$中$f$的类$\tilde{f}$，并且$\tilde{f} \mapsto (f \circ p) \cdot \mu$是$L^1(\nu)$的*等距*线性映射进入T上有界测度的Banach空间$\mathscr{M}^1(T)$，T的强对偶Banach 空间 $\mathscr{K}(T)$，可分离 (引理 2)。根据 Dunford–Pettis 定理（§2, No. 5，Th. 1 的 Cor.2），存在 B 的映射 $b \mapsto \lambda_b$ 进入 $\mathscr{M}^1(T)$ 的单位球，标量 $\nu$ 可测量（对于拓扑 $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \overline{\mathscr{K}(T)})$），对于每个函数 $f \in \mathscr{L}^1(\nu)$，

也可以写成，对于每个函数 $g \in \overline{\mathscr{K}(T)}$

如果$f \geq 0$和$g \geq 0$，(3)的第一个成员是$\geq 0$，这证明对于$\mathscr{K}(T)$中的每个函数$g \geq 0$，测度$(\int g(t) \, d\lambda_b(t)) \cdot \nu$是$\geq 0$，因此$\int g(t) \, d\lambda_b(t) \geq 0$除了$b$ 属于到 $\nu$-可忽略不计的集合 $N(g)$（第 V, §5, No. 3 章，第 3 号提案第 3 条）。现在，空间$\mathscr{K}_+(T)$中存在函数$\geq 0$$\mathscr{K}(T)$（引理1）的稠密序列$(g_n)$。 $N(g_n)$ 的并 N $\nu$可以忽略不计，对于$b \notin N$，我们对所有$n$有$\int g_n(t) \, d\lambda_b(t) \geq 0$，因此对于每个函数$g \in \mathscr{K}_+(T)$，在其他字中，$\int g(t) \, d\lambda_b(t) \geq 0$ $\lambda_b \geq 0$。

既然如此，我们可以将替换$\lambda_b$每$b \in N$增加0，而不改变（3）的有效性；因此，我们可以假设已经进行了此修改，因此每个$b \in B$都有$\lambda_b \geq 0$。

3) 扩张公式 (3)。

$\alpha)$ 对于每个函数 $f \in \mathscr{L}^1(\nu)$，从 (3) 可以得出，B 的映射 $b \mapsto \lambda_b$ 到 $\mathscr{M}(T)$ 对于测度 $|f \cdot \nu|$ 和拓扑 $\sigma(\mathscr{M}(T), \mathscr{K}(T))$ 是可标量可积的，因此 (引理 3) 族$b \mapsto \lambda_b$是$|f \cdot \nu|$-*足够了*。现在令 $g$ 为在 T 上定义的数值函数，对于测度 $|(f \circ p) \cdot \mu|$ 可积，即 (Ch. V, §5, No. 3, Th. 1)，使得 $t \mapsto g(t)f((p(t)))$ 是 $\mu$ 可积；然后从(2)、Th 得出。第 1 章。 V, §3, No. 3 和来自 Th。第 1 章。 V, §5, No. 3，对于几乎每个 $b \in B$，$g$ 对于 $\lambda_b$ 是可积的，函数（几乎到处定义）$b \mapsto \int g(t)\, d\lambda_b(t)$ 对于 $|f \cdot \nu|$ 是可积的，并且公式 (3) 再次有效。

$\beta)$ 对于每个函数 $g \in \overline{\mathscr{K}(T)}$，从 (3) 得出，应用于 $f \in \mathscr{K}(B)$，映射 $p$ 适合度量 $|g \cdot \mu|$（第 V, §6, No. 1，定义 1）和$p$ 下的像 $g \cdot \mu$是密度$b \mapsto \int g(t)\, d\lambda_b(t)$相对于$\nu$的度量。如果 $f$ 被取为函数，使得 $f \circ p$ 对于测度 $|g \cdot \mu|$ 可积，也就是说，$t \mapsto g(t)f(p(t))$ 是 $\mu$ 可积（Ch. V, §5, No. 3，Th. 1），公式 (3) 再次有效（Ch. 11⟧）。 V, §6, No. 2，第 1)。

4) 家庭财产 $b \mapsto \lambda_b$。通过性质$\beta)$，我们可以通过取$f = 1,\ g \in \mathscr{K}(T)$来应用公式（3）；这证明$b \mapsto \lambda_b$是$\nu$标量可积的（对于拓扑$\sigma(\mathscr{M}(T), \mathscr{K}(T))$），因而$\nu$-*足够*（引理3），并且$\mu = \int \lambda_b\, d\nu(b)$。

现在令$\psi$为$\mathscr{K}(B)$中的任意函数； 性质 $\alpha)$ 的条件可以通过取 $f \in \mathscr{K}(B)$ 和 $g = \psi \circ p$ 来满足，因为函数 $\psi(p(t))f(p(t))$ 是 $\mu$ 可积的，因为 $f\psi$ 属于到 $\mathscr{K}(B)$ 和 $p$ 是$\mu$-正确。那么 $\psi \circ p$ 对于几乎每个 $b \in B$ 都是 $\lambda_b$ 可积的，并且

但第一个成员是定义$\int f(b)\psi(b)\, d\nu(b)$。因而，我们看到对于每个函数 $\psi \in \mathscr{K}(B)$，度量 $\psi \cdot \nu$ 和密度 $b \mapsto \int \psi(p(t))\, d\lambda_b(t)$ 的度量是相同的。因而（第 3 章第 V, §5, No. 3，Cor.2）存在$\nu$ 可忽略的集合 $N'(\psi)$，这样，对于每个 $b \notin N'(\psi)$，函数 $\psi \circ p$ 是 $\lambda_b$ 可积且$\psi(b) = \int \psi(p(t))\, d\lambda_b(t)$。

令 S 为 $\mathscr{K}(B)$ 的可数子集，具有引理 1 中所述的属性（与 $Y = B$），并令 $N'$ 为可忽略的 $\nu$ 集合，即 $\psi \in S$ 的 $N'(\psi)$ 的并。 $\mathscr{K}(B)$的每函数$\psi \geq 0$与$\psi_n \leq \psi_0$是S的元素序列$(\psi_n)$的统一极限。因而，对于$b \notin N'$，勒贝格的定理一方面表明$\psi \circ p$是$\lambda_b$可积，在其他字中$p$是$\lambda_b$可积，另一方面表明$\psi(b) = \int \psi(p(t))\, d\lambda_b(t)$。在其他项、映射 $b \mapsto \varepsilon_b$ 和 $b \mapsto p(\lambda_b)$ 中，B 到 $\mathscr{M}(B)$（后者几乎在所有地方都有定义）对于 $\nu$（以及对于拓扑 $\sigma(\mathscr{M}(B), \mathscr{K}(B))$）来说几乎处处都相等；由此可见，对于 $\nu$，这些映射几乎在任何地方都相等（引理 1 和 §1, No. 1，*注* 2）。最后，如果 $p(\lambda_b) = \varepsilon_b$、集合 $B - \{b\}$ $\varepsilon_b$ 可忽略，则集合 $T - \bar{p}^{-1}(B)$ $\lambda_b$ 可忽略（第 V, §6, No. 2 章，第 2 条的 Cor. 2），在其他字中$\lambda_b$集中于$\overline{p}^{-1}(b)$；另一方面，$\| \lambda_b \| = \int d\lambda_b = \int d((p(\lambda_b))) = \| \varepsilon_b \| = 1$（第 V, §6, No. 2，第 1 章）。

5) 家庭的修改 $b \mapsto \lambda_b$。因而，我们在 T 上定义了 $\geqslant 0$ 的$\nu$-充分族$b \mapsto \lambda_b$，叙述的满足条件c)，这样，对于几乎每个$b \in B$，$p$都是$\lambda_b$-适当的，并且$\lambda_b$集中在$\overline{p}^{-1}(b)$上，并具有范数 1。令$N''$为点$b \in B$的$\nu$可忽略的集合，其中最后三个属性之一未验证；然后我们可以通过以下方式修改$\lambda_b$。若$b \in B - p(T)$，则取$\lambda_b = 0$；如果$b \in p(T) \cap N''$，则取$\lambda_b = \varepsilon_{\xi(b)}$，其中$\xi(b)$是$\overline{p}^{-1}(b)$中的任意点。由于 $B - p(T)$ 是 $\nu$-可以忽略不计（第 V, §6, No. 2 章，提案 2 的 Cor. 3），我们仅在点处修改了 $\lambda_b$ 可忽略不计的集合，因此族 $b \mapsto \lambda_b$ 仍然是 $\nu$-足够的，并且有性质 c)；此外，它现在满足a)和b)，从而完成证明。

T 上的每个$\nu$-充分族$b \mapsto \lambda_b$，具有 Th 的属性 b) 和 c)。 1，据说是相对于$\mu$-适当的映射$p$措施$\mu$的“分解”。

因为，T 上存在一个“有界”测度 $\mu'$，相当于 $\mu$（第 V, §5, No. 6 章，第 11 条命题）；那么$p$就是$\mu'$-正确的。

此外，如果$\nu' = r \cdot \nu$是$p$下$\mu$的第二个伪像测度，并且如果$b \mapsto \lambda'_b$是T上关于$\nu'$具有属性b）和c）的$\nu'$充分正测度族，则$\lambda_b = r(b)\lambda'_b$几乎在B中无处不在（*对于$\nu$ 或 $\nu'$*)。

T 上存在一个定义的连续且有限的数值函数 $f$，使得对于每个 $t \in T$ 都有 $f(t) > 0$，并且 $\mu'' = f \cdot \mu$ 是有界的（第 V, §5, No. 6，第 11 章）。设$\nu'' = p(\mu'')$，相当于$\nu$，并写成$\nu'' = g \cdot \nu$，$g$有限且$\nu$局部可积；此外，我们可以假设 $g(b) > 0$ 对于所有 $b \in B$（第 V, §5, No. 6 章，命题 10）。 Th。 No. 1的1，应用于$\mu''$和$\nu''$，表明存在T上的积极措施的$\nu''$充分族$b \mapsto \lambda''_b$（$b \in B$），使得：

1) $\| \lambda''_b \| = 1$换$b \in p(T)$； 2）每$b \in B$，$\lambda''_b$集中在$\overline{p^{-1}}(b)$； 3）$\mu'' = \int \lambda''_b \, d\nu''(b)$。

对于每一个$b \in B$，让我们定义在T上通过公式$\lambda_b = (1/f) \cdot (g(b)\lambda''_b)$进行正测量$\lambda_b$。显然，族$b \mapsto \lambda_b$具有叙述的属性a）和b）。另一方面，对于每个函数 $h \in \mathscr{K}(T)$，$h/f$ 属于到 $\mathscr{K}(T)$，因此

但由于函数 $b \mapsto \int (h(t)/f(t)) \, d\lambda''_b(t)$ 是 $\nu''$ 可积，函数 $b \mapsto g(b) \int (h(t)/f(t)) \, d\lambda''_b(t)$ 是 $\nu$ 可积（Ch. V, §5, No. 3，Th. 1）。

通过$\lambda_b$的定义，这个函数是$b \mapsto \int h(t) d\lambda_b(t)$，从而（*loc.cit.*）$\int h(t) d\mu(t) = \int d\nu(b) \int h(t) d\lambda_b(t)$，这就证明了$\mu = \int \lambda_b d\nu(b)$。

为了建立叙述的第二个部分，我们注可以假设$r(b) > 0$对于所有$b \in B$（第V, §5, No. 6，提案10）； 集合$\lambda'''_b = f \cdot \left( (r(b)/g(b)) \lambda'_b \right)$；如上所示，对于每个函数 $h \in \mathscr{K}(T)$，关系

意味着

因此 Th。 No. 1中的1，应用于$\mu''$和$\nu''$，意味着几乎每个$b \in B$，$\lambda'''_b = \lambda''_b$，从而$\lambda_b = r(b)\lambda'_b$。

由于 T 在无穷大处可数，因此存在 T 的紧凑子集的递增序列 $(K_n)_{n \geq 1}$，使得 T 是 $K_n$ 的并和$\mu$-可忽略的集合 N，并且使得每个关系 $R_{K_n}$ 是豪斯多夫。令$B_n$为空间$K_n / R_{K_n}$的商，它是紧致的，并令$B'_n$为紧致的空间，即$B_n$和点$a_n$的拓扑和。设$q_n$是$K_n$的典范映射到$B_n$；我们通过以下方式将 T 的扩展 $q_n$ 到映射 $p_n$ 转换为 $B'_n$：如果 $x \in T$ 等价于 mod R 到元素 $y \in K_n$，集合 $p_n(x) = q_n(y)$；相反，集合$p_n(x) = a_n$。

令 $B'$ 为乘积空间 $\prod_{n=1}^{\infty} B'_n$，这是紧致的，并令 $p'$ 为 T 到 B' 的映射 $x \mapsto (p_n(x))$。让我们证明$p'$是$\mu$可测的：它足以证明映射$p_n$中的每一个都是可测的（Ch.IV, §5, No. 3，Th.1），并且为此，$p_n$的限制对于每个限制就足够了$K_m$是可测量的。现在，如果 $m \leq n$; 就很明显了；相反，如果$m > n$，则令$K_{nm}$为$K_n$对$R_{K_m}$的饱和度，这是$K_m$的紧凑子集（GT，I, §9, No. 4，Th.2）；由于$p_n$在$K_m - K_{nm}$上恒定，因此足以证明$p_n$到$K_{nm}$的限制是连续的，这在$K_{nm}/R_{K_{nm}}$和$K_n/R_{K_n}$之间的典范同构是明显的（GT，I, §9, No. 4，Cor.4） 2）。

令 A 为关系 R 的 $\bigcup_n K_n$ 饱和度，并令 $N' = T - A \subset N$。我们将看到关系$p'(x) = p'(y)$等价于关系«$R\{x, y\}$或$(x, y) \in N' \times N'$»。对于，如果 $R\{x, y\}$ 那么 $p_n(x) = p_n(y)$ 对于所有 $n$，因而 $p'(x) = p'(y)$；如果 $x \in N'$，$y \in N'$，那么对于所有 $n$ 来说，$p_n(x) = p_n(y) = a_n$，因而$p'(x) = p'(y)$。另一方面，如果 $x$ 和 $y$ 在 A 中且不等价 mod R，则存在整数 $n$、元素 $x' \in K_n$（分别为 $y' \in K_n$）等价 mod R 到 $x$（分别为 $y$），使得$x'$ 不等于 $y'$ mod $R_{K_n}$；因而$p_n(x) \neq p_n(y)$，因而$p'(x) \neq p'(y)$。最后，如果$x \in N'$和$y \in A$，那么$p_n(y) \in B_n$代表$n$足够大，$p_n(x) = a_n$代表所有$n$，因而$p'(x) \neq p'(y)$，这建立了我们的断言。

然后考虑商集$B_0 = N'/R_{N'}$；让$q_0$是$N'$的典范映射到$B_0$，$s_0$截面到$q_0$。 集合 $p_0(x) = s_0(q_0(x))$ 对于 $x \in N'$ 和扩展 $p_0$ 到 T，通过将 $p_0$ 在 A 上设为等于 T 的元素的常数。则 $p = (p', p_0)$ 是 T 的 $\mu$ 可测映射，局部紧凑空间 $B = B' \times T$；如果 $x \in N'$、$y \in N'$、关系 $p_0(x) = p_0(y)$ 蕴含$R\{x, y\}$，则为直接的；因而$p$满足要求。此外，如果 T 承认可数基，则每个商空间 $B_n$ 也承认（GT，IX, §2, No. 10，命题 17），因而 B' 承认可数基，因而 B 也承认。

a) $R$ 是 $\mu$ 可测量的。

b) 在豪斯多夫拓扑空间中存在映射$p_n : T \to F_n$的序列，使得每个$p_n$都是$\mu$可测，并且关系$R\{x, y\}$等价于«对于所有$n$， $p_n(x) = p_n(y)$».

c) 存在 $\mu$ 可测量集合的序列 $(A_n)$，对于 R 饱和，使得对于 R 而言，x 的每个 $x \in T$ 类是那些 $A_n$ 的交包含 x。

与b)的叙述中的记号、集合$p(x) = (p_n(x))$； 性质 b) 表示 T 到乘积空间 $\prod F_n$ 的映射 $p$ 是可测量的（Ch. IV, §5, No. 3，Th. 1），并且关系 $R\{x, y\}$ 相当于$p(x) = p(y)$；因此 b) 意味着 a)。

接下来让我们证明 c) 蕴涵 b)。假设c)已验证；那么特征函数 $\varphi_{A_n}$ 是 $\mu$ 可测量的，并且假设 c) 意味着关系 $R\{x, y\}$ 相当于 «对于每个 $n$, $\varphi_{A_n}(x) = \varphi_{A_n}(y)$»。

最后，让我们证明 a) 蕴涵 c)。根据命题 2，存在一个局部紧致空间 B，其中可数基，以及 T 到 B 的 $\mu$ 可测映射 $p$，使得关系 $R\{x, y\}$ 等价于 $p(x) = p(y)$。令 $(U_n)$ 为 B 的拓扑的可数基。集合 $A_n = \overline{p^{-1}(U_n)}$ 为 $\mu$ 可测（第 IV, §5, No. 5，第 7 章）且对于 R 是饱和的；如果$x, y$是T的点使得$p(x) \neq p(y)$，则存在指标$n$使得$p(x) \in U_n$和$p(y) \notin U_n$，这意味着$x \in A_n$和$y \notin A_n$。

我们可以清楚地假设测度$\mu$是有界的，而$\mu(T) \leq 1$（第V, §5, No. 6章，命题11）。我们将对 Borel 子集 (GT, IX, §6, No. 3) 的定义序列 $(S_n)$ 进行计算，使得关于 R 的每个等价类与 $S_n$ 的并 $S'$ 相交至多一个点，对于每个$n$，$S_p$与指标$p \leq n$的并的饱和度$T_n$是可测量的$\mu$，并且$\mu(T - T_n) \leq 1/2^n$。因此，$S'$的饱和度$T'$将是$\mu$可测量的，并且$N = T - T'$将具有测量零。如果$S''$是关系$R_N$的N中的任何截面，则$S = S' \cup S''$将满足要求，因为$S'$是Borel集合，是$\mu$可测量（第IV, §5, No. 4，Cor.3） Th 2)，并且 $S''$ 的度量为零。

根据命题2，$R\{x, y\}$等价于关系$p(x) = p(y)$，其中$p$是T的$\mu$可测量映射到局部紧致空间F。假设为$k \leq n$定义了$S_k$。由于$T - T_n$是$\mu$可测且测度为$\leq 1/2^n$，因此存在$T - T_n$的紧子集 K，使得$\mu(T - (T_n \cup K)) \leq 1/2^{n+1}$且$p$到K的限制是连续的。由于诱导的关系 $R_K$ 是封闭的并且 K 是可度量的，我们知道存在 K 的 Borel 子集 $S_{n+1}$，使得在 K 中，每个点等价于 (mod R) 一个且唯一一个 $S_{n+1}$ 的点 (GT, IX, §6, No. 8， Th.4）。因此$p(S_{n+1}) = p(K)$，即F中的紧集； R 的 $S_{n+1}$ 饱和度为逆像 $\overline{p^{-1}(p(K))}$，因此是 μ 可测的（第 IV, §5, No. 5 章，第 7 条）；很明显，这个集合包含K，因此T_n和$\overline{p}^{-1}(p(K))$的并T_{n+1}是μ可测的，对于R是饱和的，并且使得$\mu(T - T_{n+1}) \leq 1/2^{n+1}$，从而完成证明。