习题 10, § 3

令 K 为可度量紧致空间，$\mu$ K 的正测度，并将 K 的 $f$ $\mu$ 可测映射转换为 Hausdorff 拓扑空间 E。 用 $y$ 形成的 E 的 I（分别为 U）子集表示，使得 $f^{-1}(y)$ 是无限的（分别为不可数）。 a) 证明 K 中存在一个 $\mu$ 可测集合 H，使得 $f(H) = I$ 并且对于每个 $y \in E$，$f^{-1}(y) \cap CH$ 是有限的。 （令$(K_n)$为K的紧凑子集的递增序列，使得$f$到每个$K_n$的限制是连续的，并且$K_n$的并F的补N是$\mu$-可忽略不计；对于每$k > 1$，令$B_k$为$y$形成的E的子集，使得$F \cap f^{-1}(y)$包含至少与$k$不同点，并让$A_k = F \cap f^{-1}(B_k)$取H并； 集合 $A = \bigcap_k A_k$ 和集合 $N \cap f^{-1}(I)$，并使用 Exer 9。） b) 令$\mathfrak{F}$为$\mu$可测集合$M \subset H$的集合，使得$M \cap f^{-1}(y)$对于每个$y \in E$都是有限的；令 $\alpha$ 为 $M \in \mathfrak{F}$ 的措施 $\mu(M)$ 的至高； $\mathscr{F}$中存在集合的递增序列$(M_n)$使得$\lim_{n \to \infty} \mu(M_n) = \alpha$。 令$P = \bigcup_n M_n$，并令$S$为等价关系$f(x) = f(y)$（Th.3）的$H \cap \mathbf{C}P$的可测量截面；表明$\mu(S) = 0$。

c) 证明存在一个可忽略的 $\mu$ 集合 $Z \subset K$，使得 $f(Z) = U$，并且对于每个 $\varepsilon > 0$，存在一个 $\mu$ 可测量的集合 $L \subset K$，使得 $\mu(L) \leq \varepsilon$ 和 $f(L) = I$（观察每$n$和$U \subset f(S)$对应$f(H \cap \mathbf{C}M_n) = I$）。