Exercice 10, § 3

Soient K un espace compact métrisable, $\mu$ une mesure positive sur K, $f$ une application $\mu$-mesurable de K dans un espace topologique séparé E. On désigne par I (resp. U) la partie de E formée des y tels que $\bar{f}(y)$ soit infini (resp. non dénombrable).

a) Montrer qu’il existe dans K un ensemble $\mu$-mesurable H tel que $f(H) = I$ et que, pour tout $y \in E$, $\bar{f}(y) \cap C_H$ soit fini. (Soit $(K_n)$ une suite croissante de parties compactes de K telle que la restriction de $f$ à chaque $K_n$ soit continue et que le complémentaire N de la réunion F des $K_n$ soit $\mu$-négligeable ; pour tout $k > 1$, soit $B_k$ la partie de E formée des y tels que $F \cap \bar{f}(y)$ contienne au moins k points distincts, et soit $A_k = F \cap \bar{f}(B_k)$; prendre pour H la réunion de l’ensemble $A = \bigcap_k A_k$ et de l’ensemble $N \cap \bar{f}(I)$, et utiliser l’exerc. 9.)

b) Soit $\mathscr{F}$ l’ensemble des parties $\mu$-mesurables $M \subset H$ telles que pour tout $y \in E$, $M \cap \bar{f}(y)$ soit fini ; soit $\alpha$ la borne supérieure des mesures $\mu(M)$ pour $M \in \mathscr{F}$; il existe une suite croissante $(M_n)$ d’ensembles de $\mathscr{F}$ telle que $\lim_{n \to \infty} \mu(M_n) = \alpha$. Soit $P = \bigcup_n M_n$, et soit S une section mesurable de $H \cap C_P$ pour la relation d’équivalence $f(x) = f(y)$ (th. 3); montrer que $\mu(S) = 0$.

c) Montrer qu’il existe un ensemble $\mu$-négligeable $Z \subset K$ tel que $f(Z) = U$, et que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble $\mu$-mesurable $L \subset K$ tel que $\mu(L) \leq \varepsilon$ et $f(L) = I$ (remarquer que pour tout $n$, on a $f(H \cap \mathbf{C} M_n) = I$ et que $U \subset f(S)$).