Bài tập 10, § 3

Cho K là một không gian compact mêtric được, $\mu$ là một độ đo dương trên K, và $f$ là một ánh xạ $\mu$-đo được từ K vào một không gian tôpô Hausdorff E. Ký hiệu I (tương ứng U) là tập con của E tạo bởi các $y$ sao cho $f^{-1}(y)$ là vô hạn (tương ứng không đếm được). a) Chứng minh rằng tồn tại trong K một tập hợp H $\mu$-đo được sao cho $f(H) = I$ và sao cho, với mọi $y \in E$, $f^{-1}(y) \cap CH$ là hữu hạn. (Gọi $(K_n)$ là một dãy tăng các tập compact con của K sao cho hạn chế của $f$ trên mỗi $K_n$ là liên tục và phần bù N của hợp F của các $K_n$ là $\mu$-không đáng kể; với mỗi $k > 1$, gọi $B_k$ là tập con của E tạo bởi các $y$ sao cho $F \cap f^{-1}(y)$ chứa ít nhất $k$ điểm phân biệt, và đặt $A_k = F \cap f^{-1}(B_k)$; lấy H là hợp của tập hợp $A = \bigcap_k A_k$ và tập hợp $N \cap f^{-1}(I)$, và sử dụng Bài tập 9.) b) Gọi $\mathfrak{F}$ là tập hợp các tập hợp $\mu$-đo được $M \subset H$ sao cho $M \cap f^{-1}(y)$ là hữu hạn với mọi $y \in E$; gọi $\alpha$ là cận trên đúng của các độ đo $\mu(M)$ với $M \in \mathfrak{F}$; tồn tại một dãy tăng $(M_n)$ các tập hợp trong $\mathscr{F}$ sao cho $\lim_{n \to \infty} \mu(M_n) = \alpha$. Đặt $P = \bigcup_n M_n$, và gọi $S$ là một tiết diện đo được của $H \cap \mathbf{C}P$ đối với quan hệ tương đương $f(x) = f(y)$ (Định lý 3); chứng minh rằng $\mu(S) = 0$.

c) Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp $\mu$-không đáng kể $Z \subset K$ sao cho $f(Z) = U$ và rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập hợp $\mu$-đo được $L \subset K$ sao cho $\mu(L) \leq \varepsilon$ và $f(L) = I$ (nhận xét rằng $f(H \cap \mathbf{C}M_n) = I$ với mọi $n$ và rằng $U \subset f(S)$).