a) 对于每个点 $t \in T$，存在 t 的邻域 V，使得函数 $g \varphi_V$ 是 $\mu$ 可积。

b) 函数 g 是 $\mu$ 可测量的，对于每个紧集 $K \subset T$，$\int^* |g|\varphi_K\,d\mu < +\infty$。

c) 对于每个数值函数 $h \in \mathscr{K}(T)$，$gh$ 是 $\mu$ 可积。

让我们证明 a) 蕴涵 b)；因为，函数 g 可以通过定位的原理来测量（第 IV, §5, No. 2 章，第 4 条）。另一方面，对于每个$t \in K$，到假设，存在$T$中$t$的邻域$V_t$，使得$g \varphi_{V_t}$可积；因此，我们可以用有限的数邻域$V_i$（$1 \leq i \leq n$）覆盖$K$，使得函数$g \varphi_{V_i}$可积。从$|g| \varphi_K \leq \sum_{i=1}^n |g| \varphi_{V_i}$开始，一个人就有了$\int^* |g| \varphi_K \, d\mu < +\infty$。

其次，b) 蕴含 c)，因为 $gh$ 是可测的，如果 $L$ 是 $h$ 的紧支撑，那么 $|gh| \leq \|h\| \cdot |g| \varphi_L$，因此 $\int^* |gh| \, d\mu < +\infty$乘以假设；因此，$gh$ 可根据可积性准则进行积分（Ch. IV, §5, No. 6，Th. 5）。

最后，c) 暗示了 a)。事实上，对于每个$t \in T$，让$V$成为$t$的紧邻域。存在$T$到$[0,1]$的连续映射$h$，等于$V$上的1并且有紧支撑（第III, §1, No. 2，引理1）；由假设 $gh$ 是可积的，因此 $g \varphi_V = (gh) \varphi_V$ 也是可积的（第 IV, §5, No. 6 章，第 5 章第 3 章）。

我们从一个辅助结果开始：

*其中$\mathscr{K}_1$（或$\mathscr{B}_1$）表示复数函数$c$的集合，与紧凑支撑（或Borel）连续，使得$|c| \leq 1$。

我们先来处理$f \in \mathscr{K}(T; \mathbf{C})$的情况。显然

（第 IV, §4, No. 2 章，提案 2）。另一方面，令$g$为$\mathscr{K}(T; \mathbf{C})$的元素，使得$|g| \leq |f|$； $g$是序列的统一极限，$\mathscr{K}(T; \mathbf{C})$的元素的$(g_n)$，其支撑包含在由$t$形成的开放集合$U$中，使得$f(t) \neq 0$，并且人们可以清楚地假设：每 $n$ $|g_n| \leq |f|$。 集合$c_n(t) = g_n(t)/f(t)$为$t \in U$，$c_n(t) = 0$为$t \notin U$；然后$c_n \in \mathscr{K}_1$，$g = \lim_{n \to \infty} c_n f$，因此$|\langle\theta, g\rangle| = \lim_{n \to \infty} |\langle\theta, c_n f\rangle|$，最后

结论乘注意到，该不等式的第一个成员等于$\langle |\theta|, |f| \rangle$（第III, §1, No. 6，公式（12））。

接下来，用 $\overline{\mathscr{L}}_C^1(\theta)$ 的 $f$ 元素表示，并让我们证明 (4) 再次成立：足以验证此关系的三个成员对于 $\overline{\mathscr{L}}_C^1(\theta)$ 的拓扑持续依赖于 $f$，因为它们重合依赖于稠密子空间$\mathscr{K}(T; \mathbf{C})$。这是由以下不等式立即产生的，其中 $f$ 和 $f'$ 表示元素或 $\overline{\mathscr{L}}_C^1(\theta)$：

对于所有$c \in \mathscr{B}_1$。 引理由此成立。

命题 2 中的经过到证明，让我们将引理应用于函数 $uh$，其中$h$ 属于到$\mathscr{K}_+(T)$。这产生：

然而，第一个成员也等于

因此，两个度量 $|u| \cdot |\theta|$ 和 $|u \cdot \theta|$ 相等。

特别地，如果$g$是局部$\mu$可积数值函数，那么

这是从第 2 章的第 2 条命题和公式 (6) 立即得出的。 II, §1, No. 1。

这是从 Th 得出的。 1 个§4, No. 2。

说$\mathbf{f}$（或$u \mathbf{f}$）对于$u \cdot \theta$（或$\theta$）局部可以忽略不计，相当于说，$|\mathbf{f}|$（或$|u| \cdot |\mathbf{f}|$）对于$|u \cdot \theta|$（或$|\theta|$）局部可以忽略不计。因此，根据No. 2的命题2，我们被简化为$\mathbf{f}, u, \theta$为正的情况； 叙述则立即由命题 3 得出。

立即简化为表明$u \cdot \theta = 0$意味着$u(t) = 0$局部几乎无处不在；但$u \cdot \theta = 0$意味着函数1对于测度$u \cdot \theta$来说局部可以忽略不计。然后应用推论 1。

因为，当且仅当 $u \cdot \mu = |u \cdot \mu| = |u| \cdot \mu$（命题 2）时，$u \cdot \mu$ 才为正，这几乎在任何地方都等价于局部$u = |u|$（Cor. 2）。

当$u$和$\theta$为正时，这立即从§4, No. 3的命题3得出。由于命题 2，结果是扩展到 $u$ 和 $\theta$ 很复杂的情况。

因为，$u \mathbf{f}$是扩张除以$(u \mathbf{f})|S$到$T$中的0。

此外，假设$u$是连续的，并且$u(t) \neq 0$对于所有$t \in T$；那么$f$对于测度$\eta$可积当且仅当$uf$对于$\theta$可积。

从 Th 立即得出 $u$ 和 $\theta$ 为正的情况。 2 个§4, No. 4。 叙述的第一个和最后一个断言紧随其后，因为$f$相对于$\eta = u \cdot \theta$本质上可积（可积）当且仅当它对于$|\eta| = |u| \cdot |\theta|$本质上可积（可积）。最后，假设 $f$ 本质上可积为 $\eta$（因此也可积为 $|\eta|$）；我们利用分解 (2)：$f$ 对于每个测度 $\eta_{ij} = g_i \cdot \mu_j$ ($i = 1, 2, 3, 4,\ j = 1, 2, 3, 4$) 本质上是可积的，因为这些测度是 $\leq |\eta|$。我们有

公式 (6) 紧随其后。

令$(g_\alpha)_{\alpha \in A}$为T上定义的$\mu$可测量正函数族。令$S_\alpha$为$t \in T$的集合，使得$g_\alpha(t) \neq 0$。如果族 $(S_\alpha)$ 是局部可数的（第 IV, §5, No. 9 章），我们可以说族 $(g_\alpha)$ 是*局部可数的*；这相当于说，对于T中的每个紧集K，$\alpha \in A$的集合使得$g_\alpha|K$不是零是可数的。

很明显，$g$ 是 $\mu$ 可测的（第 IV, §5, No. 2 章，第 4 条命题和 No. 4，第 2 条的 Cor.1）。因此，对于$g$局部$\mu$可积，$\mu^\bullet(gf)$对于每个$f \in \mathscr{H}_+(T)$是有限的是必要且充分的。现在，由于$\alpha \in A$的集合使得$g_\alpha f \neq 0$是可数的，我们有$\mu^\bullet(gf) = \sum_{\alpha \in A} \mu^\bullet(g_\alpha f)$（§1, No. 1，Prop.2的Cor.）。 集合$\nu_\alpha = g_\alpha \cdot \mu$； 条件 $\mu^\bullet(gf) < +\infty$ 等价于条件 $\sum_{\alpha \in A} \nu_\alpha(f) < +\infty$：在其他字中，$g$ 局部可积 $\mu$ 当且仅当族 $(\nu_\alpha)$ 可求和。将该族的和记为$\nu$，则上述计算得到等式$\nu(f) = \mu^\bullet(gf)$，相当于(8)。

将第 6 条命题应用到函数（几乎所有地方都是局部正数）$g'_n = g_{n+1} - g_n$ 就足够了。

令 $g$ 为在 $X$ 上定义的正数值函数，可对测度 $\nu = \int \lambda_t d\mu(t)$ 进行局部可积。 $t \in T$的集合使得$g$不是局部$\lambda_t$可积，那么对于$\mu$，映射$t \mapsto g \cdot \lambda_t$（局部定义$\mu$-几乎无处不在）是$\mu$-足够的，并且

设$(K_n)_{n \in \mathbf{N}}$为$X$的紧凑子集的递增序列，其内部覆盖$X$；如果 $\eta$ 是 $X$ 上的任何正测度，​​则说 $g$ 是局部 $\eta$ 可积的，相当于说 $g \varphi_{K_n}$ 对于每个 $n$ 是 $\eta$ 可积的。现在令$H_n$为$t \in T$的集合，使得$g \varphi_{K_n}$不可积$\lambda_t$，并令$H = \bigcup_n H_n$；由于$H_n$对于所有$n$（§ 3, No. 3，Th.1）来说在本地$\mu$可以忽略不计，因此$H$也是如此，它建立了叙述的第一个断言。对于$H$中的$t$，替换$\lambda_t$除以0（这不是变换度量$\nu$），我们可以假设$g$对于每个$t \in T$是局部$\lambda_t$可积的。对于$X$上定义的每一个$\nu$可测量正函数$h$，根据§ 3, No. 2的第3条和第5条，我们有，

这个公式和§ 3, No. 2的命题5首先表明（在取$h \in \mathscr{K}_+(X)$时）映射$t \mapsto g \cdot \lambda_t$本质上是$\mu$可标量可积的，并且它的积分是$g \cdot \nu$；在其他字中，关系 (9) 成立。接下来，让我们通过正测量$\mu' \leq \mu$来计算替换$\mu$，并让我们对$h$取一个正下半连续函数：从这些关系立即可以得出$t \mapsto g \cdot \lambda_t$是$\mu$-充分的（§ 3, No. 1，定义1）。

根据命题4的推论，说$g_2$是$\theta_1$可测就相当于说$g_2 g_1$是$\theta$可测。让我们假设这个条件得到满足。对于每个函数 $f \in \mathscr{K}_+(T)$，我们有命题 2 和 3，

因此，说 $g_2$ 是局部 $\theta_1$ 可积的，就等价于说 $g_2 g_1$ 是局部 $\theta$ 可积的。假设 Th 满足条件。 1 我们有

公式相当于(10)。

1) $\nu$ 是基 $\mu$ 的度量。 2) 每个局部$\mu$-可忽略的集合都是局部$\nu$-可忽略。 3) 每个$\mu$-可忽略的紧集都是$\nu$-可忽略。

很明显，1) 意味着 2)（命题 3 的 Cor.1），而 2) 意味着 3)。我们将证明 3) 蕴涵 1)。我们首先注，如果条件 3) 被满足，那么每一个集合$A$是*普遍可测量的*并且局部$\mu$-可忽略的就是局部$\nu$-可忽略的；对于，$\nu^\bullet(A) = \sup \nu(K)$，其中$K$超过$A$中包含的紧集的集合（§ 1, No. 3，第10条，a）和第1章。 IV, § 4, No. 6，科。 2 Th。 4).接下来，我们将建立两个引理。

设$g$为空间$\mathscr{L}_\mathbf{R}^2(T, \alpha)$中的元素； $g$ 是 $\beta$ 可测量的且 $\int^\bullet |g|^2 \, d|\beta| \leq M \int^\bullet |g|^2 \, d\alpha < +\infty$。 函数$g$，因此属于到$\mathscr{L}^2(T, |\beta|)$，并且也到$\mathscr{L}^1(T, |\beta|)$，因为$\beta$是有界的。根据柯西-施瓦茨不等式，

因此，映射$g \mapsto \beta(g)$是$\mathscr{L}^2(T, \alpha)$上的连续线性形式。与 $\mathscr{L}^2(T, \alpha)$ 相关联的 Hausdorff 空间是希尔伯特空间，则存在（TVS，Ch. V, § 1, No. 7，Th. 3）实数函数 $u \in \mathscr{L}^2(T, \alpha)$，因此也有属于到 $\mathscr{L}^1(T, \alpha)$，这样每 $g \in \mathscr{L}^2(T, \alpha)$ $\beta(g) = \alpha(ug)$。 应用这个关系换$g \in \mathscr{K}(T)$，一看就是$\beta = u \cdot \alpha$。

(11) 存在常数$M \geq 0$使得$\varphi_K \cdot \nu \leq M \varphi_K \cdot \mu$。 那么集合$\mathscr{K}$在$T$中是$\mu$密集。

如果$K$满足(11)，并且如果$A$是包含在$K$中的Borel集合，则立即从命题8得出$\varphi_A \cdot \nu \leq M \varphi_A \cdot \mu$；由此，可以推导出$\mathscr{K}$属于的两个元素$K, K'$到$\mathscr{K}$的并因为$\varphi_{K \cup K'} = \varphi_K + \varphi_A$，其中$A = K' \cap \complement K$。为了建立引理，还需要证明每个紧集$L$使得$\mu(L) > 0$包含紧集$K \in \mathscr{K}$使得$\mu(K) > 0$（第IV, §5, No. 8，第12条）。 选择数 $M > \nu(L)/\mu(L)$ 并将引理 1 应用于有界正测度 $\alpha = \varphi_L \cdot (\nu + M \mu)$ 和测度 $\beta = \varphi_L \cdot (\nu - M \mu)$。 替换如果需要函数 $u$ 使得$\beta = u \cdot \alpha$乘以函数等于它$\alpha$——几乎在任何地方，我们都可以假设$u$是普遍可测的（§3, No. 4，第7条）并且零在$L$。 集合 $H$ 的 $t \in T$ 使得 $L$ 中包含的 $u(t) < 0$ 不能被 $\mu$ 忽略不计，因为它将是 $\nu$ 忽略不计（由注在证明开始时制作） Th. 2)，因此 $\alpha$ 可以忽略不计，并且可以有 $\beta(L) > 0$，其中与……矛盾选择为 $M$。令$K$为紧集包含在$H$中，使得$\mu(K) > 0$；让我们证明$K \in \mathscr{K}$，这将建立引理。根据第 8 号提案，