我们可以假设$\mu \geqslant 0$。让$F \in \mathscr{K}_+(\mathbf{G} \times \mathbf{X})$。然后

现在，函数$(s, x) \mapsto F(s, x)\chi(s, x)$具有紧凑的支持并且$(\mu \otimes \beta)$可测量。由 Ch. V, §8, No. 3，命题7，前面的等式证明了这个函数是$(\mu \otimes \beta)$可积的，并且

这同时证明了断言和引理 1。

我们可以假设$f \geqslant 0$和$\mu \geqslant 0$。让$h \in \mathscr{K}_+(\mathbf{X})$。我们要证明函数 $(s, x) \mapsto h(sx)$ 对于$\mu \otimes (f \cdot \beta) = (1 \otimes f) \cdot (\mu \otimes \beta)$（第 V, §8, No. 5 章，第 10 条命题）本质上是可积的，即 $\iint^\bullet h(sx)f(x)\varphi_K(s) d\mu(s) d\beta(x) < +\infty$（第 V, §5, No. 3 章，第 3 条命题）；显然足以证明存在一个$a > 0$，使得对于$\mathbf{G}$的每个紧凑子集$K$，

到引理1， 现在，函数$(s, x) \mapsto h(x)f(s^{-1}x)\varphi_K(s)\chi(s^{-1}, x)$是$(\mu \otimes \beta)$可测量的（引理1）并且具有紧凑的支持。因此，前面的表达式等于（第 V, §8, No. 3 章，提案 7）

其中S表示h的支持度。 从而命题。

让$h \in \mathscr{H}(X)$。由于$\mu$和f是可卷积的，函数$(s, x) \mapsto h(sx)f(x)$本质上是$(\mu \otimes \beta)$可积。到引理 1，函数 $(s, x) \mapsto h(x)f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)$ 本质上是 $(\mu \otimes \beta)$ 可积。在叙述的假设 (i) 或 (ii) 下，可以推断出该函数是 $(\mu \otimes \beta)$ 可积的；因为，在第一种情况下它是连续的并且适用第 3 章的命题 3。 V, §1, No. 1，在第二种情况下，它是零在紧集的可数并之外，并且适用No. 2的第7、2）条，loc。引用。由勒贝格-富比尼定理，

函数 $x \mapsto g(x) = \int f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)\, d\mu(s)$ 而且$\beta$ 是可积的。由此可见

从而$g = \mu *_{\beta} f$。

现在假设$\mu$由紧集的序列的并 S携带。 函数

本质上是$(\mu \otimes \beta)$可积，并且零在紧集的可数并之外，因此$(\mu \otimes \beta)$可积。从$\mu = \varphi_S \cdot \mu$开始，参数结论变为之前。

我们知道 $\mu$ 和 $f$ 是可卷积的（§3, No. 2，命题 8 (i)）。另一方面，对于 §2 的记号，我们有

因为 $\mathscr{C}(X)$ 已经完成。特别是，对于每个 $x \in X$， 这与命题 2 (i) 和§2, No. 6 相结合，证明了 (ii)。最后，如果$f \in \mathscr{K}(X)$则$\mu * (f \cdot \beta)$具有紧支持（§3, No. 2，命题9），因此$\mu *_{\beta} f \in \mathscr{K}(X)$。例如，让我们考虑通过连续扩展$\mathscr{K}(X)$中的连续算子$\gamma_\chi(s)$而获得的补全$\mathscr{K}(X)^{\sim}$中$G$的连续表示$U$（§ 2, No. 1，*注3*）。设$S$为$\mu$的支撑。 函数$\gamma_\chi(s)f$，对于$s \in S$，其支持包含在固定的紧集$K$中。 集合$\mathscr{K}(X, K)$是$\mathscr{K}(X)$的完全线性子空间。因此$U(\mu)f \in \mathscr{K}(X)$。人们将$U(\mu)f = \mu *^\beta f$视为之前，并且(iii)再次从§ 2, No. 6得出。

(i) $\mu$ 和 $f$ 相对于 $\beta$ 是可卷积的。

(ii) No. 1定义的公式(3)对于每个$x \in X$一个连续的卷积乘积$\mu *^\beta f$。

(iii) $\mathscr{M}(G) \times \mathscr{K}(X)$到$\mathscr{C}(X)$的*映射$(\mu, f) \mapsto \mu *^\beta f$相对于$\mathscr{M}(G)$的有界子集和包含在某些子空间$\mathscr{K}(X, L)$中的紧子集和$\mathscr{K}(X)$的紧凑子集来说是低连续的（其中$L$是$X$的可变紧凑子集）。*

我们知道$\mu$和$f$是可卷积的（§ 3, No. 2，命题8（ii）），并且很明显，对于每个$x \in X$，（3）中出现的积分都存在。令$K$和$L$是$X$的两个紧凑的子集。存在$G$的紧子集$H$，使得关系$x \in K$和$s^{-1}x \in L$隐含$s \in H$；让$\varphi \in \mathscr{K}_+(G)$和$\varphi(s) = 1$得到$s \in H$。然后，对于$f \in \mathscr{K}(X, L)$和$x \in K$，

因此，$\int f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)\, d\mu(s)$是$x$的连续函数，定义是乘积$\mu *^\beta f \in \mathscr{C}(X)$的卷积。此外，对于紧收敛拓扑，$\mathscr{M}(G)$到$\mathscr{C}'(G)$的映射$\mu \mapsto \varphi \cdot \mu$是连续的。因此，第 3 (iii) 条意味着，对于 $X$ 的每个紧致子集 $L$，$\mathscr{M}(G) \times \mathscr{K}(X, L)$ 的映射 $(\mu, f) \mapsto \mu *^\beta f$ 进入 $\mathscr{C}(X)$ 相对于 $\mathscr{K}(X, L)$ 的紧致子集是低连续的。特别地，$\mathscr{M}(G) \times \mathscr{K}(X)$到$\mathscr{C}(X)$的映射$(\mu, f) \mapsto \mu *^\beta f$是单独连续的。由于 $\mathscr{K}(X)$ 是桶状的，因此这个映射相对于 $\mathscr{M}(G)$ 的有界子集是低连续的（TVS，III, § 5, No. 3，命题 6）。

1对于函数$f$，表达方式“$f \in L^\infty(X, \beta)$”是对记号的滥用，表示根据上下文，符号$f$将被解释为函数或函数的等价类。 In particular, the symbol $\mu *^\beta f$ can stand for either a function defined locally $\beta$-almost everywhere, or the equivalence class of such a function for the relation of equality locally $\beta$-almost everywhere.

(iii) *If, moreover, $f \in \mathscr{C}^\infty(X)$ (resp. $\overline{\mathscr{K}(X)}$), then formula (3) of No. 1 defines for every $x$ a convolution product $\mu *^\beta f$ that belongs to $\mathscr{C}^\infty(X)$ (resp. $\mathscr{K}(X)$).

(iv) *如果$f \in \mathscr{K}(X)$，则(3)定义的卷积乘积$\mu *^\beta f$就是$\overline{\mathscr{K}(X)}$中$G$的连续表示$\gamma_\chi$定义的元素$\gamma_\chi(\mu)f$。

恒等式$\chi(st, x) = \chi(s, tx)\chi(t, x)$立即意味着$\rho(st) \leq \rho(s)\rho(t)$。另一方面，$\rho$是下半连续的，是连续函数的上包络线。

让$\mu \in \mathscr{M}^\rho(G)$。根据No. 1的命题1，$\mu$和1是可卷积的；命题 2 (i) 表明 $(|\mu| *^\beta 1)(x) \leq \int_G \rho(s) d|\mu|(s)$ 局部$\beta$——几乎无处不在。因此，如果$f$是$\beta$可测且$|f| \leq 1$，则$\mu$和$f$是可卷积的且$N_\infty(\mu *^\beta f) \leq \int \rho(s) d|\mu|(s)$。此外，$\mu *^\beta f$几乎处处都由No. 1的公式(3)局部给出，因为满足No. 1的命题2的条件(iii)。这意味着(ii)。

假设 $f$ 连续，并且在绝对值中以 1 为界。很明显，对于所有$x \in X$，(3) 中出现的积分都存在。让我们证明它们持续依赖于 $x$。我们可以假设$\mu \geq 0$。设$x_0 \in X$和$\varepsilon > 0$。令 $K$ 为 $G$ 的紧凑子集，使得 $\int_{G - K} \rho(s) d\mu(s) \leq \varepsilon$。在$X$中存在$x_0$的邻域$V$，使得$x \in V$意味着

对于$s \in K$。那么，对于$x \in V$，

从而我们的断言。假设在加法$f \in \overline{\mathscr{K}(X)}$。令 $H$ 为 $X$ 的紧凑子集，使得 $|f(y)| \leq \varepsilon$ 为 $y \notin H$。让$x \notin KH$。然后 $s^{-1}x \notin H$ 对应 $s \in K$，因此

从而完成 (iii) 的证明。

最后，如果 $f \in \mathscr{K}(X)$ 那么，由于 $\varepsilon_x \in \mathscr{M}^1(X)$ 对于所有 $x \in X$，我们有

因此$\gamma_\chi(\mu)f$是(3)定义的卷积乘积$\mu *^\beta f$。

我们有

由 §2, No. 5、公式 (5)。另一方面，$G$到$L^p(X, \beta)$的映射$s \mapsto \gamma_\chi(s)f$是连续的（§2, No. 5，命题9）。因此这个映射是$\mu$可积的。让 我们有$\|g\|_p \leq (\int \rho^{1/q}(s) d|\mu|(s)) \|f\|_p$。 应用前面的注到$|f|$，可以看出，$G$到$L^p(X, \beta)$的映射$s \mapsto \varepsilon_s * |f|$是$\mu$可积的，因此，对于每个$h \in \mathscr{H}(X)$，映射$s \mapsto \langle h, \varepsilon_s * (|f| \cdot \beta) \rangle$是 $\mu$ 可积的。 §1, No. 5的第7条命题证明了$\mu$和$f \cdot \beta$是可卷积的。而且， 根据 §1, No. 5 的命题 7，最后一个积分等于 $\langle h, \mu * (f \cdot \beta) \rangle$。因此，可以看出$g$是$\mu$和$f$的卷积乘积。这个卷积乘积是局部$\beta$ 给出的——几乎所有地方都由 (3)、命题 2 和其后面的 注 给出。

2对于函数$f$，表达方式“$f \in L^p(X, \beta)$”是对记号的滥用，表示根据上下文，符号$f$将被解释为$\beta$定义的函数-几乎无处不在，或者解释为此类的等价类函数关系等式 $\beta$ - 几乎无处不在。因此$f \in L^p$可以象征$f \in \mathscr{L}^p$或$\dot{f} \in L^p$。

通过滥用记号，它通常是叙述的函数$g$之一，表示为$\mu *^\beta f$，它允许写入

此外，如果 $X$ 在无穷大处可数，那么记号的这种风格是完全合理的。

这是从 Props 得出的。 5和6以及卷积乘积的结合性。

由于$g(s, x)$对于$\mu \otimes \nu$可积，函数$f(sx)$对于$(\chi \cdot \check{\mu}) \otimes \nu$本质上可积，并且$f$对于$(\chi \cdot \check{\mu}) * \nu$本质上可积。根据 Lebesgue–Fubini 定理，$\mu *_{\beta} f = \int g(s, x) d\mu(s)$ 是 $\nu$ 可积且