Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 3。连续向量值函数的积分

*在此过程中，截面、X表示局部紧致空间，E 表示R\mathbf{R}或C\mathbf{C}上的局部凸空间。我们用E′E'表示E的对偶（E上连续线性形式的空间），用E′∗{E'}^*表示E′E'的代数对偶（E′E'上所有线性形式的空间）；对于z∈Ez \in E、z′∈E′z' \in E'、z′∗∈E′∗{z'}^* \in {E'}^*，我们写为⟨z,z′⟩=z′(z)\langle z, z' \rangle = z'(z)、⟨z′∗,z′⟩=z′∗(z′)\langle {z'}^*, z' \rangle = {z'}^*(z')。

回想一下，如果 E 是 Hausdorff，则可以通过将元素 z∈Ez \in E 与 E′E' 上的线性形式 z′↦⟨z,z′⟩z' \mapsto \langle z, z' \rangle 识别为 E′∗{E'}^* 的线性子空间来识别 E，并且配备弱拓扑 σ(E′∗,E′)\sigma({E'}^*, E') 的 E′∗{E'}^* 可以是规范地认为E的完成配备了削弱的拓扑σ(E,E′)\sigma(E, E')。

1. 向量值函数的积分定义

Recall that a mapping f of X into E is said to be weakly continuous if, for every z′∈E′z' \in E', the mapping x↦⟨f(x),z′⟩x \mapsto \langle f(x), z' \rangle of X into C\mathbf{C} (in other words the mapping z′∘fz' \circ f, also denoted ⟨f,z′⟩\langle f, z' \rangle) is continuous. 如果对于每个 z′∈E′z' \in E'，映射 x↦⟨f(x),z′⟩x \mapsto \langle f(x), z' \rangle 具有紧致支持，我们可以说 X 的映射 f 进入 E 是*紧致支持的标量*。 我们将 X 的映射的 K~(X;E)\widetilde{\mathscr{K}}(X; E) 空间表示为 E，它们是*弱连续且紧致支持的标量*；显然K~(X;E)⊃K(X;E)\widetilde{\mathscr{K}}(X; E) \supset \mathscr{K}(X; E)，但这两个空间不一定相同（见下面的*例*2）；然而，当 E 是有限维时，它们是相等的。

注在函数的定义是弱连续的（分别是紧支持的标量），E的拓扑仅通过E的对偶E′E'的中介进行干预；因此，当 E 的拓扑被对偶相同的任何局部凸拓扑替换时，这些函数中的集合不会改变。

如果E和F是对偶中的两个向量空间，我们注说，X到E中的映射对于σ(E,F)\sigma(E, F)来说是“连续”，并且说它是“弱连续”，这意味着相同的意思。

令ff为XX到EE的映射，紧支持的弱连续和标量，并令μ\mu为XX的测度；对于每个z′∈E′z' \in E'，我们有z′∘f∈K(X)z' \circ f \in \mathscr{K}(X)； 集合

φ(z′)=∫⟨f(x),z′⟩dμ(x)=μ(z′∘f). \varphi(z') = \int \langle f(x), z' \rangle d\mu(x) = \mu(z' \circ f).

很明显，φ\varphi是E′E'上的线性形式，因此是E′∗{E'}^**的*元素。

定义 1 08NN

对于每个函数f∈K~(X;E)f \in \widetilde{\mathscr{K}}(X;E)，我们称ff相对于μ\mu的积分，并用∫fdμ\int f d\mu或∫f(x)dμ(x)\int f(x) d\mu(x)，或∫fμ\int f \mu，或∫f(x)μ(x)\int f(x)\mu(x)，元素定义的E′∗{E'}^*表示

被以下引用 1

被以下引用 命题 1

⟨∫fdμ,z′⟩=∫⟨f,z′⟩dμfor all z′∈E′. \left\langle \int f d\mu, z' \right\rangle = \int \langle f, z' \rangle d\mu \quad \text{for all } z' \in E'.

我们注即使EE是*Hausdorff*和f∈K(X;E)f \in \mathscr{K}(X;E)，*也不一定有*∫fdμ∈E\int f d\mu \in E（例1；cf.No. 3）。

例 08NO

— 1) 假设EE是C\mathbf{C}和Hausdorff上的*有限维的*，因此如果(ei)1≤i≤n(e_i)_{1 \leq i \leq n}是EE的基，则映射

(ξ1,…ξn)↦∑i=1nξiei (\xi_1, \ldots \xi_n) \mapsto \sum_{i=1}^n \xi_i e_i

是Cn\mathbf{C}^n到EE的*同构*。然后我们知道EE上的每个线性形式都是连续的，在其他字中，E′E'与EE的代数对偶E∗E^*相同，并且E′∗{E'}^*可以规范地与EE等同。令(ei′)1≤i≤n(e'_i)_{1 \leq i \leq n}为E′E'对(ei)(e_i)的基；为了使XX到EE的映射ff是弱连续且具有紧支撑的标量，函数fi=ei′∘ff_i = e'_i \circ f是具有紧支撑连续的充分必要；那么我们对所有 x∈Xx \in X 都有 f(x)=∑i=1nfi(x)eif(x) = \sum_{i=1}^n f_i(x) e_i，并且

∫fdμ=∑i=1nμ(fi)ei. \int f d\mu = \sum_{i=1}^n \mu(f_i) e_i.

2) 让我们在XX采取EE空间M(X;C)\mathscr{M}(X; \mathbf{C})的措施，配备*模糊*拓扑（§ 1, No. 9）；然后，EE的对偶E′E'可以被规范地识别为空间K(X;C)\mathscr{K}(X; \mathbf{C})（TVS，II, § 6, No. 2，提案3）。 XX到EE的映射x↦εxx \mapsto \varepsilon_x是*连续的*（§ 1, No. 9，命题13），但是如果XX不是紧致的，那么它的支持不是紧致的；然而，它是*紧凑*支持，因为对于每个函数 f∈E′f \in E' 函数 x↦⟨εx,f⟩=f(x)x \mapsto \langle \varepsilon_x, f \rangle = f(x) by 定义都有紧凑支持。而且，

∫⟨εx,f⟩dμ=∫f(x)dμ(x)=⟨μ,f⟩ \int \langle \varepsilon_x, f \rangle d\mu = \int f(x) d\mu(x) = \langle \mu, f \rangle

对于每个函数 f∈K(X;C)=E′f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C}) = E'，这证明了

∫εxdμ(x)=μ \int \varepsilon_x d\mu(x) = \mu

对于 XX 上的每个小节 μ\mu。

3）如果EE是Hausdorff，那么对于每个点y∈Xy \in X和每个函数f∈K~(X;E)f \in \widetilde{\mathscr{K}}(X; E)，我们有

∫fdεy=f(y) \int f d\varepsilon_y = f(y)

因为∫⟨f,z′⟩dεy=⟨f(y),z′⟩\int \langle f, z' \rangle d\varepsilon_y = \langle f(y), z' \rangle乘定义。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 III § 1. 。局部紧凑措施空间, 命题 13, III § 1

被以下引用 命题 8

注 1 08NP

如果EE是局部凸空间，NN是{0}\{0\}在EE的闭包，那么E1=E/NE_1 = E/N是与EE相关的Hausdorff局部凸空间，我们知道对偶E′E'和E1′E'_1 相同；对于函数ff至属于至K~(X;E)\widetilde{\mathscr{K}}(X; E)，f1=π∘ff_1 = \pi \circ f（其中π:E→E1\pi : E \to E_1为典范同态）属于至K~(X;E1)\widetilde{\mathscr{K}}(X; E_1)是必要且充分的，在这种情况下为∫fdμ=∫f1dμ\int f d\mu = \int f_1 d\mu。因此，我们可以自己极限只考虑*Hausdorff*局部凸空间。

注 2 08NQ

令 EE 为空间 over C\mathbf{C} 的局部凸，并令 E0E_0 为 EE 底层的局部凸空间 over R\mathbf{R}；我们知道映射z′↦ℜz′z' \mapsto \Re z'，对于EE上的每个连续（复数）线性形式z′z'，使对应成为E0E_0上的连续（实数）线性形式z↦ℜ⟨z,z′⟩z \mapsto \Re \langle z, z' \rangle，是对偶的R\mathbf{R}同构E′E' 到E0E_0 的双E0′E'_0（TVS，II, §8, No. 1）。类似地，实向量空间 E0′E'_0 的代数对偶 E0′∗E'_0* 可以与 E′E' 的代数对偶 E′∗E'* 下的实数空间规范地等同。由此可见，如果 μ\mu 是一个*实测度*并且 ff 映射在 K~(X;E)\widetilde{\mathscr{K}}(X; E) 中，则当 ff 被视为在 E0E_0 中取其值以及在两者中的规范双线性形式时，公式 (1) 再次有效成员分别相对于第一个成员的E0′E'_0和E0′∗E'_0*之间的对偶性以及第二个成员的E0E_0和E0′E'_0之间的对偶性。

2. 矢量积分的性质

命题 1 08NR

— *映射

(f,μ)↦∫fdμ (f, \mu) \mapsto \int f d\mu
引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 定义 1

被以下引用 命题 1, III § 1

K~(X;E)×M(X;C)\widetilde{\mathscr{K}}(X; E) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C}) 到 E′∗E'* 是双线性。

命题紧随 Def. 之后。 No. 1 中的 1 个。

令uu为EE的连续线性映射变为局部凸空间FF；我们知道转置tu^t u是FF的对偶F′F'到EE的对偶E′E'的线性映射；我们用 ttu^{tt} u 映射 E′∗→F′∗{E'}^* \to {F'}^*、转置或 tu^t u 表示（代数意义上）；当EE和FF是Hausdorff并且分别用E′∗{E'}^*和F′∗{F'}^*的子空间规范地识别时，ttu^{tt} u扩展映射uu。有了这些记号：

命题 2 08NS

— 令 uu 为 EE 的连续线性映射变为局部凸空间 FF；对于每个函数 f∈K~(X;E)f \in \widetilde{\mathscr{K}}(X;E)、函数 u∘fu \circ f 属于到 K~(X;F)\widetilde{\mathscr{K}}(X;F) 以及

∫u(f(x)) dμ(x)=ttu(∫f(x) dμ(x)). \int u(f(x))\, d\mu(x) = ^{tt} u \left( \int f(x)\, d\mu(x) \right).
被以下引用 2

被以下引用 命题 8, 注, VII § 3

对于每个连续的线性形式z′∈F′z' \in F'，我们在设定y′=z′∘u=tu(z′)∈E′y' = z' \circ u = {}^t u(z') \in E'上有z′∘u∘f=y′∘fz' \circ u \circ f = y' \circ f，从而第一个断言；此外，对于所有z′∈F′z' \in F'，

⟨∫(u∘f) dμ,z′⟩=∫⟨u∘f,z′⟩ dμ=∫⟨f,tu(z′)⟩ dμ=⟨∫f dμ,tu(z′)⟩=⟨ttu(∫f dμ),z′⟩, \left\langle \int (u \circ f)\, d\mu, z' \right\rangle = \int \langle u \circ f, z' \rangle\, d\mu = \int \langle f, {}^t u(z') \rangle\, d\mu \\ = \left\langle \int f\, d\mu, {}^t u(z') \right\rangle = \left\langle {}^{tt} u \left( \int f\, d\mu \right), z' \right\rangle,

从而公式 (2)。

命题 3 08NT

— 对于每个函数 g∈C(X;C)g \in \mathscr{C}(X;\mathbf{C}) 和每个函数 f∈K~(X;E)f \in \widetilde{\mathscr{K}}(X;E)、函数 gfgf 属于到 K~(X;E)\widetilde{\mathscr{K}}(X;E) 以及

∫f d(g⋅μ)=∫fg dμ. \int f\, d(g \cdot \mu) = \int fg\, d\mu.
被以下引用 1

被以下引用 IV § 4. 。 可积函数和集合

事实上，对于每个z′∈E′z' \in E'、⟨gf,z′⟩=g⟨f,z′⟩\langle gf, z' \rangle = g \langle f, z' \rangle、从而，第一个断言；此外，

⟨∫f d(g⋅μ),z′⟩=∫⟨f,z′⟩ d(g⋅μ)=∫g⟨f,z′⟩ dμ=∫⟨gf,z′⟩ dμ=⟨∫gf dμ,z′⟩, \left\langle \int f\, d(g \cdot \mu), z' \right\rangle = \int \langle f, z' \rangle\, d(g \cdot \mu) = \int g \langle f, z' \rangle\, d\mu \\ = \int \langle gf, z' \rangle\, d\mu = \left\langle \int gf\, d\mu, z' \right\rangle,

从而 (3)。

命题 4 08NU

— 令μ\mu为XX的积极测度，SS其支持度，ff函数为K~(X;E)\widetilde{\mathscr{K}}(X;E)。假设EE是Hausdorff，并用弱拓扑σ(E′∗,E′)\sigma({E'}^*, E')装备空间E′∗{E'}^*。

引用了 2 · 被以下引用 3

引用了 推论 2, III § 2, 推论 3, III § 2

被以下引用 推论, 命题 5, 推论, VI § 1

(i) f(S) 生成的凸锥体的整的* ∫f dμ\int f\, d\mu 属于到闭包 C 在 E'** *中。

(ii) 如果 μ\mu 有界，则积分 ∫f dμ\int f\, d\mu 属于到集合 ∥μ∥⋅D\| \mu \| \cdot D，*其中* D 是 f(S) 在 E'** 中的闭凸包络。

如果 E 是复数，我们为 E 配备其底层 real 向量空间结构，正如我们所见，它不会修改公式 (1)。

(i) 我们知道C是E'**中包含f(S)的闭半空间的交，并且由闭超平面经过通过0确定；因此，足以证明，对于 z′∈E′z' \in E'，关系 ⟨f(x),z′⟩≥0\langle f(x), z' \rangle \geq 0 对于所有 x∈Sx \in S 意味着

⟨∫f dμ,z′⟩≥0; \left\langle \int f\, d\mu, z' \right\rangle \geq 0;

但自从

⟨∫f dμ,z′⟩=∫⟨f,z′⟩ dμ, \left\langle \int f\, d\mu, z' \right\rangle = \int \langle f, z' \rangle\, d\mu,

这是从 §2, No. 3，Cor. 得出的。提案 8 中的第 2 条。

(ii) 我们知道 D 是 E'** 中包含 f(S) 的闭半空间的交；因此，足以证明，对于z′∈E′z' \in E'，关系⟨f(x),z′⟩≤a\langle f(x), z' \rangle \leq a对于所有x∈Sx \in S意味着

⟨∫f dμ,z′⟩≤a∥μ∥; \left\langle \int f\, d\mu, z' \right\rangle \leq a \| \mu \|;

但这是从 §2, No. 3，Cor. 得出的。提案 8 中的第 3 条。

推论 08NV

让*μ\mu*成为*X、ff*映射属于到*K(X;E)\mathscr{K}(X;E)、*和*D*在*E'**中*f(X)*的封闭凸包络。 存在数a>0a > 0*使得*∫f dμ∈a⋅D\int f\, d\mu \in a \cdot D。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 4

被以下引用 习题 4, § 3, 命题 7

如果ν\nu*是对*X的任何测量，*存在数*a1,a2,a3,a4>0a_1, a_2, a_3, a_4 > 0*使得*∫f dν∈a1D−a2D+ia3D−ia4D\int f\, d\nu \in a_1 D - a_2 D + i a_3 D - i a_4 D。

首先假设μ\mu为正；通过假设，f的支撑K是紧的；如果 ν\nu 是 μ\mu 的限制到 K 的相对紧开邻域，则 ν\nu 有界，∫f dμ=∫f dν∈∥ν∥⋅D\int f\, d\mu = \int f\, d\nu \in \| \nu \| \cdot D 受命题 4 (ii) 约束。第二个结果由此得出，因为任何复杂的测度都可以写为μ1−μ2+iμ3−iμ4\mu_1 - \mu_2 + i \mu_3 - i \mu_4，其中μj\mu_j为正。

命题 5 08NW

假设空间* X 是紧致的，并且让 f 成为 X *的连续映射 进入豪斯多夫局部凸空间 E。 闭凸包络 f(X) 在 E'** (for σ(E′,E′)\sigma(E', E')) 是等于向量 ∫f dμ\int f\, d\mu 对于所有正测量 μ\mu 在 X 总质量 1 上的集合。

引用了 3 · 被以下引用 3

引用了 推论 3, III § 1, 推论 3, III § 2, 命题 4

被以下引用 定理 3, IX § 5, 注 2, VIII § 2, 推论 2, VIII § 4

令 C 为 E' 中 f(X) 的闭凸包络；由于 f(X) 是紧致的且 E' 是*完全*，因此 C 是紧致的。我们已经知道（命题 4），对于总质量的 XX 上的正测量，∫fdμ∈C\int f d\mu \in C μ\mu 属于凸集合 HH 等于 1。另一方面，HH 是凸的，并且对于模糊拓扑是“紧凑”的（§ 1, No. 9，第 15 条命题的 Cor. 3），并且是质量 1 和*有限*支撑的正测量的凸集合 H0H_0 的闭包（为此拓扑）（§ 2, No. 4，第 1 条的 Cor.3）。现在，映射μ↦∫fdμ\mu \mapsto \int f d\mu下H0H_0的像就是E′∗{E'}^*中f(X)f(X)的凸包络C0C_0。另一方面，这个映射对于M(X;C)\mathscr{M}(X; C)上的模糊拓扑和E′∗{E'}^*上的拓扑σ(E′∗,E′)\sigma({E'}^*, E')来说是连续的，从⟨∫fdμ,z′⟩=∫⟨f,z′⟩dμ\langle \int f d\mu, z' \rangle = \int \langle f, z' \rangle d\mu到定义；因此 H=H0‾H = \overline{H_0} 的像是一个*紧凑*凸集合包含 C0C_0 并包含在 CC 中；从C=C0‾C = \overline{C_0}开始，这个像等于CC。

命题 6 08NX

对于每个连续映射，将XX的紧支撑ff转化为Hausdorff局部凸空间EE，EE上的每个连续半范数qq以及XX上的每个测度μ\mu，使得∫fdμ∈E\int f d\mu \in E,

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 III § 1. 。局部紧凑措施空间

被以下引用 命题 8, IV § 4. 。 可积函数和集合

q(∫fdμ)≤∫(q∘f) d∣μ∣. q \left( \int f d\mu \right) \leq \int (q \circ f) \ d|\mu|.

令DD为z∈Ez \in E的集合，使得q(z)≤1q(z) \leq 1； DD 是闭凸且包含 0，因此 D=DooD = D^{o o}（TVS，II, § 6, No. 3，Th.1 的 Cor.3）。因此足以证明对于每个 z′∈Doz' \in D^o，

∣⟨∫fdμ,z′⟩∣≤∫(q∘f) d∣μ∣; \left| \left\langle \int f d\mu, z' \right\rangle \right| \leq \int (q \circ f) \ d|\mu|;

自从

⟨∫fdμ,z′⟩=∫⟨f,z′⟩dμ, \left\langle \int f d\mu, z' \right\rangle = \int \langle f, z' \rangle d\mu,

从定义到 DoD^o 开始，

∣⟨f(x),z′⟩∣≤q(f(x)) |\langle f(x), z' \rangle| \leq q(f(x))

对于所有x∈Xx \in X，所需的不等式来自不等式（13）或§ 1, No. 6。

3. 判据属于到 EE 的积分

命题 7 08NY

令 EE 为 Hausdorff 局部凸空间，且f∈K(X;E)f \in \mathscr{K}(X; E)。如果f(X)f(X)包含在EE的完全凸子集AA中，则∫fdμ∈E\int f d\mu \in E。

引用了 1 · 被以下引用 8

引用了 推论

被以下引用 推论 1, 推论 2, 命题 8, 注, III § 4, 引理, VI Appendix 0, 引理 1, VI § 1, 命题 9, VI § 1, 注, VII § 3

设 K 为 f 的支持，f 是由假设紧致的。由于 f 在 X − K 上为零，f(X) 等于 f(K) 或 f(K) ∪ {0}，因此是紧的，因为 f 是连续的且 E 是 Hausdorff；然后，E 中 f(X) 的封闭凸包络C 是预紧的（对于由 E 引起的均匀结构）（TVS，II, §4, No. 1，命题 3）。但由于 C 是完整的空间 A 的闭子集，因此 C 是完整的，因此是紧致的； 更不必说, C 对于弱化的拓扑 σ(E, E′) 是紧的；但由于拓扑是由 σ(E′*, E′) 导出的，C 是 f(X) 在 E′* 中对于拓扑 σ(E′*, E′) 的闭凸包络；因此，证明由No. 2命题4的推论得出。

推论 1 08NZ

— 令 E 为 Hausdorff 局部凸空间；对于每个函数 f ∈ K(X;E)\mathscr{K}(X; E)，∫fdμ\int f d\mu 属于到完成 E 的 E^\widehat{E}。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 7

被以下引用 命题 8, 引理 2, III § 4

由于E和E^\widehat{E}的对偶是相同的，因此只要将f视为在E^\widehat{E}中取其值，就可以应用第7条命题。

推论 2 08O0

— 如果 E 是局部凸准完备 Hausdorff 空间，则对于每个函数 f ∈ K(X;E)\mathscr{K}(X; E)，∫fdμ∈E\int f d\mu \in E。

引用了 2 · 被以下引用 8

引用了 命题 7, VI § 1. 。向量值函数的积分

被以下引用 定义 3, III § 1, 命题 10, IV § 2, 命题 10, IV § 5, 引理 6, IX § 6, 引理, VI Appendix 0, 引理 1, VI § 1, 习题 24, § 2, 推论 2, VIII § 4

正如第 7 条证明开头所述，f(X) 是紧的，并且 E 中的闭凸包络C 是预紧的，因此是有界的；但由于集合 C 是闭集且有界的，因此它由假设完成，并且足以应用第 7 条命题。

我们将在第 1 章中看到。 VI, §1, No. 2，其他判据适用于∫fdμ\int f d\mu至属于至E，特别适用于K~(X;E)\widetilde{\mathscr{K}}(X; E)中的函数，而不仅仅是K(X;E)\mathscr{K}(X; E)中的函数。

命题7的推论2可以应用于以下两种情况： 1° E 是巴拿赫空间； 2° E 是桶状 Hausdorff 局部凸空间 G 的对偶，E 配备S\mathscr{S} 拓扑，其中 S\mathscr{S} 是有界子集对 G 的覆盖（TVS，III, §4, No. 2，Th.1 的 Cor. 4）。对于例，科。当 E 是 Banach 空间的弱对偶，或配备模糊拓扑的测度 M(Y;C)\mathscr{M}(Y; \mathbf{C}) 的空间时，可以应用第 7 条命题 2。

如果 X = R\mathbf{R}，μ\mu 是R\mathbf{R} 上的勒贝格测度，E 是巴纳赫空间，则函数在K(X;E)\mathscr{K}(X; E) 的积分∫fdμ\int f d\mu 就是积分

∫−∞+∞f(x) dx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx

FRV 中定义，II, §2, No. 1；这是从公式 (1) 和 FRV, I, §1, No. 2, Cor 得出的。提案 2。

4. 积分的连续性性质

命题 8 08O1

— 假设 E 是豪斯多夫；令 μ\mu 为X 的测度。 K(X;E)\mathscr{K}(X;E)的映射f↦∫fdμf \mapsto \int f d\mu进入E^\widehat{E}（No. 3，第7条的Cor.1）是唯一的连续线性映射Φ\Phi，使得Φ(g⋅a)=μ(g)⋅a\Phi(g \cdot a) = \mu(g) \cdot a对于每个向量a∈Ea \in E和每个函数g∈K(X;C)g \in \mathscr{K}(X;\mathbf{C})。

引用了 6 · 被以下引用 1

引用了 命题 7, 推论 1, 命题 6, 命题 5, III § 1, 例, 命题 2

被以下引用 习题 4, § 3

为了证明映射 f↦∫fdμf \mapsto \int f d\mu 的连续性，只需证明其限制到 K(X,K;E)\mathscr{K}(X,K;E) 对于 X 的每个紧致子集 K 都是连续的（TVS，II, §4, No. 4，命题 5）。我们注如果E的拓扑由半范数族(qα)(q_\alpha)定义，则K(X,K;E)\mathscr{K}(X,K;E)由半范数族定义

pα(f)=sup⁡x∈Kqα(f(x)). p_\alpha(f) = \sup_{x \in K} q_\alpha(f(x)) .

现在，让hh是X到[0,1][0,1]的连续映射，具有紧支撑，使得h(x)=1h(x) = 1在K上；根据 No. 2，第 6 条提案，对于每一个函数 f∈K(X,K;E)f \in \mathscr{K}(X,K;E)，我们有，

qα(∫fdμ)=qα(∫hfdμ)≤∫h(x)qα(f(x))d∣μ∣(x)≤∣μ∣(h)⋅pα(f) q_\alpha \left( \int f d\mu \right) = q_\alpha \left( \int h f d\mu \right) \leq \int h(x) q_\alpha(f(x)) d|\mu|(x) \leq |\mu|(h) \cdot p_\alpha(f)

（qαq_\alpha通过连续性扩展到E^\widehat{E}），这证明了f↦∫fdμf \mapsto \int f d\mu的连续性。另一方面，当记号为叙述时，

∫(g(x)⋅a)dμ(x)=μ(g)⋅a \int (g(x) \cdot a) d\mu(x) = \mu(g) \cdot a

凭借No. 1、例 1 和No. 2 的第 2 条适用于典范嵌入 C⋅a→E\mathbf{C} \cdot a \to E。此外，由线性组合∑igi⋅ai\sum_i g_i \cdot a_i形成的K(X;E)\mathscr{K}(X;E)的子空间，其中ai∈Ea_i \in E和gi∈K(X;C)g_i \in \mathscr{K}(X;\mathbf{C})，在K(X;E)\mathscr{K}(X;E)（§1, No. 2，命题5）中稠密，从而完成证明。

命题 9 08O2

— 假设 E 是豪斯多夫；设 ff 是 X 的连续映射到 E 中，具有紧支撑。当空间M(X;C)\mathscr{M}(X;\mathbf{C})配备严格紧收敛的拓扑（§1, No. 10）时，M(X;C)\mathscr{M}(X;\mathbf{C})入E^\widehat{E}的映射μ↦∫fdμ\mu \mapsto \int f d\mu是唯一连续的线性映射Ψ\Psi使得Ψ(εx)=f(x)\Psi(\varepsilon_x) = f(x)对于所有x∈Xx \in X。

引用了 3 · 被以下引用 2

引用了 III § 1. 。局部紧凑措施空间, 推论 4, III § 2, 命题 6, IV § 1

被以下引用 命题 17, III § 1, 推论

每z′∈E′z' \in E'，

⟨∫fdεx,z′⟩=∫(z′∘f)dεx=z′(f(x))=⟨f(x),z′⟩, \left\langle \int f d\varepsilon_x, z' \right\rangle = \int (z' \circ f) d\varepsilon_x = z'(f(x)) = \langle f(x), z' \rangle ,

从而 ∫f dεx=f(x)\int f\, d\varepsilon_x = f(x).此外，我们知道，对于严格紧致收敛的拓扑，点措施中的集合总计在M(X;C)\mathscr{M}(X; \mathbf{C})中（§ 2, No. 4，Th.1的Cor.4）。因此，这一切都归结为证明线性映射u:μ↦∫f dμu : \mu \mapsto \int f\, d\mu的连续性。为此，将 E′E' 的线性映射 v:z′↦⟨f,z′⟩v : z' \mapsto \langle f, z' \rangle 考虑到 K(X;C)\mathscr{K}(X; \mathbf{C}) 中，并让我们证明 E′E' 的等连续子集 HH 的 vv 下的像包含在严格紧凑的子集中K(X;C)\mathscr{K}(X; \mathbf{C})。因为，如果KK是ff的支持，则函数⟨f,z′⟩\langle f, z' \rangle对于z′∈Hz' \in H的支持包含在KK中；另一方面，这些函数形式是一个等连续的集合，并且对于 z′(f(x))z'(f(x)) 的每个 x∈Xx \in X 集合都是有界的；因此，我们的断言源自Ascoli的定理（GT，X, § 2, No. 5，Th.2的Cor.3）。现在，从No. 1的公式(1)得出uu正是限制到转置tv^t v的M(X;C)\mathscr{M}(X; \mathbf{C})（代数意义上）；因此，其连续性源自前述内容（TVS，IV, § 1, No. 3，提案 6）。

推论 08O3

— With hypotheses and notations as in Prop. 9, the restriction of the mapping μ↦∫f dμ\mu \mapsto \int f\, d\mu to the set M+(X)\mathscr{M}_+(X) of positive measures, or to a vaguely bounded subset B of M(X;C)\mathscr{M}(X; \mathbf{C}), *is vaguely continuous.

引用了 2

引用了 命题 9, III § 1. 。局部紧凑措施空间

因为，它来自 § 1, No. 10，Props。由图17和图18可知，在M+(X)\mathscr{M}_+(X)或BB上，严格紧致收敛的拓扑诱导的拓扑与模糊拓扑诱导的拓扑相同。

然而，对于模糊的拓扑（示例2），映射μ↦∫f dμ\mu \mapsto \int f\, d\mu不一定在所有M(X;C)\mathscr{M}(X; \mathbf{C})上连续。

习题

参见习题为 § 3。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。