(i) 限制到 $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ 规范的双射

(S, R, §4, No. 14) 是 Banach 空间 $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ 到 Banach 空间 $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$ 的等距。

(ii) 向量空间 $\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C}) \otimes_{\mathbf{C}} \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$，*与* $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ （A，II, §7, No. 7，第 15 号提案之后的注释）的子空间进行规范识别，在这个 Banach 空间 中是密集的。

$\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$的$\omega$下的像包含在$\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$中，是直接的。相反，如果$u$是$X$到$\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$的连续映射，支持度包含在$K$中，则$X \times Y$到$\mathbf{C}$的映射$(x, y) \mapsto u(x)(y)$是连续的，并且支持度包含在$K \times L$中，因此$\omega$到$\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$的限制是这个空间的双射到$\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$；事实上，这个限制是 Banach 空间等距，是从关系得出的

这就证明了(i)；另一方面，$\omega$下的像，

用$\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$的子空间识别，又是空间$\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C}) \otimes_{\mathbf{C}} \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$，但这次用$X$的映射的空间规范地识别为$\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$（A，II, §7, No. 7，Prop.15的Cor.）；但是$\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$的这个子空间在后者空间中被认为是“稠密”的（§ 1, No. 2，命题5），因此（ii）的结论是根据$\omega$的限制是拓扑同构这一事实得出的。

证明了引理后，我们现在观察到$X \times Y$的每个紧致子集都包含在乘积$K \times L$中，其中$K$（或$L$）是$X$（或$Y$）的紧致子集。因此，根据引理 1，(ii) 子空间 $\mathscr{K}(X; \mathbf{C}) \otimes_{\mathbf{C}} \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$ 在 $\mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$ 中是“稠密”的；由于对于$g \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$、$h \in \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$，关系 (1) 也可以写成$\nu(g \otimes h) = \lambda(g)\mu(h)$，因此$\nu$的*唯一性*紧随其后。为了证明$\nu$的存在，我们将利用以下引理：

属于到$\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$。

对于每个函数 $u \in \mathscr{K}(X; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$，$\int u(x) d\lambda(x)$ 属于到 $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$ 的积分，因为后者是 Banach 空间（§ 3, No. 3，第 7 条命题的 Cor. 1）；但对于 $u = \omega(f)$ 和每个 $y \in Y$，

从而引理。

那么，考虑一下，对于每个函数$f \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$，数$\nu(f) = \mu(\int f(x, y) d\lambda(x))$（我们也将通过滥用记号写成$\int d\mu(y) \int f(x, y) d\lambda(x)$）；如果 K（分别为 L）是 X（分别为 Y）的紧凑子集，则存在数 $a_K$（分别为 $b_L$），这样，对于每个函数 $g \in \mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$（分别为 $h \in \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$），我们有$|\lambda(g)| \leq a_K \|g\|$（分别为$|\mu(h)| \leq b_L \|h\|$）。由此可见，对于每个函数 $f \in \mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$，

每 $y \in Y$、从而 $|\nu(f)| \leq a_K b_L \|f\|$。因此，$\mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$上的线性形式$\nu$是$X \times Y$上的测度，它显然满足(1)，从而完成了Th的证明。 1.

由于最后一个公式，$f$相对于乘积测量$\nu$的积分通常表示为$\iint f\, d\lambda\, d\mu$，或$\iint f\, d\mu\, d\lambda$，或$\iint f\, \lambda\mu$，或$\iint f\, \mu\lambda$，或$\iint f(x, y)\, d\lambda(x)\, d\mu(y)$，或$\iint f(x, y)\, d\mu(y)\, d\lambda(x)$、或$\iint f(x, y)\, \lambda(x)\mu(y)$、或$\iint f(x, y)\, \mu(y)\lambda(x)$；据说它是$f$关于$\lambda$和$\mu$的双积分。有了这个记号，公式 (3) 就可以写成

公式 (3) 表明，如果 $\lambda$ 和 $\mu$ 是实数（分别为正）测度，则乘积测度 $\nu$ 为实数（分别为正）。

对于每一个函数 $f \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$，我们凭借 No. 1 的公式 (3)，

这就证明了公式 (6)。

我们首先观察到关系$\lambda \otimes \mu = 0$意味着其中一个措施$\lambda, \mu$是零（A，II, §7, No. 7，提案16，（ii））。另一方面，如果 U（分别V）是X（分别Y）中的开集合，则$\lambda \otimes \mu$到乘积$U \times V$的限制是限制的乘积 $\lambda$ 到 U 以及 $\mu$ 到 V，如下从 Th 开始。 1 的 No. 1 和定义的限制措施到开放的集合 (§ 2, No. 1)。因此，为了使$\lambda \otimes \mu$到$U \times V$的限制成为零，$\lambda$到U的限制或$\mu$到V的限制为零是充分必要的，证明命题，考虑到定义对措施的支持（§ 2, No. 2）。

令 $f \in \mathscr{K}_+(X \times Y),\ g \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$ 使得 $|g| \leq f$；我们有 (§ 1, No. 6, 公式 (13))

由此可见$\langle f, |\lambda \otimes \mu| \rangle \leq \langle f, |\lambda| \otimes |\mu| \rangle$，依此类推

另一方面，让$u \in \mathscr{K}_+(X),\ v \in \mathscr{K}_+(Y)$。对于每个$\varepsilon > 0$，都存在$u_1 \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C}),\ v_1 \in \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$使得$|u_1| \leq u,\ |v_1| \leq v$和

（§ 1, No. 6）。由此可见 $|u_1 \otimes v_1| \leq u \otimes v$ 和

由于 $\varepsilon$ 是任意的，我们推断

考虑(8)，我们看到

由于$\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$（或$\mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$）中的每个函数都是$\mathscr{K}_+(X)$（或$\mathscr{K}_+(Y)$）中函数的线性组合，因此前面的公式对于$u \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$和$v \in \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$仍然成立；因此，命题是从$\mathscr{K}(X; \mathbf{C}) \otimes_{\mathbf{C}} \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$在$\mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$中稠密这一事实得出的。

因为，根据第 3 条命题，

$(\lambda \otimes \mu)^-$ 的论证类似。

约定当因子之一为0且另一个为$+\infty$时，第二个成员将被0替换。 特别是，如果 $\lambda$ 和 $\mu$ 有界，则 $\lambda \otimes \mu$ 有界。

由上述命题 3 和 §1, No. 8，Cor.根据提案 10 的 1，我们可以将极限应用于$\lambda$ 和 $\mu$ 是积极措施的情况。如果$\lambda = 0$或$\mu = 0$，结果是微不足道的；因此，让我们假设$\lambda \neq 0$和$\mu \neq 0$。我们首先证明$\|\lambda \otimes \mu\| \leq \|\lambda\| \cdot \|\mu\|$。我们可以假设$\lambda$和$\mu$是有界的。对于每$f \in \mathscr{K}_+(X \times Y)$，

和

对于每 $x \in X$，因此

这证明了我们的断言。另一方面，让

是两个实数$\geqslant 0$。存在 $g \in \mathscr{K}_+(X) , \ h \in \mathscr{K}_+(Y)$ 使得

然后$g \otimes h \in \mathscr{K}_+(X \times Y) , \ \| g \otimes h \| \leqslant 1$和$\langle g \otimes h , \lambda \otimes \mu \rangle \geqslant \alpha \beta ;$，因此$\| \lambda \otimes \mu \| \geqslant \alpha \beta$，最后$\| \lambda \otimes \mu \| \geqslant \| \lambda \| \cdot \| \mu \|$，从而完成证明。

对于每个函数$f \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$，我们知道函数$h(y) = \int f(x, y) d\lambda_0(x)$属于到$\mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$（No. 1，引理2），以及$\langle f , \lambda_0 \otimes \mu \rangle = \langle h , \mu \rangle$，从而命题。

令$K \subset X , \ L \subset Y$为两个紧集，$A$为$\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$的紧凑子集，$B$为$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$的模糊边界且封闭的子集；众所周知，$B$是模糊紧致的（§ 1, No. 9，命题15），因此对于严格紧致收敛的拓扑也是紧致的（§ 1, No. 10，命题17）。另一方面，Banach 空间 $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ 与 $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$ 等距（No. 1，引理 1）；将$\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$的映射$\varphi$转化为$\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$，使得$\varphi(g, \lambda)$是由$h(y) = \int g(x, y) d\lambda(x)$定义的函数$h$，凭借§ 3, No. 4，道具是“单独连续的”。 8 和 9. 由于 $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$ 是桶状的，因此映射 $\varphi$ 相对于 $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ 的模糊边界子集是“次连续的”（TVS，III, § 5, No. 3，第 6 条）；因而，映射到$A \times B$的限制是*连续的*（*loc.cit.*，Prop.4）。因而，映射下的$A \times B$的像$C$是Banach空间$\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$的紧凑子集。现在，$C$正是函数$h(y) = \int f(x, y) d\lambda(x)$的集合，因为$f$超过$A$，$\lambda$超过$B$；根据No. 1的公式(3)，条件$\lambda \in B$和$\mu \in C^\circ$因此意味着$\lambda \otimes \mu \in A^\circ$。鉴于严格紧致收敛的定义或拓扑，这证明了命题（TVS，III, § 5, No. 3，Def.2）。

当严格紧致收敛的拓扑被模糊的拓扑取代时，命题6的结论就不再有效（Exer.2c））。但是，如果 B（分别为 C）是 $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$（分别为 $\mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$）的模糊边界子集，则映射 $(\lambda, \mu) \mapsto \lambda \otimes \mu$ 下的 $B \times C$ 的像模糊地边界在 $\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$ 中，因此根据命题 6、§1, No. 10、命题 17 和 TVS 命题 4、III, §5, No. 3 (cf. Exer. 3)，映射到 $B \times C$ 的限制是模糊连续的。

对于，这两个措施重合，通过（12），对于$\bigotimes_{i=1}^n \mathscr{K}(X_i; \mathbf{C})$中的每个函数。

函数 $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ 关于乘积度量的积分表示为

或 或 或者也 或 有 $n$ 标志 $\int$；据说它是阶* $n$ 的 *倍数积分，或 $n$ 元组积分。凭借乘积测量的结合性和阶积分反转的定理（No. 1，Th. 2），对于 $[1, n]$ 的每个置换 $\sigma$，我们有， (14)

积分记号和公式 (14) 可以以明显的方式扩展到函数 $f \in \mathscr{K}(X; E)$，其中值在 Hausdorff 局部凸空间 $E$ 中，使得 $f(X)$ 包含在以下的完全凸子集中$E$。我们留给读者的任务是将第 2 条和第 3 条关于两个措施的乘积的结果推广到任何有限数措施的乘积。

特别是，我们称 $n$ 测量中$\mathbf{R}^n$ 乘积上的“勒贝格测度”与$\mathbf{R}$ 上的勒贝格测度相同； 函数 $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}^n; E)$、满足前面的条件的积分表示为

并且等于 $\mathbf{R}^n$ 的勒贝格测度*在每个翻译下都是不变的*。

(iv) *如果 $p_{\alpha \beta}$ 是满射的，则每个逆系 $(\mu_\alpha)$ 的正测度都有逆极限 $\mu$，这是对 $X$ 的正测度，并且对于所有 $\alpha$ 都有 $\| \mu \| = \| \mu_\alpha \|$。

(i) 我们首先证明以下引理：

我们注首先，如果$g = g_\beta \circ p_\beta$和$h = h_\gamma \circ p_\gamma$，其中$g_\beta \in \mathscr{C}(X_\beta; \mathbf{C})$和$h_\gamma \in \mathscr{C}(X_\gamma; \mathbf{C})$，则存在$\alpha \in I$使得$\alpha \geq \beta$和$\alpha \geq \gamma$，因此存在$p_\beta = p_{\beta \alpha} \circ p_\alpha$，$p_\gamma = p_{\gamma \alpha} \circ p_\alpha$，这表明

属于至 F；类似地，$gh \in F$；因此，F 是 $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ 的 C-子代数，其中包含为常量，且关系 $f \in F$ 蕴涵$\overline{f} \in F$。最后，如果$x \neq y$是X的两个点，则存在$\alpha \in I$使得$p_\alpha(x) \neq p_\alpha(y)$，因此存在函数$f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha; \mathbf{C})$使得$f_\alpha(p_\alpha(x)) \neq f_\alpha(p_\alpha(y))$。因此，结论来自 Stone–Weierstrass 定理（GT，X, §4, No. 4，Prop. 7）。

引理成立后，令$\mu, \mu'$为X的两个测度，使得$(p_\alpha)_*(\mu) = (p_\alpha)_*(\mu')$适用于所有$\alpha \in I$；这意味着，对于每个 $\alpha \in I$ 和每个函数 $f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha; \mathbf{C})$，我们有

即$\langle f_\alpha \circ p_\alpha, \mu \rangle = \langle f_\alpha \circ p_\alpha, \mu' \rangle$；在其他字，$\mu$和$\mu'$重合上，$\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$的子空间F，其稠密为引理3，因此$\mu = \mu'$，证明了(i)。

(ii) 关系 (15) 应用于$p_\alpha$表明，如果$\mu$是逆系$(\mu_\alpha)$的逆极限，必然

对于所有$\alpha \in I$。

(iii) 假设 $p_{\alpha \beta}$ 是满射的；人们知道$p_\alpha$也是如此（GT，I, §9, No. 6，提案8）。考虑度量 $(\mu_\alpha)$ 的逆系，让我们首先证明在* F 上存在线性形式 $\lambda$（在引理 3 的记号中），这样，对于每个$\alpha \in I$ 和每个$f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha; \mathbf{C})$，都有$\lambda(f_\alpha \circ p_\alpha) = \mu_\alpha(f_\alpha)$。为此，令$\beta, \gamma$为I中的两个指标，且$f_\beta \in \mathscr{C}(X_\beta; \mathbf{C})$、$f_\gamma \in \mathscr{C}(X_\gamma; \mathbf{C})$为两个函数，使得$f_\beta \circ p_\beta = f_\gamma \circ p_\gamma$；则存在指标 $\alpha \in I$ 使得 $\alpha \geq \beta$ 和 $\alpha \geq \gamma$，因此

由于$p_\alpha$是满射，这意味着$f_\beta \circ p_{\beta \alpha} = f_\gamma \circ p_{\gamma \alpha}$，因此

但到了定义，最后一个关系也可能会写成$\mu_\beta(f_\beta) = \mu_\gamma(f_\gamma)$，从而我们的断言。

既然如此，假设存在有限的数$a > 0$，使得$\| \mu_\alpha \| \leq a$对于所有$\alpha \in I$；那么，对于每个函数 $f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha; \mathbf{C})$，

因为 $p_\alpha$ 是满射的。这表明线性形式$\lambda$在$F$上是连续的，并且从引理3得出$\lambda$可以扩展到$X$上的测度$\mu$，使得$(p_\alpha)_*(\mu) = \mu_\alpha$对于所有$\alpha \in I$，这证明了(iii)。

(iv) 为了证明$\mu$的存在，通过(iii)，验证范数$(\| \mu_\alpha \|)$族是有界的就足够了。但是$\| \mu_\alpha \| = \mu_\alpha(1)$，并且当$\alpha \leq \beta$时，关系$\mu_\alpha = (p_{\alpha \beta})_*(\mu_\beta)$意味着$\mu_\alpha(1) = \mu_\beta(1)$；由于$I$是有向的，因此所有措施$\mu_\alpha$的总质量相等，从而我们的断言。而且，子空间$F$显然满足命题9 §1, No. 7的性质(P)，因此逆极限测度$(\mu_\alpha)$的$\mu$为正。最后，关系$\mu_\alpha = (p_\alpha)_*(\mu)$如上所示，即$\mu(1) = \mu_\alpha(1)$。