事实上，对于 T 中的每个紧集 K，

关于使用 $f \cdot \mu$ 的定义和第 3 章的提案 3。 V, §5, No. 3。命题 2 由此在经过上得出 K 上的上界。

现在让$x \in T$和V是x的邻域，使得$\mu^\bullet(f \varphi_V) < +\infty$（定义2）；那么$(f \cdot \mu)^\bullet(V) = \mu^\bullet(f \varphi_V) < +\infty$，因此$f \cdot \mu$是一个测度。

条件显然是必要的（命题 2）。相反，假设每个$\mu$可忽略不计紧集都是$\nu$可忽略不计。让我们为度量 $\mu + \nu$ 引入 T 的压榨 $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$，并让我们集合 $N = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha$。很明显，$(K_\alpha)_{\alpha \in A}$是对$\mu$和$\nu$的碾压，因此§1, No. 8的第9条命题意味着每个$g \in \mathscr{F}_+$有以下关系：

考虑紧集$C \subset K_\alpha$即$\mu_{K_\alpha}$-可以忽略不计；那么 $C$ 局部 $\mu$ 可以忽略，因此局部 $\nu$ 可以忽略，最后 $\nu_{K_\alpha}$ 可以忽略 $\nu$ 的定义。然后从 Lebesgue-Nikodym 定理 (Ch. V, §5, No. 5, Th. 2) 可以得出，$\nu_{K_\alpha}$ 相对于 $\mu_{K_\alpha}$ 承认密度 $f_\alpha$。设$f$为函数即重合，其中集合$K_\alpha$各为$f_\alpha$，$N$为0； 函数 $f$ 是 $\mu$ 可测量的（第 IV, §5, No. 10，第 16 章），并且对于每一个函数 $g \in \mathscr{F}_+$，根据上述关系和第 16 章第 3 章，可测量。 V, §5, No. 3,

那么首先，$f$是局部$\mu$可积的：如果$x$是T的点，并且如果$V$是$x$的邻域，使得$\nu^\bullet(V) < +\infty$，则$\mu^\bullet(f \varphi_V) < +\infty$。接下来，命题 2 表明测度$\nu$ 和$f \cdot \mu$ 具有相同的本质上积分。因此它们是相等的（§1, No. 2，Prop. 2 的 Cor.）。基于紧凑空间的情况，$f$的唯一性是明显的，命题成立。

注3)。 —关于测量$\nu = f \cdot \mu$约化的积分理论立即与第1章中处理的理论相关。 V。例如，令 $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ 为 T 对 $\mu$ 的压榨，因此也适用于 $\nu$，并令 $T'$ 为§1, No. 8 Scholium 中定义的局部紧致空间；我们可以将$\mu$（分别与$\nu$）与$T'$上的测量$\mu'$（分别与$\nu'$）相关联，这样可测量的函数，本质上的可积函数和Banach空间中的值，以及基本的函数正函数的上积分对于$\mu$和$\mu'$（分别对于$\nu$和$\nu'$）是相同的。因此函数 $f$ 是 $\mu'$ 可测量的；它是局部$\mu'$可积的，因为$T'$是局部紧致的，并且$T'$的紧致子集仅与紧集$K_\alpha$（$\alpha \in A$）的有限数相交。最后，关系${\nu'}^\bullet(g) = \nu^\bullet(g) = \mu^\bullet(fg) = {\mu'}^\bullet(fg)$证明了$\nu' = f \cdot \mu'$（第V, §5, No. 3章，命题3）。我们将抄写第 1 章结果的任务留给读者。 V, §5。

唯一性是显而易见的（§1, No. 2，Prop. 2 的 Cor.）。为了证明存在性，我们首先要处理$\mu$被紧集 K携带的情况，使得$\pi$到K的限制是连续的。那么 $L = \pi(K)$ 是紧致的；令$\pi'$为由$\pi$诱导的K到L的连续映射，令$\nu'$为像在L上的测度$\pi'(\mu_K)$，$\nu$为由$\nu'$定义的X上的测度（§1, No. 3，例2）。对于每$g \in \mathscr{F}_+(X)$，

（我们相继使用了§1, No. 3的公式（3）；V, §6, No. 2章的第2条；$\mu_K^\bullet$的定义；以及$\mu$由K携带的事实）。其他字、$\nu^\bullet = \pi(\mu^\bullet)$。

现在让我们讨论一般情况；通过道具。 §1, No. 8、$\mu$的10和9是紧支持度测度可求和族$(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$的和，使得$\pi$的限制到$\mu_\alpha$的支持$K_\alpha$对于每个$\alpha \in A$是连续的。上面处理的特殊情况允许将 T 上的每个度量 $\mu_\alpha$ 与 X 上的度量 $\nu_\alpha$ 关联，使得$\nu_\alpha^\bullet = \pi(\mu_\alpha^\bullet)$。那么，对于 $g \in \mathscr{F}_+(X)$，

负担$\pi(\mu^\bullet)$是局部有界的，因为$\pi$是$\mu$-本征；因此，族$(\nu_\alpha)_{\alpha \in A}$是可求和的（§1, No. 7，命题7），并且它的和$\nu$满足叙述。

让我们再次讨论第4条命题的证明，并从开头处理的特殊情况开始，同样的记号； g 对于测量 $\pi(\mu) = \nu$ 是可测量的，当且仅当 $g_L$ 是 $\nu'$ 可测量时（§1, No. 5，*例*）；现在，这相当于$g_L \circ \pi' = (g \circ \pi)_K$是$\mu_K$可测量的说（第V, §6, No. 2，第3章），最后，$g \circ \pi$是$\mu$可测量（§1, No. 5，*例*）。现在让我们讨论一般情况，与第 4 条的证明相同的记号； f 是 $\nu$ 可测当且仅当 f 对于每个 $\alpha \in A$ 是 $\nu_\alpha$ 可测（§1, No. 7，命题 8），因此当且仅当 $f \circ \pi$ 对于每个 $\alpha \in A$ 是 $\mu_\alpha$ 可测（前面的特殊情况），最后当且仅当$f \circ \pi$ 是 $\mu$ 可测量的（$§ 1$、No. 7，第 8 条）。

因为，$\pi''$ 是 $\mu$ 可测量的（命题 5）。 集合$\mu' = \pi(\mu)$； 像负担$\pi'({\mu'}^\bullet) = \pi'(\pi(\mu^\bullet))$显然等于$\pi''(\mu^\bullet)$。由于它是局部有界的，所以$\pi''$是$\mu$-固有的。度量$\pi''(\mu)$和$\pi'(\mu')$则具有相同的基本上积分，因此是相等的。

集合 A 是 $\mu$-可通过应用于 $\varphi_B$ 的第 5 条命题进行测量； 映射 $\pi_A$ 显然可以通过定义诱导测度 (No. 1) 进行$\mu_A$ 测量，因此$\pi'$ 是可测量的。设$f$为$\mathscr{F}_+(B)$中的元素；在 X 和 T 中用零指数扩张表示 0，我们有

从而$(\pi(\mu)_B)^\bullet = \pi'(\mu_A^\bullet)$。由于负担$(\pi(\mu)_B)^\bullet$是局部有界的，$\pi'(\mu_A^\bullet)$也是如此，因此$\pi'$是$\mu_A$-本征。度量$\pi'(\mu_A)$和$(\pi(\mu))_B$具有相同的基本上积分，因此相等。其它关系可以类似的方式建立。

a) *如果$\mu$是T上的一个测度，并且如果i是$\mu$-真值，那么测度$i(\mu)$集中在T上，并且一个有$(i(\mu))_T = \mu$。

b) *如果$\lambda$是X的测度，使得T是$\lambda$可测的，那么i是$\lambda_T$-真值，且$i(\lambda_T) = \varphi_T \cdot \lambda$。

a）集合$\nu = i(\mu)$； 关系$\nu^\bullet(A) = \mu^\bullet(A \cap T)$应用于$A = X - T$，表明$\nu$集中在T上。关系$\nu_T = \mu$是关系（2）在取$B = T = A$时的特例。

b) 令$f$为定义在X上的正函数； 设定 $\mu = \lambda_T$，一个有 $\mu^\bullet(f \circ i) = \lambda_T^\bullet(f_T) = \lambda^\bullet(f \varphi_T) \leq \lambda^\bullet(f)$（命题 1）；由此可见 i 是 $\mu$ 正确的。另一方面，$\mu^\bullet(f \circ i)$（或$\lambda^\bullet(f \varphi_T)$）是$f$相对于$i(\mu)$（或$\varphi_T \cdot \lambda$）的本质上积分。因此，这两个措施是相等的。

注 6). — 设$\pi$是$T$的$\mu$真映射到拓扑空间$X$。一个约化关于像测量$\nu = \pi(\mu)$的积分理论在第1章中处理的理论。 V, §6，按以下方式。令$(K_\alpha)_{\alpha \in A}$（或$(L_\beta)_{\beta \in B}$）是$T$（或$X$）对$\mu$（或$\nu$）和集合$N = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha,\ P = X - \bigcup_{\beta \in B} L_\beta$的压榨。我们可以假设$\pi$到每个$K_\alpha$的限制是连续的（§1, No. 8，命题10）。令$T', X'$为在§1, No. 8的Scholium中构造的局部紧凑空间，并令$\mu'$和$\nu'$为与$\mu$和$\nu$相关的这些空间的度量。 $T'$的拓扑是子空间$K_\alpha$拓扑的和和$N$上的离散拓扑，$\pi$是$T'$到$X$的连续映射并且关系 ${\mu'}^\bullet(g \circ \pi) = \mu^\bullet(g \circ \pi) = \nu^\bullet(g)$（对于 $g \in \mathscr{F}_+(X)$）表明 $\pi$ 是 $\mu'$ 正确且 $\pi(\mu') = \nu$。另一方面，$X$到$X'$的恒等映射$i$是$\nu$-本征，并且$i(\nu) = \nu'$。由此可见，$\pi$是$T'$到$X'$的$\mu'$固有映射，$\pi$下的$\mu'$的像是$\nu'$（第5条的Cor.）。我们将抄写第 1 章结果的任务留给读者。 V, §6。

a) 令 $\nu$ 为 $X$ 上的有界测度。在阶中，存在$T$上的测度$\mu$使得$\pi$是$\mu$-适当且$\pi(\mu) = \nu$，对于每个数$\varepsilon > 0$，存在紧集$K_\varepsilon \subset T$是充分必要的这样$\pi$到$K_\varepsilon$的限制是连续的并且$\nu^\bullet(X - \pi(K_\varepsilon)) < \varepsilon$。

b) 假设$\pi$是单射的；令$\mu$和$\mu'$是$T$的两个度量，使得$\pi$适合$\mu$和$\mu'$，并且$\pi(\mu) = \pi(\mu')$。然后$\mu = \mu'$。

a) 中所述的条件是必要的。因为，如果 $\pi$ 是$\mu$-真值且$\pi(\mu) = \nu$，则关系 $\mu^\bullet(1) = \nu^\bullet(1) < +\infty$ 意味着$\mu$ 有界。 §1, No. 2的命题2应用于函数1，意味着存在$T$的紧致子集$K$，使得$\mu^\bullet(T - K) < \varepsilon/2$。由于$\pi$是$\mu$可测的，因此存在紧集$K_\varepsilon \subset K$，使得$\pi$到$K_\varepsilon$的限制是连续的，并且使得$\mu^\bullet(K - K_\varepsilon) < \varepsilon/2$。那么（No. 3，命题 4）

为了证明条件是足够的，我们首先处理一个特殊情况。

对于，设a为$\mathscr{C}(V)$的线性映射$f \mapsto f \circ h$入$\mathscr{C}(U)$；由于 h 是满射，a 是 $\mathscr{C}(V)$ 到 $\mathscr{C}(U)$ 的子空间 H 的等距。令$\theta$为V的正测度；那么 $\theta \circ a^{-1}$ 是 H 上的连续线性形式，凭借 Hahn–Banach 定理（TVS，II, §3, No. 2，Th. 1 的 Cor. 3），它可以扩展到 $\mathscr{C}(U)$ 上的线性形式 $\eta$，具有相同的范数； $\eta$ 是对 U 的度量，$\theta(f) = \eta(f \circ h)$ 是所有 $f \in \mathscr{C}(V)$ 的度量，因此 $\theta = h(\eta)$。最后，$\theta(1) = \| \theta \| = \| \eta \|$和$\theta(1) = \eta(1)$，因此$\eta$为正（第V, §5, No. 5章，第9条命题）。

现在让我们证明a)中所述条件的充分性。 条件意味着T的紧凑子集存在序列$(K_n)_{n \geq 1}$，使得$\pi$的限制对于每个$K_n$是连续的，并且对于每个$n$，$\nu^\bullet(X - \pi(K_n)) < 1/n$。 序列 $(K_n)$ 可以假设为递增。 集合 $L_n = \pi(K_n)$ 并用 $\nu'_n$ 表示$L_n$ 上的测量$\varphi_{L_n - L_{n-1}} \cdot \nu_{L_n}$，并遵循惯例 $L_0 = \varnothing$。

限制 $\pi_{K_n}$ 是连续的，$K_n$ 上存在测度 $\mu'_n$ 使得 $\pi_{K_n}(\mu'_n) = \nu'_n$ (引理 1)。令T中$K_n$的典范嵌入下的$\mu_n$为$\mu'_n$的像，并令g为$\mathscr{F}_+(X)$的元素。相继利用$\nu$集中于$\bigcup L_n$的事实，§1, No. 5的命题4； §1, No. 2第2号提案； No. 3的第4条命题，最后是No. 3的第7条命题，我们有

在这个公式中取$g = 1$，我们可以看到族$(\mu_n)$是可求和的，并且它的和是一个有界测度$\mu$（§1, No. 7，命题7）。根据No. 3的命题5，映射$\pi$对于所有$n$来说是$\mu_n$可测的，因为$\pi_{K_n}$是连续的，因此$\mu'_n$是可测的；由此可见 $\pi$ 是 $\mu$ 可测的（§1, No. 7，命题 8），因此 $\mu$ 是正确的，因为 $\mu$ 是有界的。上述关系则证明测度$\pi(\mu)$和$\nu$具有相同的本质上积分，因此是相等的（§1, No. 2，命题2的​​Cor.）。

最后，假设$\pi$是单射的，并证明b)。令 f 为 $\mathscr{F}_+(T)$ 的元素；由于$\pi$是单射的，因此存在函数$g \in \mathscr{F}_+(X)$使得$f = g \circ \pi$和设定$\nu = \pi(\mu) = \pi(\mu')$，根据No. 3的第4条命题我们有

因此，两个测度$\mu$和$\mu'$具有相同的基本上积分，这意味着它们的等式（§ 1, No. 2，Prop.2的Cor.）。

这些假设显然暗示X是苏斯林空间。

让我们考虑 $\mathfrak{P}(T)$ 上的集合函数 $c : A \mapsto \nu^\bullet(\pi(A))$。 关系 $A \subset B$ 意味着 $c(A) \leq c(B)$；如果$(A_n)$是T的子集的递增序列，并且如果$A = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} A_n$，则$c(A) = \sup_n c(A_n)$来自$\nu^\bullet$是负担。最后，令$A \subset T$、$\varepsilon$为数$> 0$； 选择 X 包含 $\pi(A)$ 的开子集 G，使得 $\nu^\bullet(G) \leq \nu^\bullet(\pi(A)) + \varepsilon$（§ 1, No. 9，命题 13）； T 包含 A 的开路子集 $H = \overline{\pi^{-1}(G)}$ 和 $c(H) \leq c(A) + \varepsilon$。因而，函数 c 是 T 上的右连续容量（TG，IX, §6, No. 10，Def. 9）（1），并且定理在容量（*loc.cit.*，Th.6）上意味着等式$c(T) = \sup_K c(K)$，其中 K 超过紧凑子集的集合 T. 命题 8 则暗示了所需测度 $\mu$ 的存在。

预测值 $\nu$ 是 $S \times T$ 上唯一满足 (4) 的预测值。

由于$K$（或$L$）超过$S$（或$T$）的紧致子集的集合，我们有

由第 8 章第 8 条提案V, §8, No. 3。

设$\eta$为$S \times T$满足(4)上的第二个预测值，并令$K$和$L$分别为$S$和$T$的紧子集，$f$和$g$元素分别为$\mathscr{F}_+(K)$和$\mathscr{F}_+(L)$。 关系 $(f \otimes g)^0 = f^0 \otimes g^0$ 在扩张之间除 0，因此（§1, No. 2，命题 2）

特别是，如果取$f \in \mathscr{K}_+(K)$、$g \in \mathscr{K}_+(L)$，则可以看到$\eta_{K \times L}$具有乘积度量$\lambda_K \otimes \mu_L$的特征性质（第III, §4, No. 1，第1章）。因此$\eta_{K \times L} = \nu_{K \times L}$；由于$S \times T$的每个紧凑子集都包含在形式$K \times L$的集合中，因此诱导措施的传递性意味着$\eta = \nu$。