a) 对于每个函数 $f \in \mathscr{K}(X)$，$f \circ \pi$ 本质上是 $\mu$-*可积*。

b) 对于每个紧集 $K \subset X$，$\overline{\pi}^{-1}(K)$ 本质上是 $\mu$-*可积*。

我们刚刚观察到 a) 意味着对 $(\pi, 1)$ 是 $\mu$ 适应的。因而（§ 4, No. 4，Th.2），对于每个紧集$K \subset X$，函数$\varphi_K \circ \pi = \varphi_A$，其中$A = \overline{\pi}^{-1}(K)$本质上是$\mu$可积，在其他字中，a）意味着b）。

相反，假设对于$X$的每个紧致子集$K$，$\overline{\pi}^{-1}(K)$本质上是$\mu$可积，并且让我们证明a）已被验证。事实上，让$S$成为$f$的支撑；由于 $S$ 是紧致的，设定 $A = \overline{\pi}^{-1}(S)$ 我们有假设，

由于 $f \circ \pi$ 是 $\mu$ 可测（第 IV, § 5, No. 3，第 1 章），我们看到 $f \circ \pi$ 本质上是 $\mu$ 可积（§ 1, No. 3，第 9 条）。

性质 b) 显然等价于以下内容（因此也等价于 a)）：

c) 对于 $X$的每个点* $x$ ，存在一个* $V$ 的邻域 $x$ 使得 $\overline{\pi}^{-1}(V)$ 本质上是 $\mu$-*可积*。

这是从 Th 得出的。 §4, No. 2 中的 1 个。

因为，如果$N = X - \pi(M)$则$\pi^{-1}(N)$不与M相交，因此局部$\mu$可忽略不计，因而（Cor.2）N局部$\nu$可忽略不计。

因为，它是从 Cor 得出的。 3 $\pi(\mu)$集中于$\pi(S)$，因此如果$S'$是$\pi(\mu)$的支撑，则$S' \subset \pi(S)$。另一方面，$\pi^{-1}(X - S')$是局部$\mu$可忽略的开集合（Cor.2），因而$\mu$可忽略不计（第5章第IV, §5, No. 2，Cor.2）。因而$\pi^{-1}(X - S') \subset T - S$，因而$\pi(S) \subset S'$，这证明了推论。

这是§4, No. 3第3条命题的直接的推论。

然而，T 的 $\mu$ 可测量子集 M 的 $\pi$ 下的像不一定是 $\nu$ 可测量，即使 $\pi$ 是连续的且 M $\mu$ 可忽略不计（Exer. 7 和 §8，Exer. 1）。

此外，假设 $\pi$ 是连续且正确的。那么，要使 f $\nu$ 可积，$f \circ \pi$ $\mu$ 可积是充分必要的。

应用Th就足够了。 2 个§4, No. 4。

特别是，对于每个紧集 $K \subset X$，$\nu(K) = \mu(\pi^{-1}(K))$。由此可见，Cor.命题 2 的第 3 条指出，如果 $\mu$ 是原子的 (§ 5, No. 10)，那么 $\pi(\mu) = \nu$ 也是原子的。对于，令 M 为 $t \in T$ 的集合，使得 $\mu(\{t\}) \neq 0$；由于$\mu$由M携带，$\nu$由$\pi(M)$携带；此外，对于每一个$x \in \pi(M)$，我们都有$\nu(\{x\}) = \mu(\pi^{-1}(x)) > 0$，因为$\pi^{-1}(x)$包含至少有M的一个点。因而$\nu$是原子的（§ 5, No. 10，命题15）。

a) 假设$\pi$是$\mu$-真值，令$\mu' = \pi(\mu)$。为了使$\pi'$成为$\mu'$-本征，$\pi''$是$\mu$-本征是必要且充分的，在这种情况下$\pi''(\mu) = \pi'(\pi(\mu))$（“度量的像的传递性”）。

b) 假设$\pi'$是连续的，且$\pi''$是$\mu$-本征；那么$\pi$是$\mu$-本征，$\pi'$是$\pi(\mu)$-本征以及$\pi''(\mu) = \pi'(\pi(\mu))$。

在 a) 的假设下，对于 $\pi''$ $\mu$ 可测，$\pi'$ $\mu'$ 可测是充分必要的（No. 2，命题 3）。另一方面，如果$K$是$T''$的紧子集，则$\pi''(K) = \pi^{-1}(\pi'(K))$；对于$\pi''(K)$本质上$\mu$可积，$\pi'(K)$本质上$\mu'$可积是必要且充分的，由Cor.的 Th。 1. 最后，如果 $\pi''$ 是 $\mu$，那么，设定 $\mu'' = \pi''(\mu)$，对于每个函数 $f \in \mathscr{H}(T'')$，我们有，

通过 Th。 No. 2 的 1，完备的 a) 的证明。

在b)的假设下，令$K'$是$T'$的紧子集。那么$K'' = \pi'(K')$是紧的，因此$\pi''(K'')$本质上是$\mu$可积，因此$\pi^{-1}(K') \subset \pi''(K'')$本质上是$\mu$可积（第IV, §5, No. 5，第7章），因此$\pi$是$\mu$-固有的。 证明然后由叙述的应用部分 a) 得出结论。

集合$\nu = \pi(\mu)$。对于$g$局部$\nu$可积，$gf$对于每个函数$f \in \mathscr{H}(X)$是$\nu$可积是必要且充分的；由于 $gf$ 具有紧凑支持，因此可以说 $gf$ 本质上是 $\nu$ 可积，这相当于说 $(g \circ \pi)(f \circ \pi)$ 本质上是 $\mu$ 可积（Th. 1）。但是，Th. §5, No. 3的1，这意味着$f \circ \pi$本质上对于$\rho = (g \circ \pi) \cdot \mu$是可积的，并且，到定义，这表明$\pi$是$\rho$-适当的（因为$\pi$显然是$\rho$可测的）。而且，

(No. 2, Th. 1 和§5, Th. 1)，从而证明关系 (4)。

为了使 $\pi$ $\mu$ 可测，$\pi$ 对于所有 $\alpha \in A$ $\lambda_\alpha$ 可测是充分必要的（§ 1, No. 4，第 11 条命题的 Cor. 2）。假设满足这个条件；说 $\pi$ 是 $\mu$-proper 则相当于说，对于每个函数 $f \in \mathscr{K}_+(X)$，

现在，

（§ 1, No. 4，提案 11）；因此，当且仅当族 $(\pi(\lambda_\alpha))$ 在 $\mathscr{M}(X)$ 中承认一个上等$\theta$时，第一个成员对于每个 $f \in \mathscr{K}_+(X)$ 都是有限的，在这种情况下，$\int (f \circ \pi)\, d\mu = \int f\, d\theta$、关系等价于 (5)。

c) 设$f$为$X$上定义的函数，其中值在Banach空间$F$中；如果$f \circ \pi$本质上是$\theta$可积，那么$f$本质上是$\nu$可积，并且

考虑到公式 (8)，这些结果可以从 Cor 中推出。提案 2 的 2、提案 3 和 Th。 No. 2 中的 1 个。

足以证明，对于每个函数 $f \in \mathscr{K}(G(I))$，

现在，这个公式已经被证明适用于$g \in \mathscr{K}(I)$（FRV，II, §2, No. 1，公式（1））。让我们转向一般情况；在 $\mathscr{K}(I)$ 中存在函数的序列 $(g_n)$，使得： $1^\circ$ 序列 $(g_n(t))$ 几乎在 $I$ 中的所有地方都趋向于 $g(t)$； $2^\circ$ 存在一个$\mu$可积函数$h \geq 0$，使得$|g_n| \leq h$对于所有$n$（第IV, §3, No. 4，第3章）。从勒贝格的定理立即可以得出，设定$G_n(x) = c + \int_{x_0}^x g_n(t)\,dt$、序列$(G_n)$在$I$上一致收敛到$G$，并且数、$G_n(a+)$和$G_n(b-)$分别倾向于$G(a+)$ 和 $G(b-)$。令$f'$为$\mathscr{K}(\mathbf{R})$中的函数，即扩展$f$；上述证明对于所有$t \in I$，$f'(G_n(t))$趋向于$f'(G(t)) = f(G(t))$； 应用勒贝格的定理，可以看出公式(12)是由公式得出的

通过极限。

（公式代表勒贝格积分中变量的变换）。

因为，$\mathbf{f}(G(t))$对于测度$|g|\cdot\mu$是可积的，因此对于测度$g^+\cdot\mu$和$g^-\cdot\mu$也是可积的；这是从 Th 得出的。 1 (No. 2) $\mathbf{f}$对于像测度$G(g^+\cdot\mu)$和$G(g^-\cdot\mu)$是可积的，因此对于测度$\varphi_J \cdot \nu$也是可积的，并且在考虑到第8条和公式(9)的情况下，(13)成立。

对于勒贝格测度，$\mathbf{f}$ 可在 $J$ 上积，但对于勒贝格测度，$t \mapsto \mathbf{f}(G(t))g(t)$ 不可在 $I$ 上积（Exer. 10）。

现在假设 $g$ 几乎在任何地方都保持一个*常数符号*（并且是局部 $\mu$ 可积）；人们可能会认为，对于例，$g(t) \geq 0$几乎在$I$中无处不在。那么$G$在$I$上是递增连续的函数，因此$G(a+)$和$G(b-)$存在（但可能是无限的）。此外，$G$是$I$到$G(I)$的*$\lambda$-适当*映射：因为，如果$G(b-) \in G(I)$，则存在$x_1 \geq x_0$，使得$G$对于$x \geq x_1$是常数，然后逆像在紧区间$[G(x_0), G(b-)]$的$G$是$\lambda$可积；相反，如果$G(b-) \notin G(I)$，则$G(I)$中包含的左端点为$G(x_0)$的每个紧致区间的$G$下的逆像与紧致区间至多相差$\lambda$可忽略不计的区间。对于具有右端点 $G(x_0)$、从而我们的断言的紧凑区间，人们也有类似的争论。而且：

The first part of the statement follows from the fact that the formula (12) is valid for every function $f \in \mathscr{K}(G(I))$; for, the support of the function $t \mapsto f(G(t))$ is contained in an interval $K \subset I$ on which $g$ is integrable, by virtue of the above remarks, and it suffices to apply Prop. 8 to $K$. 第二个部分是Th的推论。 1 个No. 2。

我们首先论证假设 $g$ 是局部有限的 $\mu$——几乎无处不在；我们将在证明结束时摆脱这个辅助假设。由于 $\pi$ 是通过假设 $\nu$ 可测量的，因此说 $\pi$ 是 $\nu$ 本身就相当于说，对于每个函数 $f \in \mathscr{K}_+(T)$，$\nu^*(f \circ \pi) < +\infty$； $g$几乎在任何地方都是局部有限的，对于应用断言c），我们处于§3, No. 2第5条命题的条件之下。因此

因为 $\lambda_t$ 集中在 $\overline{\pi}^{-1}(t)$ 上。我们知道 $g$ 是 $\mu$ 可测量的，因为 $\Lambda$ 是 $\mu$ 足够的（§ 3, No. 1，定义 1）。因此，说第一个成员对于每个 $f \in \mathscr{K}_+(T)$ 是有限的，就等价于说，$g$ 是局部 $\mu$ 可积的（§ 5，命题 1），在这种情况下，(14) 立即从上面的关系得出。

因此只剩下消除辅助假设。如果$g$局部$\mu$可积，则$g$局部有限$\mu$-几乎处处，并且假设确实满足。让我们假设 $\pi$ 是 $\nu$ 正确的，并且让我们证明 $g$ 几乎在任何地方都是局部有限的。令$\mathfrak{K}$为紧集$K$的$\mu$稠密集合，使得$\Lambda|K$模糊连续；由于$g$是可测量的，我们简化为表明每个紧集$K \in \mathfrak{K}$使得$g|K = +\infty$是$\mu$可以忽略不计。现在，令$\mathscr{H}$为函数$h \in \mathscr{K}_+(X)$中的集合，使得$h \leq 1$； 集合$g_h(t) = \lambda_t(h)$，用$\Lambda_h$表示$\mu$-足够的映射$t \mapsto h \cdot \lambda_t$，用$\nu_h$表示$\Lambda_h$的积分，用$f$元素表示$\mathscr{K}_+(T)$这样$f \geq \varphi_K$。 应用公式 (14) 到$\Lambda_h$，其中满足辅助假设，我们得到：

但$K$上连续的函数的函数$fg_h|K$形式递增有向集合，其上包络有值$+\infty$；根据Dini的定理（GT，X, §4, No. 1，Th.1），可以选择$h$，使得$fg_h|K$大于或等于任意正数数$n$，从而得出$\int (f \circ \pi)\, d\nu \geq n\, \mu(K)$。由于第一个成员是有限的，因为 $\pi$ 是 $\nu$-proper，因此它遵循 $\mu(K) = 0$。

a) 如果$N \subset T$局部$\mu$可忽略，则$\overline{\pi}^{-1}(N)$局部$\nu$可忽略。 b) 如果 $f$ 是 $T$ 的 $\mu$ 可测映射到拓扑空间 $G$，则 $f \circ \pi$ 是 $\nu$ 可测。

我们再次考虑前一个证明末尾的记号$\Lambda_h$、$\nu_h$、$g_h$：$\nu_h$是每个$h \in \mathscr{H}$的有界测度，$\pi$是$\nu_h$真值，$g_h$是局部的$\mu$-可积，以及 $\pi(\nu_h) = g_h \cdot \mu$，与基 $\mu$ 的测度。 由此可见，对于测量 $\pi(\nu_h)$（§ 5, No. 3，第 3 条和第 4 条的 Cor. 1），$N$ 是局部可忽略的（即 $f$ 是可测量的）。 Consequently $\overline{\pi}^{-1}(N)$ is locally negligible (resp. $f \circ \pi$ is measurable) for the measure $\nu_h$ (Cor. 2 of

分别为 2 号提案和 2 号提案。命题 3）。最后，一个注，措施$\nu_h$形式递增指导一系列积极措施，其上限为$\nu$，并且一个适用于Cor。 §1, No. 4 提案 11 的 1（或 Cor.2）。

考虑到第 10 号提案，这可以直接从 Th 推论出来。 §5, No. 3 和 Th 中的 1。 1 个No. 2。