假设对$(\pi, g)$是$\mu$适配的；对于每个函数$f \in \mathscr{K}(X)$，函数$t \mapsto \langle f, \lambda_t \rangle = f(\pi(t))g(t)$本质上是$\mu$可积的。让我们证明 $t \mapsto \lambda_t$ 是模糊可测的 $\mu$。因为，我们首先注，如果$\pi$和$g$是连续的，那么映射$t \mapsto \lambda_t$是模糊连续的。在一般情况下，紧凑子集 $K$ $T$ 的集合使得 $\pi$ 的限制和 $g$ 到 $K$ 连续，是 $\mu$ 稠密（第 IV, §5, No. 10 章，提案 1）。 15);如果$K$是这样的集合，那么$t \mapsto \lambda_t$到$K$的限制是模糊连续的，从而是叙述的第一个断言。 §3, No. 1 的命题 2 表明$\Lambda$ $\mu$ 是足够的。

相反，假设 $\Lambda$ 本质上是 $\mu$ 可积且模糊地 $\mu$ 可测；那么 $\mu$ 就足够了（§3, No. 1，提案 2）。由于函数 1 在 $X$ 上是下半连续的，函数 $t \mapsto \lambda_t(1) = g(t)$ 是 $\mu$ 可测（§3，定义 1）。因此集合 $S$ 是可测量的（第 IV, §5, No. 5 章，第 7 条命题）。 紧集 $K \subset S$的集合$\mathfrak{K}$使得$g|K$是连续的并且$\Lambda|K$是模糊连续的，在$S$中是$\mu$密集（第IV, §5, No. 10章，第15条）；如果$K \in \mathfrak{K}$，那么映射$t \mapsto \varepsilon_{\pi(t)} = \frac{1}{g(t)} \lambda_t$的限制到$K$因此是模糊连续的，这意味着$\pi|K$的连续性（第III, §1, No. 9章，第13条命题）。由于$\mathfrak{K}$在$S$中是$\mu$密集，因此$\pi$到$S$的限制是$\mu$可测。

我们将利用以下引理：

对于每个（有限）实数$a$，用$x \in X$的$B_a$集合表示，使得$f(x) \leq a$，并用$t \in T$的$A_a$集合表示，使得$g(t) \leq a$；这一切都归结为表明 $B_a$ 是封闭的（GT，IV, §6, No. 2，提案 1）。现在，$A_a$ 是封闭的（相同的参考文献），正确的映射 $\pi$ 是封闭的（GT，I, §10, No. 1，提案 1）；因此，我们将证明减少为 $\pi(A_a) = B_a$。对于所有$t \in T$，明显的关系$f(\pi(t)) \leq g(t)$意味着$\pi(A_a) \subset B_a$。另一方面，令 $x \in B_a$； 集合 $\overline{\pi}^{-1}(x)$ 是拟紧的（GT，I, §10, No. 2，Th.1）和非空，因此存在一个 $t \in \overline{\pi}^{-1}(x)$ 使得

A) 首先假设测度$\mu$具有紧支持K，并且函数、$g$和$\pi$的限制到K是连续的。通过 $§ 3$、No. 1、$\nu^\bullet(1) = \int_K g(t)\, d\mu(t) < +\infty,$ 的公式 (4)，以便公式 (1) 中的所有度量都有界。因此，我们可以在第一个成员中通过替换 $\int^\bullet$ $\int^*$。鉴于$§ 3$、No. 2的公式 (6)，一切都归结为证明 (2)

其中第二个成员中的符号$\int^\bullet$又可以替换为$\int^*$。通过上积分定义，即可验证不等式 (3) 对于 T 上的每个下半连续函数 $h$，即 $\geq$ 函数 $t \mapsto f(\pi(t))g(t)$。现在，令$\varepsilon$为数$> 0$，并让$u$为函数$(h + \varepsilon)/g,$，这是K中的下半连续。如果$t \in \pi^{-1}(\{x\}) \cap K,$则$u(t) \geq f(x):$，如果$g(t) = 0,$，则这是明显的，因为那么$u(t) = +\infty;$如果$g(t) > 0,$ 那么

从而所断言的不等式。在这些条件下，对于每个$x \in X$，令$v(x)$为$u(t)$对于$t \in \pi^{-1}(\{x\}) \cap K$的下确界。通过前述，函数$v$是$\geq f$，它在$X$上是引理的下半连续（适用于$\pi$到$K$的限制），并且$v(\pi(t))g(t) \leq h(t) + \varepsilon$适用于所有$t \in K$（回想一下第一个成员）按照惯例，如果$g(t) = 0$，则为零）。然后我们应用到§3, No. 1的$v$公式(4)。我们得到：

由于测度 $\mu$ 是有界的，而 $\varepsilon$ 是任意的，因此不等式 (3) 如下。

B) 现在让我们讨论一般情况。由于 $T$ 的映射 $t \mapsto (\pi(t), g(t))$ 到 $X \times \mathbf{R}_+$ 是 $\mu$ 可测量的（第 IV, §5, No. 3，第 1 章），紧凑的子集 $K$ 的集合 $\mathscr{K}$ $T$使得$\pi$和$g$到$K$的限制连续，是$\mu$稠密（第IV, §5, No. 10章，第15条）。根据§2, No. 3的第4条，$\mu$是可求和族$(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$测度的和，其支持度为$\mathscr{K}$中的元素； 对$(\pi, g)$针对每个$\alpha \in A$进行$\mu_\alpha$调整，让$\nu_\alpha$作为度量$\int g(t) \varepsilon_{\pi(t)}\, d\mu_\alpha(t)$。然后由A），

但是 $\nu_\alpha$ 形式是一个可求和族，其和等于 $\nu$（§3, No. 1，Prop. 1 的 Cor.）。因此，根据§2, No. 2的第1条命，

(5) 的第二个成员有一个类似的关系，因此 (1) 通过对 $\alpha$ 求和而从 (5) 得出。

那么，对于 $X$ 上定义的每个数字函数 $f \geq 0$，

显然$\pi$和$g$是$\mu$可测的；此外，对于每个函数 $\psi \in \mathscr{K}(X)$，$\psi \circ \pi$ 是连续的且具有紧支撑，因为 $\pi$ 是适当的；因而，对$(\pi, g)$是$\mu$适合的，此外，映射$t \mapsto g(t)\varepsilon_{\pi(t)}$是模糊连续的。

令$h$为$T$上的下半连续函数，使得

我们将证明

通过上积分的定义，这将意味着不等式

与 §3, No. 2 的不等式 (7) 结合，可证明 (7)。

为了证明（8），让我们按以下方式在$X$上定义函数$\overline{f}$：$\overline{f}(x)$是集合$\overline{\pi}^{-1}(x)$中$h(t)/g(t)$的下确界（下确界等于$+\infty$，如果$\overline{\pi}^{-1}(x) = \varnothing$）。 函数 $\overline{f}$ 具有以下属性：

$1^\circ$ $\overline{f}(x) \geq f(x)$ 适用于所有 $x \in X$（自 $g(t) > 0$ 适用于所有 $t \in T$）。

$2^\circ$$\overline{f}(\pi(t))g(t) \leq h(t)$适用于所有$t \in T$。

由于引理、函数 $h/g$ 在 $T$ 上是下半连续，$3^\circ$ 函数 $\overline{f}$ 是下半连续。

因而，鉴于§3, No. 1的提案2a）：

成立 (8)，并完成证明。

令$f$为$X$的映射进入拓扑空间$G$，并令$S$为点$t \in T$的（$\mu$可测量）集合，使得$g(t) > 0$。在$f$为$\nu$可测的阶中，$f \circ \pi$至$S$中的限制为$\mu$可测是充分必要的。

首先假设$f$是$\nu$可测的。通过$S$的紧致子集$K$的假设、集合$\mathscr{K}$，使得$\pi$到$K$的限制是连续的，在$S$中是$\mu$稠密的（第1章） IV, §5, No. 10，提案 15）。为了证明$f \circ \pi$到$S$的限制是$\mu$可测的，因此只需证明对于每个$K \in \mathscr{K}$，紧致子集$H$的$K$的集合，使得$f \circ \pi$到$H$的限制是连续的，在$K$中是$\mu$稠密的（第IV, §5, No. 8章，第13条命题）。但到假设时，存在紧集$\pi(K)$的划分，由$\nu$可忽略的集合$N$和紧集$(C_n)$的序列组成，使得限制 $f$ 到每个 $C_n$ 是连续的。 $K$的条件、$K \cap \overline{\pi}(N)$和集合$K \cap \overline{\pi}(C_n)$形式划分；但 $K \cap \overline{\pi}(N)$ 是 $\mu$——由于 Cor 的缘故，可以忽略不计。的 Th。 No. 2、集合 $K \cap \overline{\pi}(C_n)$ 的 1 是紧的，$f \circ \pi$ 的限制到后者集合是连续的，这就证明$f \circ \pi$ 到$S$ 的限制是$\mu$-可测量。

相反，假设情况是这样；为了证明$f$是$\nu$可测的，只需证明$X$的紧致子集$L$的集合$\mathscr{L}$，使得$f$到$L$的限制是连续的， $\nu$-密集（第 IV, §5, No. 10 章，第 15 条命题）。令 $N$ 为 $X$ 的子集，使得对于每个 $L \in \mathscr{L}$，$N \cap L$ $\nu$ 可以忽略不计，并且让我们证明 $N$ 局部 $\nu$ 可以忽略不计。为此，我们必须证明$\overline{\pi}(N) \cap S$在局部$\mu$可以忽略不计（No. 2的Th.1的Cor.）。现在，$S$的紧凑子集$H$的集合$\mathscr{H}$，使得$\pi$和$f \circ \pi$的限制到$H$是连续的，是由假设 $\mu$-$S$ 密集（第 IV, §5, No. 10 章，第 15 条命题）。因而，只要证明$\overline{\pi}(N) \cap H$对于每个$H \in \mathscr{H}$来说都是$\mu$，可以忽略不计。现在，$\pi(H)$是紧凑的，并且可以用等价关系$\pi(t) = \pi(t')$与$H$的商空间来识别，$\pi$可以用$H$的典范映射识别到该商空间上（GT， I, §5, No. 2，提案 3）。由于$f \circ \pi$到$H$的限制是连续的，因而$f$到$\pi(H)$的限制是连续的，在其他字$\pi(H) \in \mathscr{L}$中，因而$N \cap \pi(H)$是$\nu$可忽略不计。由科。的 Th。 No. 2、$\overline{\pi}(N \cap \pi(H)) \cap S$ 中的 1 个局部$\mu$-可以忽略不计；因此集合也是如此

但由于 $H$ 是紧凑的，$H \cap \overline{\pi}(N)$ 是 $\mu$ 可以忽略不计，从而完成证明。

A) 我们首先处理测度 $\mu$ 具有紧支撑 $K$ 的情况，$g$ 是有界的。然后，测度$\mu$和$\nu$是有界的，并且可以通过“可积”将替换“本质上可积”到叙述中。假设$f$是$\nu$可积：函数$f(\pi(t))g(t)$则$\mu$可积，并且关系(9)由Th验证。 §3, No. 3 中的 1 个。相反，假设$f(\pi(t))g(t)$是$\mu$可积：那么$f$是$\nu$可测（No. 3，命题3和*注*），并且

（No. 2，第 1）；因此，$f$本质上是$\nu$可积（§1, No. 3，命题9），因此$\nu$可积。 Th。 §3, No. 3 中的 1 意味着 (9)。

B) 让我们讨论一般情况。令 $\mathscr{K}$ 为 $T$ 的紧凑子集 $K$ 的集合，使得 $g|K$ 是连续的：$\mathscr{K}$ 是 $\mu$ 稠密（第 IV, §5, No. 10 章，第 15 条），因此测度 $\mu$ 为一个家庭的$(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$措施的和，其支持是$\mathscr{K}$中的元素（§2, No. 3，提案4）。 对$(g, \pi)$显然对每个$\alpha \in A$进行$\mu_\alpha$调整，并且度量$\nu$是度量家族$\nu_\alpha = \int \varepsilon_{\pi(t)}g(t) \, d\mu_\alpha(t)$的和（§3, No. 1，第1条的Cor.）。由于A)的论证可以应用于措施$\mu_\alpha, \nu_\alpha$，叙述的第一个部分则由§2, No. 2的命题3得出。

对于函数$f$（或$t \mapsto f(\pi(t))g(t)$）对于$\nu$（或$\mu$）可积，它本质上可积是必要且充分的，并且

因此，叙述的第二个部分源自第一个部分和命题2。