属性 a)、b)、c)、d) 可以立即从上积分的相应的属性中推导出来：a) 从 Ch 的命题 6 中推导出来。 Ch. IV, §2, No. 3 和命题 5 IV, §5, No. 2； b), c), d) 来自第 10, 11, 12 章的命题 10, 11, 12 IV, §1, No. 3。 为建立e)，用$T$的紧致子集的$\mathfrak{K}$集合表示；由 Ch. 定理 3 IV, §1, No. 3，我们有

等式在关系 d) 中成立，如果 $f$ 和 $g$ 可测量，由 Cor. 4 Th。 5，CH。 IV, §5, No. 6。更一般地，我们得到以下结果：

对于上积分，一立即减少到类似公式的证明。从$f(g + h) = fg + fh$开始（按照$0 \cdot (+\infty) = 0$的约定），我们有

剩下的就是建立相反的不等式。令$u$为下半连续函数，使得$u \geq f(g + h)$。 集合$v = \frac{u}{g + h}$在集合，其中$g + h > 0$，以及$v = +\infty$在集合，其中$g + h = 0$；然后$v \geq f$和$u \geq v(g + h)$，从而

因而， $v$ 是可测量的（第 IV, §5, No. 6 章，第 5 章第 4 章），

这意味着所需的不等式，因为$u$是任意的。

对于有限序列的情况，这是命题2的直接的推论。无限序列的情况可以由此通过命题1，e）推导出来。

证明是直接的，来自第 1 章中类似的叙述。 IV（§1, No. 3，提案 15）。

例如，令$g$为$\mathscr{K}_+(T)$中的函数，使得$g \leqslant f$。如果$K$是$g$的（紧）支持，则$\mu(g) \leqslant \mu^*(f \varphi_K) \leqslant \mu^\bullet(f)$。根据上积分的定义，得出$\mu^*(f) \leqslant \mu^\bullet(f)$，因而$\mu^*(f) = \mu^\bullet(f)$ (公式 (1))。

很明显，属性 a) 和 c) 都隐含 b)。相反，b) 意味着 a)，因为有限外部测度的每个集合都包含在可积开集合（第 IV, §1, No. 4，命题 19）中，并且 b) 意味着 c)，因为每个可积集合是序列的并紧集和可忽略不计的集合（第 IV, §4, No. 6 章，第 4 章第 2 章）。

1) 函数 $h_0$ 是$\mu$-可以忽略不计。 2) 对于每个$n \geq 1$，都存在紧集$K_n$，使得$h_n$在$K_n$之外是零，并且$h_n$到$K_n$的限制是有限且连续的。

假设$f$是正可测函数的序列$(f_n)$中的和，其中叙述中各有性质；显然$f$也有。 集合

每$n \in \mathbf{N}$；由于 $f$ 等于序列 $(f_n)$ 的和，因此假设 $f$ 受到调节且“有界”，则足以建立命题。然后用$t \in T$的$A$集合表示，使得$f(t) > 0$； $A$是可测量和调节的，因此存在序列$(A_n)$成对的不相交的可积集合使得$A = \bigcup_n A_n$。我们将函数$f \varphi_{A_n}$减少为证明叙述；在其他字中，我们可以假设$f$是有界的并且零位于可积集合$I$之外。但$I$是可忽略不计的集合$N$的并和成对不相交的紧集的序列$(L_n)$（第IV, §4, No. 6章，第4章的Cor.2）。因此，我们只能处理 $f$ 有界且零在紧集 $L$ 之外的情况。

令$\mathscr{K}$为$T$的紧凑子集$K$的集合，使得$f|K$是连续的；由于 $\mathscr{K}$ 是 $\mu$ 稠密（第 IV, §5, No. 10 章，第 15 条），$L$ 是可忽略不计的集合 $N$ 和序列 $(K_n)_{n \geq 1}$ 的并成对不相交的元素，共 $\mathscr{K}$（第 IV, §5, No. 8 章，定义 6）。 函数 $h_0 = f \varphi_N$、$h_n = f \varphi_{K_n}$ $n \geq 1$ 然后满足条件叙述。

下面的命题使得约化将上积分的研究变成本质上积分的研究成为可能。

第一个断言紧接着第 1 章的引理 1。 IV, §5, No. 6。为了建立第二个，用 $A$ 表示一个经过调节的子集，使得 f 是 A 之外的零； A 是可忽略不计的集合 $A_0$ 的并和紧集的序列 $(A_n)_{n \geq 1}$，我们可以假设是递增。 函数 $f$ 几乎处处都等于函数 $f \varphi_{A_n}$ ($n \geq 1$) 的上包络线，因此（第 IV, §1, No. 3、第 3 章和§2, No. 3、第 6 条命题）

从而等式 $\mu^*(f) = \mu^\bullet(f)$ 凭借公式 (1)。最后，假设$\mu^\bullet(f) < +\infty$；存在紧集的递增序列 $(A_n)$ 使得

集合$A = \bigcup_n A_n$；第二个成员等于 $\mu^*(f \varphi_A)$ (Ch. IV, §1, No. 3, Th. 3)，即 $\mu^\bullet(f \varphi_A)$（根据上述第 1 条或第 2 条）。由于$\mu^\bullet(f) = \mu^\bullet(f \varphi_A) + \mu^\bullet(f \varphi_{\mathbf{C}_A})$（命题2），我们有$\mu^\bullet(f \varphi_{\mathbf{C}_A}) = 0$，由此得出3）。

根据命题 4，断言 a) 是第 1 章定理 1 的重复。 IV, §1, No. 1。建立b)，集合$\eta = \inf_{h \in H} h$，令$a$为数$> 0$。存在紧集 K 使得（第 IV, §4, No. 4 章，第 5 条命题第 1 条）：

函数$h\varphi_K$，其中$h$经过上半连续函数的$H$、形式集合，指向关系$\geqslant$，其中包含可积函数。因此（第 IV, §4, No. 4 章，第 5 号提案第 2 条）：

但是（第 IV, §4, No. 4 章，第 5 条命题第 1 条）$\mu^\bullet(h_0\varphi_{C_K}) \leqslant a$，从而 $\mu^\bullet(h\varphi_{C_K}) \leqslant a$ 对于每个函数 $h \in H$ 使得 $h \leqslant h_0$。因此，最后：

不等式$\mu^\bullet(\eta) \leqslant \inf_{h \in H} \mu^\bullet(h)$是明显的，$a$是任意的，命题成立。

例如，令 $D$ 为 $t \in T$ 的集合，使得 $g(t) \neq g'(t)$； $D$ 局部可以忽略不计并且经过调节，因此可以忽略不计（第 7 号提案的 Cor. 1）。

我们将用$\overline{\mathscr{F}}_F^p(T, \mu)$（或简称为$\overline{\mathscr{F}}_F^p(\mu)$，$\overline{\mathscr{F}}_F^p$，如果不会造成混淆）将$T$的映射$f$的集合表示为$F$，使得存在函数$g \in \mathscr{F}_F^p$等于$f$当地几乎到处都是。由于数$N_p(g)$仅依赖于$f$乘以引理，我们将写成$\overline{N}_p(f) = N_p(g)$。 函数$\overline{N}_p$显然是$\overline{\mathscr{F}}_F^p$的半范数，我们总是假设$\overline{\mathscr{F}}_F^p$配备有$\overline{N}_p$定义的拓扑。这个拓扑的0的闭包是空间$\mathscr{N}_F^\infty$； 关系 $\overline{\mathscr{F}}_F^p = \mathscr{F}_F^p + \mathscr{N}_F^\infty$、$\mathscr{N}_F^\infty \cap \mathscr{F}_F^p = \mathscr{N}_F$ (引理) 表明规范化的空间 $\overline{\mathscr{F}}_F^p / \mathscr{N}_F^\infty$ 可以与 $\mathscr{F}_F^p / \mathscr{N}_F$ 规范地一致，这是完整的（第 IV, §3, No. 3 章，第 5 条）；因此$\overline{\mathscr{F}}_F^p$本身是完整的。

我们同样用$\overline{\mathscr{F}}_F^p$的$\overline{\mathscr{L}}_F^p(T, \mu)$（或$\overline{\mathscr{L}}_F^p(\mu)$，或$\overline{\mathscr{L}}_F^p$）子空间$\mathscr{L}_F^p + \mathscr{N}_F^\infty$来表示；也可以将$\overline{\mathscr{L}}_F^p$表征为$\overline{\mathscr{F}}_F^p$的子空间，由*可测量的*映射构成（第IV, §5, No. 6，第5章）。

规范化的空间$\overline{\mathscr{L}}_F^p / \mathscr{N}_F^\infty$可以与$L_F^p$规范地识别；因此$\overline{\mathscr{L}}_F^p$是完整的。 它的元素被称为 p-th 幂本质上是可积函数，这个术语由以下命题证明是合理的：

则有$\overline{N}_p(f) = (\mu^\bullet(|f|^p))^{1/p}$。

关于$\overline{\mathscr{F}}_F^p$，我们可以清楚地从极限自己到断言。如果 f 属于至 $\overline{\mathscr{F}}_F^p$，则令 g 为函数属于至 $\mathscr{F}_F^p$，几乎处处局部等于 f；那么 $|f|^p = |g|^p$ 几乎无处不在，因此

（命题 1，a）和命题 7），另一方面，通过 $\overline{N}_p$ 的定义，

相反，假设$\mu^\bullet(|f|^p) < +\infty$；则存在一个经过调节的集合 A，使得 f 在 T − A 中几乎所有地方都局部为零（命题 7）。 函数 $f \varphi_A$，几乎在任何地方都等于 f，使得 $N_p(f \varphi_A) = \overline{N}_p(f) < +\infty$，因此它属于到 $\mathscr{F}_F^p$，以及 $f \in \overline{\mathscr{F}}_F^p$。

为了建立 a)，只需证明对于 $T$ 的每个紧凑子集 $L$，

其中$K$超过$L$属于到$\mathfrak{K}$的子集的集合。由于$L$是可忽略不计的集合的并和$\mathfrak{K}$的元素的递增序列$(K_n)$（第IV, §5, No. 8，第12章），这是从定理到上积分中的极限（第 IV, §1, No. 3 章，第 3 章）。

现在假设$f$属于到$\mathscr{L}_F^1$；令$\varepsilon$为数$> 0$，并令$K$为$\mathfrak{K}$的元素，使得

（这样的 K 由 a) 存在。然后，对于每个紧集 H 包含 K，

扩张到复杂的 Banach 空间和措施。设 F 为复数 Banach 空间；通过滥用记号，F 下的真正的 Banach 空间也将被表示为 F。那么 Banach 空间 $\overline{\mathscr{L}}_F^p(T, \mu)$ 可能会配备一个自然复数 Banach 空间结构，并且有必要具体说明是使用该实数还是复数结构空间。在这个章中，如果没有明确提及相反的情况，它将始终被理解为真正的结构。

令 $\theta$ 为复测度；我们集合$\overline{\mathscr{L}}_F^p(T, \theta) = \overline{\mathscr{L}}_F^p(T, |\theta|)$；如果 F 是复数 Banach 空间，则可以得到与上面相同的注。特别是，如果函数 f 与 F 中的值对于 $\theta$ 本质上可积，则它对于 $|\theta|$ 本质上可积。第 10 号提案的断言 b)，然后立即扩展采取复杂措施。

当$f$属于到$\mathscr{K}(T)$时，$\mathscr{M}(T)$中有向集合的上等的关系约化到定义（第II, §2, No. 2，引理）。接下来假设$f \leq g$对于某些函数$g \in \mathscr{K}_+$（在其他字中，$f$是有界的并且是零在紧集K之外）；设$\alpha$为指标，使得$\lambda_\alpha(g) \geq \lambda(g) - \varepsilon$，其中$\varepsilon$为数$> 0$；由于度量 $\nu = \lambda - \lambda_\alpha$ 是正数，因此我们有 $\nu^*(f) \leq \nu(g) \leq \varepsilon$ 或 $\lambda_\alpha^*(f) \geq \lambda^*(f) - \varepsilon$（第 IV, §1, No. 3 章，第 15 条命题）。由此可见（因为 $\varepsilon$ 是任意的）（5）的第二个成员是第一个成员 $\geq$；反之不等式是显而易见的，(5)是针对所考虑的特殊情况而成立的。接下来，假设$f$是K之外的零，但不一定有界，并且对于每个整数$n$，集合$f_n = \inf(f, n)$。然后

最后，在$f$上没有限制，用$T$的紧凑子集的$\mathscr{K}$集合表示，我们有

条件显然是必要的，因为$\lambda_\alpha \leq \lambda$对应于每个$\alpha$（第IV, §1, No. 3，第15条命题）。相反，假设$g$对于所有$\alpha$是$\lambda_\alpha$可测的，用T的紧致子集K的$\mathscr{K}$集合表示，使得$g|K$是连续的，并且让L是紧集使得$L \cap K$对于每个$K \in \mathscr{K}$，$\lambda$可以忽略不计。由于集合$\mathscr{K}$是$\lambda_\alpha$密集，L对于每个$\alpha$来说$\lambda_\alpha$可以忽略不计（第IV, §5, No. 8，第12章），因此$\lambda$可以忽略不计（Cor.1）。由此可知 $\mathscr{K}$ 是 $\lambda$ 稠密的，并且 $g$ 是 $\lambda$ 可测的（第 IV, §5, No. 10 章，第 15 条命题）。