由于$L(-x) = -L(x)$（$L$是$\mathbf{R}$中加法群E的表示），我们可以将自己限制在$\lambda \geq 0$的情况。对于每个整数$n \geq 0$，我们有$L(nx) = nL(x)$，从而$L((1/n)x) = (1/n)L(x)$，因此对于每个有理数$r \geq 0$，我们有$L(rx) = rL(x)$。另一方面，E 中的$L$ 是递增；如果$r$和$r'$是有理数数使得$r \leq \lambda \leq r'$，则有$rL(x) \leq L(\lambda x) \leq r'L(x)$；由于 $rL(x)$ 和 $r'L(x)$ 与 $\lambda L(x)$ 的差异尽可能小，因此我们有 $L(\lambda x) = \lambda L(x)$。

到假设，每个$z \in E$都可以写成$z = y - x$，其中$x, y$属于到C；此外，如果还有$z = y' - x'$和$x' \in C$，$y' \in C$，那么

$M(y) - M(x) = M(y') - M(x')$；因为，从关系$y - x = y' - x'$我们推断出$y + x' = x + y'$，因而$M(y) + M(x') = M(x) + M(y')$。让我们用$M(y) - M(x)$的$L(z)$公共的值来表示$z$的所有表达式作为$C$的两个元素的差$y - x$；立即验证$L$是线性形式在$E$上延伸$M$； $L$的唯一性是由$C$生成空间$E$产生的。

从$E = P - P$开始，与命题2中相同的推理首先证明$E$的*加法*映射$L$到$\mathbf{R}$的存在和唯一性到扩展$M$。 命题 1 然后显示对于所有 $\lambda \geqslant 0$ 和所有 $x \in P$，$L(\lambda x) = \lambda L(x)$，从直接的 $L$ 是线性形式。

2° 在 $E$ 上相对有界线性形式有序向量空间 $\Omega$ 是完全格序的 Riesz 空间。

如果$L = U - V$，其中$U$和$V$在$E$上为正线性形式，关系$-x \leq y \leq x$意味着

从而$|L(y)| \leq U(x) + V(x)$就是直接的；因此，$L$是相对有界的。相反，假设 $L$ 是相对有界的；这一切都归结为证明，存在一个正的线性形式$N$，使得$N(x) \geq L(x)$对于所有$x \geq 0$，因为$N - L$将是一个正的线性形式。

现在，如果正数线性形式$N$有性质，那么对于每个$x \geq 0$和$0 \leq y \leq x$，我们有$N(x) \geq N(y) \geq L(y)$，因此$N(x) \geq \sup_{0 \leq y \leq x} L(y)$；如果我们证明实值函数

定义在元素 $\geq 0$ 的集合 $P$ $E$ 上，可以扩展到 $E$ 上的正线性形式（也表示为 $M$），我们将演示定理的第一个部分，并且将此外，还证明了$M$是$0$和$L$在$\Omega$中的上乘。从$M(x) \geq 0$到$P$，一切都归结为证明

对于元素 $x \geq 0,\ x' \geq 0$ $E$ 中的每对（No. 1，提案 3）。 定义，

另一方面，对于每个$z$使得$0 \leq z \leq x + x'$，我们有$x + x' = z + u$和$u \geq 0$；由分解引理 (§ 1, No. 1)，存在两个元素 $y,\ y'$，使得 $0 \leq y \leq x,\ 0 \leq y' \leq x'$ 且使得 $z = y + y',\ u = (x - y) + (x' - y')$；然后

因此$M(x + x') = \sup_{0 \leq z \leq x + x'} L(z) \leq M(x) + M(x')$，它完成了定理的第一个部分的证明。此外，我们已经证明 $\Omega$ 是一个 Riesz 空间 并且，对于 $E$ 上的每个相对有界的线性形式 $L$ 以及对于每个 $x \geq 0$，

(1)

仍有待观察 $\Omega$ 是完全晶格有序的；为此，只需证明*正* 线性形式的任何集合 $H$，在上面有界并指向关系 $\leqslant$，在 $\Omega$ 中具有上界。

更一般地说，我们有以下引理：

在 E 中所有 $x \geqslant 0$ 的集合 P 中，定义映射 $u$ 乘以公式 (2)；对于所有$\lambda \geqslant 0$和$x \in P$来说，直接的等于$u(\lambda x) = \lambda u(x)$；为了证明引理因此，根据 No. 1 的命题 2 就足够了

对于P中的$x, y$。但这就是注意到上的直接的，$u(x) = \lim u_\alpha(x)$相对于指标的有向集合（单调极限定理）。

从公式 (1) 可以立即推断出，如果 $L$ 和 $M$ 是 E 上两个相对有界的线性形式，则对于每个 $x \geqslant 0$，

特别是，如果在第一个公式中，$M$被$-L$替换，我们得到

现在，如果$x = y + z$、$y \geqslant 0$和$z \geqslant 0$，则$-x \leqslant y - z \leqslant x$；相反，关系$|u| \leqslant x$意味着$L(u) \leqslant |L|(|u|) \leqslant |L|(x)$。由此我们推导出公式

从而，特别是，

对于所有$x \in E$。

事实上，通过(3)的第二个公式，这个条件表达了$\inf(L, M) = 0$。

让我们首先证明条件是必要的。如果 $M \geq 0$ 属于到 $\Omega$ 中$L$ 生成的能带，则（§ 1, No. 5，第 6 条命题的修正）

如果有一个集合

因而，$U_n$ 是$E$ 上的正线性形式，$\Omega$ 中的$\inf_n U_n = 0$；因而，(引理)$U_n(x)$趋于0，而$n$趋于无穷大，并且存在$n$使得$U_n(x) \leq \varepsilon/2$。固定这样的$n$，我们对所有$y$有$U_n(y) \leq \varepsilon/2$，这样$0 \leq y \leq x$，因此关系$0 \leq y \leq x$意味着

如果$y$满足$L(y) \leq \varepsilon/2n$，则$M(y) \leq \varepsilon$成立，从而建立了我们的断言。

现在让我们证明条件就足够了。对于$E$上的每个正线性形式$M$，可以写出$M = U + V$，其中$U$属于属于$\Omega$中$L$生成的带，其中$V$与$L$、$U$不相容， $V$ 为正（§ 1, No. 5，Th.1）。如果$M$满足条件或叙述，那么$V = M - U$也满足，因为$0 \leq V \leq M$。由此我们将推导出$V = 0$。对于$E$中的每个$x \geq 0$和每个数$\eta > 0$，存在$E$的两个元素$y \geq 0, z \geq 0$，使得$x = y + z$和$L(y) + V(z) \leq \eta$（命题4）；给定任意数 $\varepsilon > 0$、选择 $\eta \leq \varepsilon$，使得关系 $0 \leq u \leq x$ 和 $L(u) \leq \eta$ 隐含 $V(u) \leq \varepsilon$；然后按照上面的方法确定 $y$ 和 $z$，我们有 $L(y) \leq \eta$，因此 $V(y) \leq \varepsilon$ 等等

由于$\varepsilon$是任意的，因此对于每个$x \geq 0$，我们都有$V(x) = 0$，即$V = 0$。