习题 4, § 2

令 E 为完全格序空间。

a) 设$L$为E上的正线性形式，连续拓扑$\mathscr{T}_0(E)$（§1，Exer.10）。证明 $x \in E$ 的集合使得 $L(|x|) = 0$ 是一个带 $Z(L)$。令 $S(L)$ 为 E 中$Z(L)$ 的补充频带（§1，Exer.6）。

b) 令$L$和$M$为E上的两个正线性形式，连续$\mathscr{T}_0(E)$。 阶中，在E上相对有界线性形式的空间$\Omega$中，$M$属于对于$L$生成的能带，$S(M) \subset S(L)$是充分必要的。 （要证明条件是充分的，请通过反证论证，假设$M$不能验证第5条的条件；考虑E的元素的序列$(y_n)$，使得$0 \leq y_n \leq x$，

$L(y_n) \leq 1/2^n$和$M(y_n) \geq \alpha > 0$，并推断E中元素$z \geq 0$的存在使得$L(z) = 0$和$M(z) \geq \alpha .$

c) 令$L$和$M$为E上的两个正线性形式，连续$\mathscr{T}_0(E)$。在阶中，在$\Omega$、$L$和$M$是外来的，$S(L) \cap S(M) = \{0\}$是充分必要的。 （要看出条件是必要的，请使用b证明，如果$S(L) \cap S(M)$不将约化归0，则由$L$和$M$生成的$\Omega$中的能带在公共的中具有元素和$\neq 0$，通过使用b。）