Bài tập 4, § 2

Cho E là một không gian có thứ tự dàn đầy đủ.

a) Cho $L$ là một dạng tuyến tính dương trên E, liên tục đối với tôpô $\mathscr{T}_0(E)$ (§1, Bài tập 10). Chứng minh rằng tập hợp các $x \in E$ sao cho $L(|x|) = 0$ là một dải $Z(L)$. Gọi $S(L)$ là dải bổ sung cho $Z(L)$ trong E (§1, Bài tập 6).

b) Cho $L$ và $M$ là hai dạng tuyến tính dương trên E, liên tục đối với $\mathscr{T}_0(E)$. Để trong không gian $\Omega$ các dạng tuyến tính bị chặn tương đối trên E, $M$ thuộc dải sinh bởi $L$, điều kiện cần và đủ là $S(M) \subset S(L)$. (Để thấy điều kiện là đủ, hãy lập luận bằng phản chứng, giả sử rằng $M$ không thỏa mãn điều kiện của Mệnh đề 5; xét một dãy $(y_n)$ các phần tử của E sao cho $0 \leq y_n \leq x$,

$L(y_n) \leq 1/2^n$ và $M(y_n) \geq \alpha > 0$, và suy ra sự tồn tại của một phần tử $z \geq 0$ trong E sao cho $L(z) = 0$ và $M(z) \geq \alpha .$

c) Cho $L$ và $M$ là hai dạng tuyến tính dương trên E, liên tục đối với $\mathscr{T}_0(E)$. Để trong $\Omega$, $L$ và $M$ là xa lạ, điều kiện cần và đủ là $S(L) \cap S(M) = \{0\}$. (Để thấy điều kiện là cần, hãy chứng minh rằng nếu $S(L) \cap S(M)$ không rút gọn về 0 thì các dải trong $\Omega$ sinh bởi $L$ và $M$ có một phần tử $\neq 0$ chung, bằng cách sử dụng b.)