Exercice 4, § 2

Soit E un espace complètement réticulé.

a) Soit $L$ une forme linéaire positive sur E, continue pour la topologie $\mathscr{T}_0(E)$ (§ 1, exerc. 10). Montrer que l’ensemble des $x \in E$ tels que $L(|x|) = 0$ est une bande $Z(L)$. Soit $S(L)$ la bande supplémentaire de $Z(L)$ dans E (§ 1, exerc. 6).

b) Soient $L$ et $M$ deux formes linéaires positives sur E, continues pour $\mathscr{T}_0(E)$. Pour que, dans l’espace $\Omega$ des formes linéaires relativement bornées sur $E$, $M$ appartienne à la bande engendrée par $L$, il faut et il suffit que l’on ait $S(M) \subset S(L)$. (Pour voir que la condition est suffisante, raisonner par l’absurde, en supposant que $M$ ne vérifie pas la condition de la prop. 5 ; on considérera une suite $(y_n)$ d’éléments de $E$ tels que $0 \leq y_n \leq x, L(y_n) \leq 1/2^n$, et $M(y_n) \geq \alpha > 0$, et on en déduira l’existence d’un élément $z \geq 0$ dans $E$ tel que $L(z) = 0$ et $M(z) \geq \alpha$.

c) Soient $L$ et $M$ deux formes linéaires positives sur $E$, continues pour $\mathscr{T}_0(E)$. Pour que dans $\Omega$, $L$ et $M$ soient étrangères, il faut et il suffit que $S(L) \cap S(M) = \{0\}$. (Pour voir que la condition est nécessaire, prouver que si $S(L) \cap S(M)$ n’est pas réduite à 0, les bandes engendrées par $L$ et $M$ dans $\Omega$ ont un élément $\neq 0$ commun, en utilisant $b$).