断言 a) 是显而易见的。让我们证明b)。由于连续性是局部性质，因此我们可以将约化应用于$\bigcup_{x \in X} u_x^{-1}(S)$包含在$Y$的紧凑子集$Y'$中的情况。由于函数 $(x, y) \mapsto f(xy)$ 在 $X \times Y$ 上连续，因此 $f \circ u_x$ 在 $Y'$ 上一致趋向于 $f \circ u_{x_0}$，因为 $x$ 趋向于 $x_0$

（GT，X, §3, No. 4，Th.3），因此$\mu(f \circ u_x)$趋于$\mu(f \circ u_{x_0})$。 从而引理。

现在让我们回到之前的记号。

设$f \in \mathscr{K}(X)$，S是G的$f$、$s_0$点的支持，V是G中$s_0$的紧邻域；那么集合

在 X 内是紧致的；由引理 1 和公式 (8)，$\chi(s^{-1}) \langle \mu, f \rangle$ 连续依赖于 $s$；如果选择$f$使得$\langle \mu, f \rangle \neq 0$，则可以看到$\chi$是连续的。

现在让 G 是一个在局部紧凑空间 X 中连续在右侧运行的拓扑群；对于$s \in G$和$x \in X$，令$xs$等于$x$除以$s$的变换。我们用 $\delta_X(s)$ 或 $\delta(s)$ 表示 X 的同胚，定义为

(1')

我们有

(2')

截至结构的迁移、函数的$\delta(s)$的定义作用以及X的措施：

(3')

我们同意写 $d\mu(xs)$ 代替 $d(\delta(s)\mu)(x)$，然后 (5') 取形式

一个定义以类似的方式在G下对X的测量不变，相对不变和准不变。如果$\mu$相对不变，则其乘子$\chi$由公式定义

如果将与G相反的群$G^0$视为$(x,s) \mapsto xs$在X中运算，则$\mu$在$G^0$下相对不变，乘子$\chi$相同。

最后，令 G 为局部紧致群。根据公式$\gamma(s)x = sx$、$\delta(s)x = xs^{-1}$，它通过左右翻译自行运行。然后

上述所有内容都适用于此，因此我们在 G 上的测度概念是*左不变*、*右不变*、*相对左不变*、*相对右不变*、*左准不变*、*右准不变*（但是，请参见第 8 条和第 9 条）。

映射 $x \mapsto x^{-1}$ 是 G 到 G 的同胚。对于 G 上的每个函数 $f$，我们在 G 上定义函数 $\check{f}$

对于 G 上的每个测度 $\mu$，我们定义测度 $\check{\mu}$ 为

在其他字，

如果 A 是 $\check{\mu}$ 可积集合，则 $A^{-1}$ 是 $\mu$ 可积，并且

我们同意写$d\mu(x^{-1})$代替$d\check{\mu}(x)$，然后(14)取形式

A) 存在。 — 集合 $\mathscr{K}(G) = \mathscr{K}$、$\mathscr{K}_+(G) = \mathscr{K}_+$、$\mathscr{K}_+^* = \mathscr{K}_+ - \{0\}$。如果C是G的紧子集，我们用$f \in \mathscr{K}_+^*$的$\mathscr{K}_+^*(C)$集合表示，并在C中提供支持。对于$f \in \mathscr{K}$和$g \in \mathscr{K}_+^*$，G中存在数、$c_1, \ldots, c_n \geq 0$和元素$s_1, \ldots, s_n$，使得$f \leq \sum_{i=1}^n c_i \gamma(s_i)g$：对于，G中存在非空开集合U，使得$\inf_{s \in U} g(s) > 0$，并且支持$f$ 可以被 U 的有限数左翻译覆盖。令 $(f : g)$ 为数 $\sum_{i=1}^n c_i$ 的下确界，对于数 $\geq 0$ 和元素的所有系统 $(c_1, \ldots, c_n, s_1, \ldots, s_n)$ G 使得$f \leq \sum_{i=1}^n c_i \gamma(s_i)g$。然后：

(i) $(\gamma(s)f : g) = (f : g)$ 代表 $f \in \mathscr{K}$、$g \in \mathscr{K}_+^*$、$s \in G$； (ii) $(\lambda f : g) = \lambda(f : g)$代表$f \in \mathscr{K}$、$g \in \mathscr{K}_+^*$、$\lambda \geq 0$； (iii) $((f + f') : g) \leq (f : g) + (f' : g)$代表$f \in \mathscr{K}$、$f' \in \mathscr{K}$、$g \in \mathscr{K}_+^*$； (iv) $(f : g) \geq (\sup f)/(\sup g)$ 代表$f \in \mathscr{K}$、$g \in \mathscr{K}_+^*$； (v) $(f : h) \leq (f : g)(g : h)$ 代表 $f \in \mathscr{K}$、$g \in \mathscr{K}_+^*$、$h \in \mathscr{K}_+^*$； (vi) $\mathscr{K}_+^*$中的$f, f_0, g$为$0 < \frac{1}{(f_0 : f)} \leq \frac{(f : g)}{(f_0 : g)} \leq (f : f_0)$； (vii) 令$f, f', h$在$\mathscr{K}_+$与$h(s) \geq 1$在$f + f'$的支持下，并令$\varepsilon > 0$； e 存在一个紧邻域 V，对于每个 $g \in \mathscr{K}_+^*(V)$，

性质 (i)、(ii)、(iii) 是显而易见的。 设$f \in \mathscr{K}$，$g \in \mathscr{K}_+^*$；如果 $f \leq \sum_{i=1}^n c_i \gamma(s_i)g$ 与 $c_i \geq 0$，则 $\sup f \leq \sum_{i=1}^n c_i g(s_i^{-1}s)$ 对于 G 中的某些 s \，因而 $\sup f \leq (\sum_{i=1}^n c_i) \sup g$，从而 (iv)。 现在让我们证明(v)；让$f \in \mathscr{K}$，$g, h$进入$\mathscr{K}_+^*$；如果$f \leq \sum_{i=1}^n c_i \gamma(s_i)g$和$g \leq \sum_{j=1}^p d_j \gamma(t_j)h$（$G$中的$c_i \geq 0, d_j \geq 0, s_i, t_j$），则$f \leq \sum_{i,j} c_i d_j \gamma(s_i t_j)h$，因而$(f : h) \leq \sum_{i,j} c_i d_j = (\sum_i c_i)(\sum_j d_j)$；因而$(f : h) \leq (f : g)(g : h)$。 一方面应用(v)到$f_0, f, g$，另一方面到$f, f_0, g$，得到(vi)。 最后，让$f, f', h$在$\mathscr{K}_+$和$h(s) \geq 1$在$f + f'$的支持下，并让$\varepsilon > 0$。 集合$F = f + f' + \frac{1}{2} \varepsilon h$； 函数$\varphi, \varphi'$，即重合分别与$f/F$和$f'/F$在$f + f'$的支撑上，在其之外是零，属于至$\mathscr{K}_+$；对于每个$\eta > 0$，都存在$e$的紧凑邻域$V$，使得$|\varphi(s) - \varphi(t)| \leq \eta$和$|\varphi'(s) - \varphi'(t)| \leq \eta$对应于$s^{-1} t \in V$。 然后让$g \in \mathscr{K}_+^*(V)$；对于每个$s \in G$，

因为，这在点处很明显，其中$\gamma(s)g$是零，因此在$sV$之外；以及$sV$、$\varphi \leq \varphi(s) + \eta$；同样，$\varphi' \cdot \gamma(s)g \leq (\varphi'(s) + \eta) \cdot \gamma(s)g$。也就是说，令$c_1, \ldots, c_n$为$G$的数$\geq 0$和$s_1, \ldots, s_n$元素，使得$F \leq \sum_{i=1}^n c_i \gamma(s_i)g$；然后

对于 $f'$ 也类似；最后

从$\varphi + \varphi' \leq 1$开始。 应用定义 of $F$，则 (ii)、(iii) 和 (v)，可推出

并且，如果已选择$\eta$使得$\eta[2((f + f') : h) + \varepsilon] \leq \frac{1}{2}\varepsilon$，则获得(vii)。

由于 V 运行在 e 的紧邻域集合上，$\mathscr{K}_+^*$ 上的过滤器 $\mathscr{B}$ 的 $\mathscr{K}_+^*(V)$ 形式基。令$\mathscr{F}$为$\mathscr{K}_+^*$更细而非$\mathscr{B}$上的超滤器。另一方面，让我们固定$f_0 \in \mathscr{K}_+^*$并让我们集合，对于$f \in \mathscr{K}_+^*$和$g \in \mathscr{K}_+^*$，

由(vi)，$\lim_{g,\mathscr{F}} I_g(f) = I(f)$存在于紧致空间$[1/(f_0 : f), (f : f_0)]$中。

由(iii)，$I(f + f') \leq I(f) + I(f')$。通过(vii)，对于所有$\varepsilon > 0$，$I(f) + I(f') \leq I(f + f') + \varepsilon I(h)$假设$h$在$f + f'$的支持下是$\geq 1$；由此可见$I(f + f') = I(f) + I(f')$。由 Ch. II, §2, No. 1，第 2 条，I 在 $\mathscr{K}$ 上可扩展到线性形式；这个线性形式是 G 上的非零的正测度，对 (i) 左不变；这就是人们所寻求的左哈尔措施。 经过与相反的群，由此推断存在正确的 Haar 测度。

B) 唯一性. — 令 $\mu$ 为左 Haar 测度，$\nu$ 为右 Haar 测度。那么$\check{\nu}$就是左哈尔测度。我们将证明 $\mu$ 和 $\check{\nu}$ 成比例。这将证明任意两个左哈尔测度确实是成比例的。

令$f \in \mathscr{K}$ 使得$\mu(f) \neq 0$。由引理 1，函数 $D_f$ 在 G 上由公式定义

在 G 上连续。设 $g \in \mathscr{K}$。 函数 $(s, t) \mapsto f(s)g(ts)$ 与$G \times G$ 中的紧凑支撑连续。由 Ch. III, §4, No. 1，周四。 2、

从而

这首先证明$D_f$不依赖于$f$。因为，如果$f' \in \mathscr{K}$使得$\mu(f') \neq 0$，则$D_f \cdot \mu = D_{f'} \cdot \mu$，因此$D_f = D_{f'}$在局部几乎处处对于$\mu$，因此处处，因为$D_f$和$D_{f'}$是连续的并且$\mu$的支持度是$G$。因此我们可以写$D_f = D$。 公式 (16) 给出

公式 (19) 可以通过线性扩展至函数 $f \in \mathscr{K}$，使得$\mu(f) = 0$。自$\check{\nu} \neq 0$以来，我们有$D(e) \neq 0$。这确实建立了$\mu$和$\check{\nu}$的比例。

条件显然是必要的。让我们展示他们的充足性。设$V$是$e$的紧邻域。如果$\mu(\{e\}) > 0$，则$V$是自$\mu(V) < +\infty$以来的有限集合；由于 $G$ 是 Hausdorff，因此它是离散的。假设 $\mu^*(G) < +\infty$ 和 $\mu$ 对于例是左不变的。考虑集合$\mathscr{E}$/有限子集$\{s_1, \ldots, s_n\}$/$G$，使得$s_i V \cap s_j V = \varnothing$对应$i \neq j$；那么

因此$n \leq \mu^*(G)/\mu(V)$。因此，我们可以将选择放入$\mathscr{E}$极大元素$\{s_1, \ldots, s_n\}$。那么，对于每个$s \in G$，都存在一个$i$使得$s V \cap s_i V \neq \varnothing$，因此使得$s \in s_i V V^{-1}$。因此$G$是紧集$s_i V V^{-1}$的并，因此是紧致的。

对于，令 $\mu$ 为 G 上的左 Haar 测度。对于每个 $s \in G$，

自$0 < \mu(V) < +\infty$起从而$\Delta_G(s) = 1$。

由此，人们立即推断出：

当 G 是“可交换的”时，这也是微不足道的。 注另外，如果 G 是*离散*，则每个点的质量为 1 的 G 上的测度显然是 G 上的左右 Haar 测度，称为 G 上的*归一化* Haar 测度。如果 G 是*紧凑*，则 G 上存在且仅有一个 Haar 测度，使得 $\mu(G) = 1$；它被称为 G 的“归一化”Haar 测度。当 G 既是离散的又是紧致的（即有限的）时，前面的两个约定不一致；当我们遇到这种情况时，我们将始终明确指定标准化哈尔测度的含义。

幺模群的子群和商群并不总是幺模（§ 2，Exer.5）。不过，请参阅§ 2, No. 7 的第 10 号提案。

稍后我们将看到半单或幂零连通的李群是幺模的。