对于$G$的每个紧致子集$K$，$U(K)$对于逐点收敛的拓扑是紧致的（注1），因此是等连续的（TVS，III, §4, No. 2，Th.1）；然后应用注 2。

G 存在非空开子集 U，使得 $\rho$ 在 U 上有界（GT，IX, §5, No. 4，Th.2）。令 K 为 G 的紧致子集。则 K 被集合 $s_1U, \ldots, s_nU$ 的有限数覆盖。对于每个 $x \in U$，都有 $\rho(s_ix) \leqslant \rho(s_i)\rho(x)$，因此 $\rho$ 在 $s_iU$ 上有界，因此在 K 上。

设B为E的单位球，则$g(s) = \sup_{x \in B \cap A} \|U(s)x\|$，且各函数$s \mapsto \|U(s)x\|$在G上连续，因此$g$为下半连续。另一方面，

因为，$\|U(s)\|$ 在 G 的每个紧凑子集上都以引理 1 和 2 为界，然后应用注 2。

显然，考虑 X 是紧致的情况就足够了。设 $(x_0, f_0) \in X \times \mathscr{C}(Z)$，K 是 Y 的紧凑子集，以及 $\varepsilon > 0$。让$K' = \varphi(X \times K)$。由于$f_0 \circ \varphi$在$X \times K$中一致连续，因此存在$x_0$的邻域W，使得$x \in W$和$y \in K$有$|f_0(\varphi(x,y)) - f_0(\varphi(x_0,y))| \leq \varepsilon$。另一方面，如果对于所有 $z \in K'$ 来说，$f \in \mathscr{C}(Z)$ 是$|f(z) - f_0(z)| \leq \varepsilon$，那么$x \in X, y \in K$ 就会有 $|f(\varphi(x,y)) - f_0(\varphi(x,y))| \leq \varepsilon$，因此 $x \in W, y \in K$ 就有$|f(\varphi(x,y)) - f_0(\varphi(x_0,y))| \leq 2\varepsilon$。 从而引理。

现在让我们回到之前的记号。

断言 (i) 是直接的。 断言 (ii) 是从引理 3 得出的，其中有人取了 $X = G, Y = Z = E, \varphi(s, x) = U(s)x$。

$G \times C(X)$到$G \times C(X)$的映射$(s, f) \mapsto (s, \gamma(s)f)$是连续的（No. 2，引理3）。另一方面，$G \times C(X)$到$C(X)$的映射$(s, f) \mapsto \chi(s, \cdot)f$是连续的；因为，如果 G 中 s 趋向于 $s_0$，则 $\chi(s, \cdot)$ 在 X 的每个紧凑子集上一致趋于 $\chi(s_0, \cdot)$；此外，如果$f$在$C(X)$中趋向于$f_0$，那么$\chi(s, \cdot)f$在X、从而我们的断言的每个紧凑子集上均匀地趋向于$\chi(s_0, \cdot)f_0$。因此G在$C(X)$中的表示$\gamma_\chi$是连续的。

让我们证明 G 在 $K(X)$ 中的表示 $\gamma_\chi$ 是连续的。由于$K(X)$是Banach空间的直极限，它是桶状的（TVS，III, §4, No. 1，命题3的Cor.3），因此只需证明$\gamma_\chi$是单独连续的（No. 1，命题1）。现在，令 H 为 X 的紧凑子集，并令 $s_0 \in G$。令V为G中$s_0$的紧邻域，并令L = VH，其在X中是紧邻。对于每个$f \in K(X, H)$，$\gamma_\chi(s_0)f$的支持度都包含在L中，并且

因此$f \mapsto \gamma_\chi(s_0)f$是$K(X, H)$到$K(X, L)$的连续线性映射；由此可见，$f \mapsto \gamma_\chi(s_0)f$ 是 $K(X)$ 自身的连续线性映射（TVS，II, §4, No. 4，命题 5）。另一方面，$K(X, L)$的拓扑是由$C(X)$的拓扑诱发的。已经证明，V到$K(X, L)$的映射$s \mapsto \gamma_\chi(s)f$是连续的。这样就完成了证明，$\gamma_\chi$是单独连续的。

很明显，$\gamma_\chi$使$\overline{K(X)}$稳定，并且每个$\gamma_\chi(s)$在$\overline{K(X)}$中都是连续的。另一方面，对于每个$f \in K(X)$，$s \mapsto \gamma_\chi(s)f$是G到$K(X)$的连续映射和到$\overline{K(X)}$的*更不必说*。因此$\overline{K(X)}$中的表示$\gamma_\chi$是连续的（No. 1，命题2）。

让$f \in \mathscr{K}(X)$。当$s$在$G$中趋向于$s_0$时，$\gamma_{\chi,p}(s)f$在$\mathscr{K}(X)$中趋于$\gamma_{\chi,p}(s_0)f$，因此在$L_C^p(X, \beta)$中。由于$\gamma_{\chi,p}(s)$是等距的，因此命题8是由No. 1的应用 注 2得到的。

对于$\chi$不假设连续的情况，cf.§4，Exer。 13.

让$f \in \mathscr{L}_C^p(X, \beta)$。然后

因此$\gamma_\chi(s)f \in \mathscr{L}_C^p(X, \beta)$，并且 (5) 其中$q$表示指数共轭至$p$。如果$f \in \mathscr{K}(X)$，则$\gamma_{\chi}(s)f$在$\mathscr{K}(X)$中趋向于$\gamma_{\chi}(s_0)f$，因此在$\mathscr{L}_C^p(X, \beta)$中，因为$s$趋于$s_0$。因此$L_C^p(X, \beta)$中$G$的表示$\gamma_{\chi}$是连续的（No. 1，命题2）。

如果$G$在$X$的右边运算，则与第3、4、5项类似的性质成立。

特别地，如果将$G$视为通过左或右平移对自身进行操作，并且如果取$\chi = 1$，则获得$\mathscr{C}(G)$、$\mathscr{K}(G)$、$\overline{\mathscr{K}}(G)$、$\mathscr{C}'(G)$、$\mathscr{M}(G)$中$G$的*左*和*右正则表示*， $\mathscr{M}^1(G)$。如果将$\beta$作为$G$的左（或右）Haar测度，并且如果将$\chi = 1$取，则获得$L_C^p(G, \beta)$中$G$的*左*（或*右*）*正则表示*。

然后，滤波器$\mathfrak{F}$在$\mathscr{M}(T)$中收敛到$\varepsilon_a$，并在$\mathscr{H}(T)$中配备紧凑收敛的拓扑。

通过假设 (i)，$M$ 是 $\mathscr{M}(T)$ 的等连续子集，因为它有模糊边界，并且 $\mathscr{H}(T)$ 是桶状的（TVS，III, §4, No. 2，Th.1）。因此，只要（GT，X, §2, No. 4，Th.1）证明如果$f \in \mathscr{H}(T)$，则$\lim_{\mu,\mathfrak{F}} \mu(f) = f(a)$。设$K$为$V$的并和$f$的支持度；如果$K'$是$K - V$的闭包，则有

因为 $K'$ 是紧致的，并且没有包含 $a$，因此结论就是 $\lim_{\mu,\mathfrak{F}} \mu(K) = 1$。令$\varepsilon > 0$，并让$W$是$a$在$K$中的开邻域，使得$|f(t) - f(a)| \leq \varepsilon$对于$t \in W$；一个人可以写

$K$上的积分可以写成$W$和$K - W$上的类似积分的和；如果 $C = \sup |f|$，则有

由于右侧的第一个和第三个项相对于 $\mathfrak{F}$ 趋于 0，因此可以看到确实是 $\lim_{\mu,\mathfrak{F}} \mu(f) = f(a)$。

因为，$\mathscr{C}(T)$到$\mathscr{C}(K_0)$的限制映射是连续的；因此，如果$H$是$\mathscr{C}(T)$的紧致子集，则$H$形式中函数的限制到$K_0$是$\mathscr{C}(K_0)$的紧致子集。然后，只需在 $K_0$ 之前在替换 $T$ 上应用引理 4 即可。

这是从 Cor 得出的。 1 和第 14 章提案。 VI, §1, No. 6。

$G$到$E$的映射$s \mapsto U(s)x$是连续的。由科. 2、$U(a)x = \lim_V \int (U(s)x) \cdot f_V(s)\, d\beta(s)$相对于$\mathscr{B}$的截面滤波器，即$U(a)x = \lim_V U(f_V \cdot \beta)x$。

(ii) 的第一个部分是直接的，因为$U(s)$到$F$ ($s \in G$) 定义的限制是准完全局部凸空间中$G$的连续线性表示 $F$。 (ii) 和 (i) 的第二个部分源自 Cor。 引理 4 中的 3 个。