习题 30, § 1

令$G$为局部紧致群，$\mu$为$G$上的左哈尔测度，$\nu$为$G$上的有界测度。假设$G$到Banach空间$\mathscr{M}^1(G)$的映射$s \mapsto \gamma(s)\nu$是连续的。证明度量 $\nu$ 有基 $\mu$。 （令 $A$ 为 $G$ 的 $\mu$-可忽略紧致子集。根据第 11 条论证，证明 $x$ 的 $\nu(xA) = 0$ 运行在 $G$ 的稠密子集上。据此，推出$\nu(A) = 0$。）

相反，如果$\nu$有基$\mu$，则$G$到$\mathscr{M}^1(G)$的映射$s \mapsto \gamma(s)\nu$是连续的：cf. Ch. VIII, §2, No. 5，提案 8。