Bài tập 30, § 1

Cho $G$ là một nhóm địa phương compact, $\mu$ là một độ đo Haar trái trên $G$, $\nu$ là một độ đo bị chặn trên $G$. Giả sử rằng ánh xạ $s \to \gamma(s)\nu$ từ $G$ vào không gian Banach $\mathscr{M}^1(G)$ là liên tục. Bây giờ chứng minh rằng độ đo $\nu$ có cơ sở $\mu$. (Cho $A$ là một tập con compact $\mu$-không đáng kể của $G$. Bằng lập luận như đối với mệnh đề 11, chứng minh rằng $\nu(xA) = 0$ với $x$ chạy qua một tập con trù mật khắp nơi của $G$. Suy ra rằng $v(A) = 0$.

Ngược lại, nếu $v$ có cơ sở $\mu$, ánh xạ $s \to \gamma(s)v$ từ $G$ vào $\mathscr{M}^1(G)$ là liên tục: xem Chương VIII, § 2, No. 5, Mệnh đề 8.