Exercice 30, § 1

Soient $G$ un groupe localement compact, $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur $G$, $\nu$ une mesure bornée sur $G$. On suppose que l’application $s \to \gamma(s)\nu$ de $G$ dans l’espace de Banach $\mathscr{M}^1(G)$ est continue. Montrer que la mesure $\nu$ est de base $\mu$. (Soit $A$ une partie compacte $\mu$-négligeable de $G$. En raisonnant comme pour la prop. 11, montrer que $\nu(xA) = 0$ pour des $x$ parcourant une partie partout dense de $G$. En déduire que $v(A) = 0$.

Réciproquement, si $v$ est de base $\mu$, l’application $s \to \gamma(s)v$ de $G$ dans $\mathscr{M}^1(G)$ est continue : cf. chap. VIII, § 2, no 5, prop. 8.